2020届高考数学例解不等式性质

2020届高考数学例解不等式性质
例1 比较33
+x 与x 3的大小，其中R x ∈． 解：x x 3)3(2
-+
332+-=x x ，
3)23
(])23(3[222+-+-=x x ，
43)23(2+-=x ，
04
3
>≥， ∴ x x 332
>+．
讲明：由例1能够看出实数比较大小的依据是：①b a b a >⇔>-0； ②b a b a =⇔=-0；③b a b a <⇔<-0．
典型例题二
例2 比较16+x 与2
4x x +的大小，其中R x ∈ 解：)()1(2
4
6
x x x +-+
1246+--=x x x ， )1()1(224---=x x x ， )1)(1(42--=x x ， )1)(1)(1(222+--=x x x ， )1()1(222+-=x x ，
∴ 当1±=x 时，2
4
6
1x x x +=+； 当1±≠x 时，.12
4
6
x x x +>+
讲明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一样步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采纳配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0，依旧等于0，依旧小于0．最后得结论．概括为〝三步，—结论〞，那个地点的〝变形〞一步最为关键．
典型例题三
例3 R x ∈，比较)12)(1(2
++
+x x x 与)2
1
(+x 〔12++x x 〕的大小． 分析：直截了当作差需要将)12)(1(2
+++x x x 与)2
1(+x 〔12++x x 〕展开，过程复
杂，式子冗长，可否考虑依照两个式子特点，予以变形，再作差．
解：∵)12)(1(2
++
+x x x =)1(+x 〔12
2+-+x
x x 〕 )1(2
)1)(1(2+-+++=x x
x x x ，
)1)(2
1
1()1)(21(22++-+=+++x x x x x x
)1(2
1
)1)(1(22++-+++=x x x x x ，
∴ )1)(2
1()12)(1(22
+++-+++x x x x x x
02
1
)1(21)1(212>=+-++=x x x x ． 那么有R x ∈时，)12)(1(2
+++x x x >)2
1(+x 〔12++x x 〕恒成立．
讲明：有的确咨询题直截了当作差不容易判定其符号，这时可依照两式的特点考虑先变
形，到比较易于判定符号时，再作差，予以比较，如此例确实是先变形后，再作差．
典型例题四
例4 设R x ∈，比较
x
+11
与x -1的大小． 解：作差x x x x +=--+1)1(112
， 1〕当0=x 时，即
012
=+x
x ， ∴
x x
-=+111
； 2〕当01<+x ，即1-<x 时，
012
<+x
x ， ∴
x x
-<+111
； 3〕当01>+x 但0≠x ，即01<<-x 或0>x 时，
012
>+x
x ，
∴
x x
->+111
． 讲明：如此题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母依照式子具体特点分类讨论才能定号．现在要注意分类合理恰当．
典型例题五
例5 比较16
18与18
16的大小
分析：两个数是幂的形式，比较大小一样采纳作商法。

解：16
16162
161816)2
89()21()89(161)1618(1618=== .
1618,016,1)2
89()
1,0(2
89
18161816
＜＞＜∴∴∈
讲明：求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行．
典型例题六
例6 设0,0＞＞b a ，且b a ≠，比较：b
a
b a ⋅与a
b
b a 的大小。

分析：比较大小一样方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。

解：b a a
b b a a b b a b a b
a b
a b a ---==)( 当0＞＞b a 时，0,1＞＞b a b a
-，1)
(＞b
a b
a -∴ 当0＞＞a
b 时，0,10＜＜＜b a b a
-1)
(＞b
a b
a -∴
1)(＞b
a b
a -∴即1＞a
b b a b a b a ，
又0＞a
b
b a ，a
b
a
a
b a b a ＞∴
讲明：求商法的差不多步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.
典型例题七
例7 实数d c b a 、、、满足条件：①d c b a <<,；②()()0>--c b c a ；③
()()0<--d b d a ，那么有( )
A ．b d c a <<<
B ．d b a c <<<
C ．d b c a <<<
D ．b d a c <<<
〔天津市2001年南开中学期末试题〕
分析：先由条件②③分析出b a 、与d c 、的关系，依照条件利用①用数轴数形结合比出大小．
解：∵()()0>--c b c a ，∴b a 、与c 同侧 ∵()()0<--d b d a ，∴b a 、与d 异侧 ∵d c b a <<,
∴把d c b a 、、、标在数轴上，只有下面一种情形
由此得出b d a c <<<，∴此题选D ． 讲明：比较大小时能够借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，如此容易看出几个数之间的大小关系，专门是比较的个数较多时适用．
典型例题八
例8 ①11≤+≤-b a ；②31≤-≤b a ，求：b a -3的取值范畴．
分析：此题是给代数式的字母的范畴，求另外代数式的范畴．分为两步来进行：(1)利用待定系数法将代数式b a -3用b a +和b a -表示．(2)利用不等式性质及题目条件确定b a -3的范畴．
解：设：b y x a y x b a y b a x b a )()()()(3-++=-++=-
⎩⎨
⎧==∴⎩⎨
⎧-=-=+∴2
1
13y x y x y x 由①+②×2得：231)(2)(21⨯+≤-++≤+-b a b a
即：731≤-≤b a ．
讲明：此题的一种典型错误做法，如下：
,31,11≤-≤≤+≤-b a b a 420≤≤∴a ，即：20≤≤a 0
241
3,11≤≤-∴-≤-≤-≤+≤-b a b b a
即：02≤≤-b
8
30,
20,630≤-≤∴≤-≤≤≤∴b a b a
此解法的错误缘故是因为a 与b 是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当b a +取到最大值或最小值时，b a -不一定能取到最值，因此用以上方法可能扩大变量的范畴．
幸免出错的方法是通过待定系数法〝整体代入〞，见解题过程．
典型例题九
例9 判定以下各命题的真假，并讲明理由． 〔1〕假设2
2
bc ac >，那么.b a >
〔2〕假设b a >，那么
.11b
a < 〔3〕假设0,<<c
b a ，那么.b
c
a c <
〔4〕假设d c b a >>,，那么.d b c a ->- 〔5〕假设c a b a >>>,0，那么.2
bc a > 〔6〕假设+∈>N m b a ,，那么.m m
b a > 分析：利用不等式的性质来判定命题的真假．
解：〔1〕⇒≠⇒>02
22c bc ac b a bc ac c >⇒⎪⎭
⎪⎬⎫>>22201，是真命题．
〔2〕可用赋值法：2,3-==b a ，有b
a 1
1>，是假命题． 也可如此讲明：
ab
a
b b a -=
-11， ∵ b a >，只能确定0<-a b ，
但ab 的符号无法确定，从而b a 11-的符号确定不了，因此b
a 1
1<无法得到，实际上有：
.1
10,b a ab b a <⇒>>
.1
10,b
a a
b b a >⇒<>
〔3〕与〔2〕类似，由⇒/<b a b
c a c c b a <⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
<>011，从而b c
a c
b a <⇒/<是假命题．
〔4〕取专门值：.3,2,1,5-====d c b a
有d b c a -<-，∴ 是假命题．
定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立．只有异向不等式可相减，即.,d b c a d c b a ->-⇒<>
〔5〕bc a bc ab b c a ab a a b a >⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬⎫>⎭⎬⎫>>>⇒⎭⎬⎫>>>2
2
000， ∴是真命题．
〔6〕定理4成立的条件为必须是正数．
举反例：
2,4,3=-==m b a ，那么有.m m b a <
讲明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件．要讲明一个命题是假命题可通过举反例．
典型例题十
例10 求证：.0,01
1,
<>⇒>>b a b
a b a 分析：把的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理． 证明：利用不等式的性质，得
00011110
<⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫<-⇒<-⇒>>-⇒>ab ab b a a b b a b a b a .0,0异号,<>⇒⎭
⎬⎫
>b a b a b a
典型例题十一
例11 假设d c b a >>,，那么下面不等式中成立的一个是〔 〕 〔A 〕c b d a +>+ 〔B 〕bd ac > 〔C 〕
d
b
c a > 〔D 〕b c a
d -<- 解：由不等式的性质知：〔A 〕、〔B 〕、〔C 〕成立的条件都不充分，因此选〔D 〕，事实上〔D 〕 正是异向不等式相减的结果．
.b c a d c d d c b a b a -<-⇒⎭
⎬⎫
<⇒>-<-⇒>
讲明：本的解法差不多上不等式性质的差不多应用，关于不等式的差不多性质要逐条把握准确，以便灵活应用．
典型例题十二
例12 假设11<β<α<-，那么下面各式中恒成立的是〔 〕． 〔A 〕02<β-α<- 〔B 〕12-<β-α<- 〔C 〕01<β-α<- 〔D 〕11<β-α<-
分析 此题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，条件中含有两个内容，即11<α<-，11<β<-和β<α，依照不等式的性质，可得11<β-<-，0<β-α，继而得到22<β-α<-且0<β-α，故02<β-α<-，因此选A ．
典型例题十三
例13 假设c b a >>，那么一定成立的不等式是〔 〕
A ．c b c a >
B ．ac ab >
C ．c b c a ->-
D ．c
b a 1
11<< 分析：A 错，当0,=>c b a 时有c b c a =；同样B 错；D 没有考虑各数取零和正
负号的关系，因此也不对．
应选C ，因为不等式两边同时加上一个任意数〔此题是c -〕，原不等式成立． 讲明：这类题能够采纳特例法：令0=c 即得C 成立．
典型例题十四
例14 ：0<c f e b a ，＞，＞，求证：bc e ac f --＜．
分析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项为哪一项两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理．
证明：，＞，＞，＞bc ac c b a ∴0 ．＜bc ac --∴ 又，＜e f ∴由同向加性可得：bc e ac f --＜．
讲明：此题还可采纳异向减性来处理：．＜，＞，＜bc e ac f bc ac e f --∴做这类题过
程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用．
典型例题十五
例15集合{}{}
,,2||145|A 2A y y x x B x x x R I ∈-==--==，＜０，求：
B A ⋂．
分析：要求B A ⋂，需要先求集合A 和B ，从来看，A 的范畴容易求，B 的元素由A y ∈能够推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质．
解：,01452
R I x x =<--且
.72<<-∴x
{}
{}.7201452<<-=<--=∴x x x x x A
.72,<<-∴∈y A y ,2||.524-=<-<-∴y x y .5||,5||4<∴<<-∴x x
.55<<-∴x
{}.55<<-=∴x x B }.52{<<-=⋂∴x x B A
讲明：此题中的条件R I =，意在明确集合A 中的元素为R ，假设去掉此条件，会显现不确定的情形．比如，72<<-x 的实数和72<<-x 的整数明显是有区不的．另外，那个地点集合B 的元素是通过集合A 的元素求出的，解题时，一定要看清．
典型例题十六
例16 设a 和b 差不多上非零实数，求不等式b a >和
b
a 1
1>同时成立的充要条件． 分析：此题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论．假如分开讨论，那么b a >成立的条件确实是b a >本身；而b
a 1
1>成立的条件那么是a 与b 同号，且b a <，但那个条件只是
b
a 1
1>的一个充分条件，同时与第一个不等式b a >是矛盾的．因此必须研究这两个不等式同时成立的条件．明显，应该从求它们同时成立的必要条件入手．
解：先求b a >，b a 11>同时成立的必要条件，即当b a >，b
a 1
1>同时成立时，a 与b 应具备什么条件．
由⎪⎩⎪⎨⎧>>b a b a 11,，得⎪⎩⎪
⎨⎧>->-.0,0ab
a b b a
由0>-b a 可知0<-a b ，再由0>-ab
a
b 知0<ab ，即a 与b 异号，因此b a >>0是不等式b a >与
b a 1
1>同时成立的必要条件． 再求b a >，b
a 1
1>同时成立的充分条件．
事实上，当b a >>0时，必有b a >，且
01,01<>b a ，
因而b
a 1
1>成立．从而b a >>0是不等式b a >，b
a 1
1>同时成立的充分条件． 因此，两个不等式b a >，b a 1
1>同时成立的充要条件是b a >>0．
讲明：此题结果讲明，b a >与b
a 1
1>同时成立，其充要条件是a 为正数，b 为负数．这
与b a 1
1>成立的条件0>ab ，a b >不要混淆．解此题是从必要条件入手的，即假设b a >，b a 11>同时成立，那么要研究从不等式b
a 1
1>和b a >看a 与b 的大小有什么关系，从中得出结论〔b a >>0〕，再把那个结论作为一个充分条件去验证b a >及b
a 1
1>能否同时成
立．从而解决了此题．
典型例题十七
例17 函数c ax x f -=2
)(满足：.5)2(1,1)1(4≤≤--≤≤-f f 那么)3(f 应满足〔 〕
〔A 〕26)3(7≤≤-f 〔B 〕15)3(4≤≤-f 〔C 〕20)3(1≤≤-f 〔D 〕3
35)3(328≤≤-
f 分析：假如能用)1(f 与)2(f 将)3(f 〝线性〞表示出：)2()1()3(nf mf f +=，就可利用不等式的差不多性质，由)1(f 、)2(f 的取值范畴，推出)3(f 满足的条件．
解：∵,4)2(,)1(c a f c a f -=-= ∴)]1(4)2([3
1)],1()2([31
f f c f f a -=-=
故)]1(4)2(
[3
1)]1()2([39)3(f f f f c a f ---=-= )1(3
5
)2(38f f -=
由不等式的差不多性质，得
.20)3(13040)2(38385)2(1320)1(35351)1(4≤≤-⇒⎪⎪
⎭⎪
⎪⎬⎫
≤
≤-⇒≤≤-≤-≤⇒
-≤≤-f f f f f
应选〔C 〕.
讲明：〔1〕也可设)2()1()3(nf mf f +=，由代定系数法求得35-=m ，3
8
=n ． 〔2〕下面的错误是值得引以为戒的∵,4)2(,)1(c a f c a f -=-=
⎭⎬⎫
≤-≤-⇒≤≤-≤-⇒-≤-≤-⇒-≤≤-5415)2(14141)1(4c a f a c c a f
714130930≤≤⇒⎭
⎬⎫
≤-≤≤≤⇒≤≤⇒c a c a a
又 .9)3(c a f -=
∴
.26)3(7171,279030≤≤-⇒⎭
⎬⎫
-≤-⇒≤≤≤≤⇒≤≤f c c a a
应选〔A 〕
上述推理错误产生的缘故是由于将条件
⎩⎨⎧≤≤--≤≤-5)2(11)1(4f f 化为⎩⎨
⎧≤≤≤≤7
13
0c a 使a 、c 的取值范畴扩大所致．事实上，作为点集
与{}
7
11,30),(≤≤≤≤=a c a N 之间的关系是
N M ⊆/，如图点集N 是图中乱世形OABD 所围成的区域，点集M 是由平行四边形MNBP
所围成的区域，如此就直观地表现了N M ⊆/，揭示了上述解法的错误．。