重庆市第八中学2016年暑假高二数学(理)定时训练(2016

8月19日数学定时训练及答案
班级：_________ 姓名：_________
1.已知函数())2
2sin cos 0,0f x a x x x a ωωωω=+->>的最大值为2，且
最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若()4
,s i n 43
6f παα⎛⎫=
+ ⎪⎝
⎭求的
值.
解：试题解析：（Ⅰ）x x a x f ωω2cos 32sin )(+=)x ωϕ=+, 由题意知：()f x 的周期为π，由
2π
π2ω
=，知1ω=………2分 由)(x f 最大值为2，故232
=+a ，又0>a ，1=∴a ∴π
()2sin(2)3f x x =+
………4分 222232
k x k πππππ-+≤+≤+，()f x 单调递增 ∴ 函数()f x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
6分 （Ⅱ）由4
()3
f α=知π42sin(2)33α+=，即π2sin(2)33α+=，
∴ππππsin 4sin 22cos226323ααα⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+
=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
…………………………10分 2
2π2112sin 212339α⎛⎫⎛⎫
=-++=-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
…………………………………12分
2.重庆八中大学城校区与本部校区之间的驾车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有
（1）求T 的分布列与数学期望()E T ；
（2）张老师驾车从大学城校区出发，前往本部校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回大学城校区，求张老师从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过120分钟的概率．
解：（1）以频率估计概率得T 的分布列为
所以250.2300.3350.4400.132ET =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）.
（2）设12,T T 分别表示往返所需时间，设事件A 表示“从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过120分钟”，则
()()()()12121212()(25)45(30)40(35)35(40)30P A P T P T P T P T P T P T P T P T ==+=+=+=剟剟0.210.310.40.90.10.50.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.
3.如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE EC ⊥，2AB BE EC ===，,G F 分别是线段BE ，CD 的中点.
（1）求证：GF //平面ADE ；
（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.
解：（1）取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，又G 是BE 的中点，
1
GH //AB GH=AB 2
所以，且，又
F 是CD 中点，
1
DF=CD 2
所以，
由四边形ABCD 是矩形得，AB//CD AB=CD ，，所以
G H //D F G H =
，且. 从而四边形HGFD 是平行四边形，GF//DH 所以，
又DH ADE GF ADE 趟平面，平面，所以GF//ADE 平面.
（2）如图，在平面BEG 内，过点B 作//BQ EC ,因为BE CE BQ BE ^^，所以 又因为AB ^平面BEC ，所以AB ^BE ，AB ^BQ ，以B 为原点，分别以,,BE BQ BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1)，因为AB ^平面BEC ，所以A=(B 0,0,2)为平面BEC 的法向量，
设(x,y,z)n =为平面AEF 的法向量.又AE (2,0,2)AF=(2,2,-1)，=-
由
AE 0220,220,
AF 0n x z x y z n ìì=-=镲
眄
+-=镲=îî，得，取
2
z =得
=(2,-1,2)n A 42
cos ,A =
,323
|||A |
n B n B n B 狁=
=´× F
C
D
所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为
23
. 4.如图，设C 为线段AB 的中点，BCDE 是以BC 为一边的正方形，以B 为圆心，BD 为半径的圆与AB 及其延长线交于点H 及K . （I ）求证： 2HC CK BC ⋅=；（II ）若圆B 半径为2，求AH AK ⋅的值.
【解答】（I ）证明：连结DH 、DK ，由HK 为圆B 直径， 所以90HDK ∠=︒在Rt HDK ∆中，CD HK ⊥， 故Rt DHC ∆∽Rt KDC ∆ ……2分
∴DC CK =，故2DC HC CK =⋅，又DC BC =，∴2BC HC CK =⋅
……5分
（II ）连结AD ，则
AC CD BC ==
，AD BD ∴⊥， ……7分
∴AD 为圆B 的切线，∴2AD AH HK =⋅， ……9分 又2AD BD ==， ∴4AH HK ⋅=
……10分
5.在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为()
2,3C π，半径为2. 以极点为原点，极轴为x 的正半
轴，取相同的长度单位建
立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1
12
x y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．
（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程（Ⅱ）设l 与圆C 的交点为,A
B ， l 与x 轴的交点为P ，求
PA PB +．
【解答】（Ⅰ）法一：在直角坐标系中，以()
2,3
C π，2为半径的圆方程为
()
(2
2
14x y -+-=，即2220x y x +--=
……2分
化为极坐标方程得：22cos sin 0ρρθθ--=，即()
4sin 6πρθ=+
……5分
法二：在圆C 上任取一点(),P ρθ，在PCO ∆（其中O 为极点）， PO ρ=，2CO =，2PC =，3
POC πθ∠=-
……2分
由余弦定理得()2444cos 3πρρθ=+--，从而圆C 的极坐标方程为()
4cos 3π
ρθ=-
……5分
（Ⅱ）法一：把112
x y t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
代入2220x y x +--=得24t =，
所以点A 、B 对应的参数分别为12t =，22t =-
……7分
102t =得点P
对应的参数为0t =-
……8分
所以10202222PA PB t t t t +=-+-=++-+=++=……10分
法二：把112
x y t
⎧=-⎪⎨=⎪⎩
化为普通方程得)1y x =-
……7分
令0y =得点Ｐ坐标为(4,0)P ，又因为直线l 恰好经过圆C 的圆心C ， 故
2PA PB PC +===6.已知函数()4f x x t =--,t R ∈，且关于x 的不等式()22f x +≤的解集为[]1,5-．
（Ⅰ）求t 值；（Ⅱ）a ，b ，c 均为正实数，且a b c t ++=，求证：222
1a b c b c a
++≥．
【解答】（Ⅰ）由()22f x +≤得22x t -≤+
……1分 当20t +≥时，4t x t -≤≤+；当20t +<时，x ∈∅ ……3分 ()22f x +≤解集为[]1,5-，∴20
145
t t t +≥⎧⎪-=-⎨+=⎪⎩，解得1t =
……5分
（Ⅱ） a ，b ，c 均为正实数，由均值不等式得： 2
2a b a b ∴+≥，2
2b c b c +≥，2
2c a c a
+≥
……8分
222222a b c b c a a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
即222a b c a b c b c a
++≥++ ……9分 又1a b c ++=，∴222
1a b c b c a
++≥
……10分。