2019高三数学人教A版理一轮课时分层训练19 同角三角函数的基本关系与诱导公式 含解析 精品

课时分层训练(十九) 同角三角函数的基本
关系与诱导公式
(对应学生用书第221页)
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2018·石家庄质检(二))若sin(π－α)＝13，且π
2≤α≤π，则cos α＝( )
【导学号：97190107】
A ．22
3 B ．－223 C ．－429
D.429
B [由sin(π－α)＝13得sin α＝13，又因为π
2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－22
3，故选B.]
2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π
2，则θ等于( ) A ．－π6 B ．－π3 C ．π6
D.π3
D [∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π
3.]
3．已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2 019π2－2α的
值为( )
A ．4
5
B ．－45
C ．2
D ．－12
B [由题意可得tan α＝2，
所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2 019π2－2α＝－sin 2α＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2tan αtan 2α＋1＝－
45，故选B.]
4.
cos 350°－2sin 160°
sin (－190°)
＝( )
A ．－ 3
B ．－3
2 C ．3
2 D ．3
D [原式＝
cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)
－sin (180°＋10°)
＝
cos 10°－2sin (30°－10°)
－(－sin 10°)
＝
cos 10°－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12cos 10°－3
2sin 10°
sin 10°
＝ 3.]
5．(2017·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ2＋π2＝1
3时，
1－sin θcos θ2－sin θ2的值是( )
A ．1
B ．－1
C ．±1
D ．0
B [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，
∴cos θ2＝1
3.
∵θ为第二象限角，
∴θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝
－⎝ ⎛
⎭
⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sin θ2
＝－1.] 二、填空题
6．已知sin(125°－α)＝1
3，则sin(55°＋α)的值为________．
13 [因为(125°－α)＋(55°＋α)＝180°，sin(125°－α)＝13，所以sin(55°＋α)＝sin[180°－(125°－α)]＝sin(125°－α)＝13.]
7．(2017·江西上饶一模)已知π2＜α＜π，3sin 2α＝2cos α，则sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－9π2＝
________. 【导学号：97190108】
223 [∵π
2＜α＜π，∴cos α＜0. ∵3sin 2α＝2cos α， 即6sin α·cos α＝2cos α，
∴sin α＝13，则sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α－9π2＝－cos α＝1－sin 2α＝223.]
8．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝1
5，则tan α＝________. －43 [由⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，
消去cos α整理，得 25sin 2α－5sin α－12＝0， 解得sin α＝45或sin α＝－3
5. 因为α是三角形的内角， 所以sin α＝4
5.
又由sin α＋cos α＝15，得cos α＝－3
5， 所以tan α＝－4
3.] 三、解答题
9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.
【导学号：97190109】
[解] 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×1
2＋1＝2.
10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π2＋α，求下列各式的值：
(1)
sin α－4cos α
5sin α＋2cos α
；
(2)sin 2α＋sin 2α.
[解] 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝
2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α
＝－1
6.
(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α
sin 2α＋cos 2α
＝
sin 2α＋sin 2αsin 2
α＋14
sin 2α
＝85. B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
11．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A ．43或34 B ．－34或－43 C ．34或－43
D ．－4
3或不存在
D [由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－3
5或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－4
3，故选D.]
12．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5
D ．－1－5
B [由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m
4. 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m 2， 解得m ＝1±
5. 又Δ＝4m 2－16m ≥0，
∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.]
13．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.
44.5 [因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1，
设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°， 则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°， 两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5.] 14．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝ ⎛
⎭
⎪
⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin (－π－α).
(1)化简 f (α)；
(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值. 【导学号：97190110】
[解] (1)f (α)＝sin α·cos α·tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α
＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α
＝－cos α.
(2)∵cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，
∴sin α＝－1
5， 又α是第三象限角，
∴cos α＝－1－sin2α＝－26 5，
故f(α)＝26 5.。