【备战2021】（十年高考）广东省高考数学分项精华版 专题10 立体几何（含解析）(1)

【备战2021】（十年高考）广东省高考数学分项精华版 专题10 立体几何（含解析）
一．基础题组
1.【2021高考广东卷.理.6】设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.以下命题中正确的选项是( ).
A .假设α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,那么m ⊥n
B .假设α∥β,m ⊂α,n ⊂β,那么m ∥n
C .假设m ⊥n ,m ⊂α,n ⊂β,那么α⊥β
D .假设m ⊥α,m ∥n ,n ∥β,那么α⊥β
2.【2006高考广东卷.理.12】棱长为3的正方体的极点都在同一球面上,那么该球的表面积为______.
3.【2005高考广东卷.理.4】已知高为３的直棱锥C B A ABC '''-的底面是边长为１的正三角形(如图１所示)，那么三棱锥ABC B -'的体积为( ) A .
41 B .2
1
C .63
D .
4
3
二．能力题组
1.【2021高考广东卷.理.18】 (本小题总分值13分)如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，
30DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，//FE CD ，交PD 于点E .
(1)证明：CF ADF ⊥平面； (2)求二面角D AF E --的余弦值.
【答案】(1)详见解析；(2)19
. 【解析】(1)
PD ⊥平面ABCD ，
PD AD ∴⊥，又CD AD ⊥，PD CD D =， AD ∴⊥平面PCD ， AD PC ∴⊥，又AF PC ⊥，
PC ∴⊥平面ADF ，即CF ⊥平面ADF ；
【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定和利用空间向量法求二面角，属于中等题.
2.【2021高考广东卷.理.7】假设空间中四条直线两两不同的直线1l .2l .3l .4l ，知足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，那么以下结论必然正确的是( )
A .14l l ⊥
B .14//l l
C .1l .4l 既不平行也不垂直
D .1l .4l 的位置关系不确信
3.
【2021高考广东卷.理.5】某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是( ).
A .4
B .
143 C .16
3
D .6 【答案】B
【解析】方式一：由三视图可知,原四棱台的直观图如下图,
4.【2021高考广东卷.理.18】 (本小题总分值14分)如图(1),在等腰直角三角形ABC 中,∠A ＝90°,BC ＝6,D ,E 别离是AC ,AB 上的点,CD ＝BE 2,O 为BC 的中点.将△ADE 沿DE 折起,取得如图(2)所示的四棱锥A ′BCDE ,其中
A ′O 3
图(1) 图(2)
(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；
(2)求二面角A ′CDB 的平面角的余弦值. 【答案】(1)详观点析 (2)
15
5
【解析】(1)由题意,得OC ＝3,AC ＝32AD ＝22 因此cos ∠A ′HO ＝
15
OH A H ='
因此二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为
155
. 向量法：以O 点为原点,成立空间直角坐标系O －xyz 如下图.
5.【2012高考广东卷.理.6】某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )
A .12π
B .45π
C .π57
D .π81
6.【2012高考广东卷.理.18】 (本小题总分值13分)如下图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE . (1)证明：BD ⊥平面PAC ；
(2)假设1,2PA AD ==，求二面角B PC A --的正切值； 在PBC ∆中，25
5,2,3903
BP BC PB BC PC PBC BE PC ο
⨯===⇒∠=⇒=
=
在Rt BOF ∆中，2222,tan 33BO
BO OE BF BO BFO OF
=
=-=
⇒∠==得：二面角B PC A --的正切值为3
【考点定位】此题考查立体几何中的线面垂直与二面角的求解,属于能力题7.【2011高考广东卷.理.7】如图1 ~ 3，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，那么该几何体的体积为( )
A .63
B .93
C .123
D .183
8.
【2011高考广东卷.理.18】 (本小题总分值13分)如图5，在锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的 菱形，且60DAB ∠=，2PA PD ==2PB =，,E F
别离是BC ,PC 的中点. (1)证明：AD ⊥平面DEF ；
(2)求二面角P AD B --的余弦值. (2)由(1)知PH AD ⊥，HB AD ⊥ ∴PHB ∠是二面角P AD B --的平面角
易求得22
PH BH =
=
∴2
2
2
733
4cos 22
PH HB PB PHB PH HB +--
+-∠====⋅ ∴二面角P AD B --
的余弦值为 【考点定位】此题考查了立体几何中的线面垂直与二面角，属于能力题 9.【2010高考广东卷.理.6】如图1，ABC 为正三角形，'''////AA BB CC ，
'CC ⊥平面ABC ，''3
2
BB =
=且3AA 'CC AB =，那么多面体'''ABC A B C -的正视图 (也称主视图)是( ) 10.【2009高考广东卷.理.5】给定以下四个命题：
①假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面彼此平行； ②假设一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面彼此垂直； ③垂直于同一直线的两条直线彼此平行；
④假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是( )
A . ①和②
B . ②和③
C . ③和④
D . ②和④
【答案】D
【解析】由立体几何的知识可得选项①③是错误的,应选D . 【考点定位】此题考查了立体几何,属于能力题
11.【2009高考广东卷.理.18】 (本小题总分值14分)如图6，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是正方形11BCC B 的中心，点F .G 别离是棱111,C D AA 的中点.设点11,E G 别离是点E ，G 在平面11DCC D 内的正投影.
(1)求以E 为极点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； (2)证明：直线⊥1FG 平面1FEE ； (3)求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值.
(3))0,2,0(11-=G E ，)1,2,1(--=EA ，那么6
2,cos 111111=
>=
<EA
G E EA G E EA G E ，设异面直线11E G EA 与所成
角为θ，那么3
3321sin =-
=θ. 【考点定位】此题考查了立体几何中的体积,线面垂直和二面角,属于能力题
12.【2008高考广东卷.理.5】将正三棱柱截去三个角(如图1所示A B C ，，别离是GHI △三边的中点)取得几何体如图2，那么该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( ) 【答案】A
【解析】依照三视图的相关知识,可得选项A 是正确的,应选A . 【考点定位】此题考查了立体几何的三视图,属于能力题
13.【2007高考广东卷.理.19】 (本小题总分值14分)如图6所示，等腰三角形△ABC 的底边AB =66高CD =3，点E 是线段BD 上异于B .D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE
⊥AE ，记BE =x ，V (x )表示四棱锥P -ACEF 的体积. (1)求V (x )的表达式；
(2)当x 为何值时，V (x )取得最大值？
(3)当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值. 【答案】(1)()()
26190363
12V x x x x ⎛
⎫=
-<< ⎪⎝⎭
(2)126 (3)27
【解析】(1)由折起的进程可知，PE ⊥平面ABC ，96ABC S ∆=，2265412
BEF
BDC x S S x ∆∆=⋅= V (x )=
261
(9)312
x x -(036x <<) 14.
【2006高考广东卷.理.5】给出以下四个命题：
①若是一条直线和一个平面平行,通过这条直线的平面和那个平面相交,那么这条直线和交线平行, ②若是一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于那个平面 ③若是两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线相互平行, ④若是一个平面通过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直. 其中真命题的个数是( )A .4 B . 3 C . 2 D . 1
15.【2006高考广东卷.理.17】 (本小题总分值14分)如图5所示,AF .DE 别离是⊙O .⊙O 1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直,AD ＝8,BC 是⊙O 的直径,AB ＝AC ＝6,OE //AD . (1)求二面角B —AD —F 的大小；
(2)求直线BD 与EF 所成的角.
16.
【2005高考广东卷.理.7】给出以下关于互不相同的直线m .l .n 和平面α.β，的四个命题： ①若A l m =⊂αα ,，点m A ∉，那么l 与m 不共面；
②若m .l 是异面直线, αα//,//m l , 且m n l n ⊥⊥,，那么α⊥n ； ③若βα//,//m l , βα//，那么m l //；
④若=⊂⊂m l m l ,,αα点A ，ββ//,//m l ，那么βα//. 其中为假命题的是
A .①
B .②
C .③
D .④
17.【2005高考广东卷.理.16】 (本小题共14分)如图3所示，在四面体ABC P -中，已知6==BC PA ，
342,8,10====PB AC AB PC .F 是线段PB 上一点，3417
15
=
CF ，点E 在线段AB 上，且PB EF ⊥. (1)证明：ＣＥF PB 平面⊥； (2)求二面角F CE B --的大小.
【考点定位】此题考查了立体几何中的二面角的求值，属于能力题 三．拔高题组
1.【2008高考广东卷.理.20】 (本小题总分值14分)如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R
的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，PD 垂直底面ABCD ，22PD R =，
E F ，别离是PB CD ，上的点，且
PE DF
EB FC
=
，过点E 作BC 的平行线交PC 于G . (1)求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值； (2)证明：EFG △是直角三角形； (3)当
1
2
PE EB =时，求EFG △的面积.
(2)//,PE PG EG BC EB GC
∴=
,而PE DF EB FC =, 即
,//PG DF
GF PD GC DC
=∴,GF BC ∴⊥，GF EG ∴⊥,EFG ∴∆是直角三角形； (3)12PE EB =时
13EG PE BC PB ==,23
GF CF PD CD ==, 即11222422cos 45,223333EG BC R GF PD R =
=⨯⨯︒===⨯=, F
C
P G E A B
图5
D
F
C
P G E
A B
图5
D
EFG ∴∆的面积2114229
EFG S EG GF R R ∆==⨯
= 【考点定位】此题考查了立体几何,属于拔高题
2.【2007高考广东卷.理.12】若是一个凸多面体是n 棱锥，那么那个凸多面体的所有极点所确信的直线共有 条，这些直线中共有()f n 对异面直线，那么(4)f = ；()f n = .(答案用数字或n 的解析式表示)。