河北省鹿泉县第一中学2018-2019学年高二5月月考数学(文)试卷 含解析

高二数学5月月考试卷（文）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z|＝( ) A. 12
B.
2
C.
D. 2
【答案】C 【解析】
【详解】∵(1＋i)z ＝2i ，
∴z＝2i
1i +＝()()()
()2121112i i i i i -+=+-=1＋i.
. 故答案：C
【点睛】本题考查复数的运算及复数的模．复数的常见考点有：复数的几何意义，z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量OZ 都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作z ．
2.函数()(
)
1
lg 1f x x =
++( )
A. ()(]1,00,2-⋃
B. [)(]
2,00,2-⋃
C. []2,2-
D. (]
1,2- 【答案】A 【解析】
要使函数()(
)1
l g 1f x x =+意义，则10
1120
x x x +>⎧⎪+≠⎨⎪-≥⎩
，解得12x -<≤且0x ≠，函数
()(
)
1
l g 1f x x =
+()1,00,2]-⋃（，故选A.
3.用反证法证明命题：“,,,a b c d R ∈，1a b +=，1c d +=，且1ac bd +>，则,,a b c d ,中至少有一个负数”时的假设为 A. ,,a b c d ,全都大于等于0 B. ,,a b c d ,全为正数
C. ,,a b c d ,中至少有一个正数
D. ,,a b c d ,中至多有一个负数
【答案】A 【解析】 【分析】
根据含有量词的否定，可知“至少”对应“全都”，即可得答案。

【详解】因为原结论为“,,a b c d ,中至少有一个负数” 所以其否定为“,,a b c d ,中全都大于等于0” 所以选A
【点睛】本题考查了反证法的概念和应用，属于基础题。

4.设函数()122,1 1,1
x x f x log x x -⎧≤=⎨->⎩，则()()4f f =（ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分段函数定义域，代入4x =可求得()4f ，根据()4f 的值再代入即可求得()()4f
f 的值。

【详解】因为()122,1 1,1
x x f x log x x -⎧≤=⎨->⎩
所以()241log 41f =-=- 所以()()()()
11412
4f
f f --=-==
所以选B
【点睛】本题考查了根据定义域求分段函数的值，依次代入即可，属于基础题。

5.
如果
)
1f
x =+，则()
f x 解析式为（ ）
A. ()()2
1f x x x =≥
B. ()()2
10f x x x =-≥
C. ()()211f x x x =-≥
D. ()()2
0f x x
x =≥
【答案】C 【解析】 【分析】
根据配凑法，即可求得()f x 的解析式，注意定义域的范围即可。

【详解】因为)
1f x =+，即))
2
111f
=
-
令1t =
，1t ≥
则()2
1f t t =-，1t ≥ 即()()2
11f x x x =-≥
所以选C
【点睛】本题考查了配凑法在求函数解析式中的应用，注意定义域的范围，属于基础题。

6.下列说法错误的是（ ）
A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法
B. 在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好
C. 线性回归方程对应的直线ˆˆˆy bx a =+至少经过其样本数据点中的一个点
D. 在回归分析中，相关指数2R 越大，模拟的效果越好 【答案】C 【解析】
对于A ，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B ，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C ，线性回归方程
对应的直线ˆˆˆy
bx a =+过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C 错误；对于D ，回归分析中，相关指数R 2
越大，其模拟的效果就越好，正确．故选C.
7.已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2,3⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
B. 2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
C. ()0,2
D. ()0,+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
利用函数y=f （x ）在定义域（﹣1，1）上是减函数，将f （2a ﹣1）＜f （1﹣a ）转化为：2a ﹣1＞1﹣a 求解．
【详解】函数y=f （x ）在定义域（﹣1，1）上是减函数，
则有：1211111211a a a a ＞＞＜＜＞--⎧⎪
--⎨⎪--⎩
，
解得：2
13
a ＜＜， 故选：B ．
【点睛】本题考查了函数的性质的运用，利用了减函数这性质，注意定义域的范围，属于基础题．
8.已知2:(1)(2)0,:log (1)1p x x q x --+剠
，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意解不等式可得集合p 与q 的范围，根据充分必要条件的判定即可判断结论。

【详解】因为2:(1)(2)0,:log (1)1p x x q x --+剠
所以:12p x ≤≤，:1q x …
所以p q ⇒但q ⇒p 所以p 是q 的充分不必要条件 所以选A
【点睛】本题考查了根据不等式判定充分必要条件，属于基础题。

9.给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ,q 均为假命题；②命题“若a b >，则
221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；③“2
,11x R x ∀∈+…
”的否定是
“2,11x x ∃∈+<R ”；④在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件．其中正确的命题的个数是（ ） A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据复合命题真假的判定即可判断①；根据否命题可判断②；根据含有量词的否定可判断③；根据正弦定理及充分必要条件可判断④。

【详解】根据复合命题真假的判断，若“p 且q ”为假命题，则p 或q 至少有一个为假命题，所以①错误；
根据否命题定义，命题“若a b >，则221a b >-”
否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”为真命题，所以②正确；
根据含有量词的否定，“
2,
11x R x ∀∈+…”的否定是“2,11x x ∃∈+<R ”，所以③正确；
根据正弦定理，“A B >”⇒“sin sin A B >”且“A B >”⇐“sin sin A B >”，所以④正确。

综上，正确的有②③④ 所以选C
【点睛】本题考查了复合命题真假的判断、否命题及含有量词的否定，正弦定理和充分必要条件的应用，属于基础题。

10.我们知道：在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为d =。

通过类比的方法，可求得在空间中，点()2,4,1到平面2230x y z +++=的距离为（ ） A. 3 B. 5
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据类比推理的思想，可先得到空间中点到面的距离公式为d =
，根据题中
数据即可求出结果.
【详解】因为在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=
的距离公式为d =
，
类比可得：空间中点到面0Ax By Cz D +++=
的距离公式d =
，
所以点()2,4,1到平面2230x y z +++=
的距离为15
53
d ==
=. 故选B
【点睛】本题主要考查类比推理，熟记类比推理的特征即可，属于常考题型. 11.
若P =
0)Q a =≥，则P ，Q 的大小关系为( )
A. P Q >
B. P Q =
C. P Q <
D. 由a 的取值决定
【答案】C 【解析】
取1a =
得14P =+<
，24Q =+>，所以P Q <，故选C ． （证明如下：要证P Q <，只要证22P Q <，
只要证
7722a a +++<+只要证227712a a a a +<++，只要证
012<，显然012<成立，所以P Q <成立）
12.定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈（-∞，0]（x 1≠x 2），有
()()2121
f x f x x x --＜
0，且f （2）=0，则不等式()()
25f x f x x
+-＜0解集是（ ）
A. ()(),22,-∞-⋃+∞
B. ()(),20,2-∞-⋃
C. ()()2,02,-⋃+∞
D. ()()2,00,2-⋃
【答案】B 【解析】
因为
()()
2121
0f x f x x x -<-，则()f x 在(],0-∞单调递减，由题可知，()f x 的草图如下：
则
()()
()23055f x f x f x x
x
+-=
<，则由图可知，解得()(),20,2-∞-⋃，故选B 。

点睛：抽象函数的综合应用，学生要根据单调性和奇偶性画出函数的草图，再根据图象来解题。

本题中
()()
2121
0f x f x x x -<-根据单调性的定义推论，表示()f x 在(],0-∞单调递减，
()()
()23055f x f x f x x
x
+-=<表示二、四象限的区域，得到答案。

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.函数()()
21(2)
12ax x x f x x x ⎧+->⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是______ .
【答案】1,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
【解析】 【分析】
根据函数单调性定义，即可求得实数a 的取值范围。

【详解】因为函数()()21(2)
12ax x x f x x x ⎧+->⎪=⎨-+≤⎪⎩
是R 上的单调递减函数
所以满足0
1
2242121
a a a <⎧⎪⎪-
≤⎨⎪⎪+-≤-+⎩ 解不等式组可得1
2
a ≤-
即1,2
a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝
⎦
所以选A
【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据函数单调性求参数的取值范围，属于中档题。

14.函数
()()
2
12
56f x log x x =-+-的单调减区间是______． 【答案】522，⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
根据对数函数的定义域及复合函数单调性的判断即可求得单调递减区间。

【详解】因为
()()
2
12
56f x log x x =-+- 所以2560x x -+->解得()2,3x ∈
因为()12
f x lo
g x =为单调递减函数，所以由复合函数单调性判断可知应该取
()256f x x x =-+-的单调递增区间，即5,2
x ⎛⎫
∈-∞ ⎪⎝
⎭
结合定义域可得函数()()
2
12
56f x log x x =-+-的单调减区间是522，⎛⎫
⎪⎝
⎭
【点睛】本题考查了复合函数单调区间的求法，注意对数函数的真数大于0，属于基础题。

15.给出下列不等式：111123+
+>，111312372+++⋯+>，111
122315
+++⋯+>⋯，则按此规律可猜想第n 个不等式为______ ． 【答案】 【解析】
观察各式左边为的和的形式，项数分别为3,7,15，…，∴可猜想第n 个式子中左边应有2n ＋1
－1
项，不等式右边分别写成，，，…，∴猜想第n 个式子中右边应为，按此规律可猜想此类
不等式的一般形式为：1＋＋＋…＋>
(n ∈N *)．
16.函数()21
lg 0x f x x x R x
+=≠∈（），，有下列命题：
①()f x 的图象关于y 轴对称； ②()f x 的最小值是2；
③()f x 在(),0-∞上是减函数，在()0,∞+上是增函数； ④()f x 没有最大值．
其中正确命题的序号是______ ．（请填上所有正确命题的序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】
根据偶函数的定义可判断①；根据基本不等式可判断②；根据复合函数单调性可判断③；由函数单调性可判断④。

【详解】因为()2
21
1
lg lg x x f x f x x
x
-++===-（-）（），由偶函数定义可知函数()f x 关于y 轴对
称，所以①正确；
因为211 2x x x x +=+≥，所以21
lg lg 2x f x x
+=≥（），所以()f x 的最小值为lg 2，所以②错误；
令()211
g x x x x x +==+，结合打勾函数的图象与性质，可知() g x 在()(),1,0,1-∞-上是减函数，在()()1,0,1,-+∞上是增函数，所以21
lg x f x x
+=（）在()(),1,0,1-∞-上是减函数，在
()()1,0,1,-+∞上是增函数，所以③错误；
由③可知，()f x 没有最大值，所以④正确。

综上所述，正确命题序号是①④
【点睛】本题考查了函数的综合应用，偶函数的定义，基本不等式的应用，打勾函数的图象与性质，属于中档题。

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17.已知复数()()2342z i i i =+-+-．
（1）求复数z 的共轭复数z 及z ；
（2）求复数()
()2
12z z a a ai a R =+-+∈是纯虚数，求实数a 的值．
【答案】（1）33i -+,（2）1-. 【解析】 【分析】
（1）根据复数乘法及加法运算，化简z ，根据共轭复数的概念及复数模的定义可得解。

（2）代入复数z ，根据纯虚数定义可得关于a 的方程组，即可求得实数a 的值。

【详解】（1）复数()()234 2.z i i i =--＋＋
226342z i i i i =+--+-
33i =--
33z i =-+，
z ==
（2）因为复数()()
()2
2
12233z z a a ai a a a i =+-+=--+-是纯虚数,
所以223030
a a a ⎧--=⎨-≠⎩,解得1a =-.
所以实数1a =-.
【点睛】本题考查了复数的相关概念和运算，属于基础题。

18.设a R ∈，命题q ：x R ∀∈，210x ax ++>，命题p ：[1,2]x ∃∈，满足(1)10a x -->. （1）若命题p q ∧是真命题，求a 的范围；
（2）()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真，求a 的取值范围.
【答案】(1)44()(1)1c c
y x e e c c =
-+++.
(2) 2a ≤-或44()(1)1c c
y x e e c c
=-+++.
【解析】
分析：（1）根据题意，求解p 真：32
a >
；q
真：22a -<<，即可求解p q ∧； （2）根据()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真，得到,p q 同时为假或同时为真，分类讨论即可求解实数
a 的取值范围．
详解：（1）p 真，则
或得；
q 真，则a 2
﹣4＜0，得﹣2＜a ＜2，
∴p ∧q 真，．
（2）由（￢p ）∧q 为假，（￢p ）∨q 为真⇒p 、q 同时为假或同时为真， 若p 假q 假，则
，⇒a≤﹣2，
若p 真q 真，则，⇒
综上a ≤﹣2或．
点睛：本题主要考查了逻辑联结词的应用，解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．
19.为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由．
（参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++）
独立性检验临界值表：
【答案】（1）见解析（2）可以
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样比计算出全班喜欢体育运动的人数和不喜欢体育运动的人数，可将列联表补充完整；
（2）根据公式计算K2，对照临界值表作结论．
【详解】（1）设喜好体育运动人数为x，则
6 5010
x
= .
所以30
x=
列联表补充如下：
（2）因为()2
250201510525
8.333 6.63530202525
3
k ⨯⨯-⨯=
=
=>⨯⨯⨯ 所以可以在犯错误率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关.
【点睛】本题考查分层抽样的统计原理，独立性检验的运用，考查学生分析解决问题的能力，是基础题．
20.在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这x 个分店的年收入之和．
（1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程
y b x a =+；
（2）假设该公司在A 区获得的总年利润z （单位：百万元）与,x y 之间的关系为
20.05 1.4z y x =--，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店时，
才能使A 区平均每个分店的年利润最大？
参考公式:1
2
1
()()
,()
n
i
i
i n
i
i x x y y b a y b x x x ==--=
=--∑∑,
ˆy
bx a =+. 【答案】(1) 0.850.6y x =+;(2) 该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大. 【解析】 试题分析：
（1）根据所给数据，按照公式计算回归方程中的系数即可； （2）利用（1）得利润z 与分店数x 之间的估计值，计算
z
x
，由基本不等式可得最大值．
试题解析：
（1）由表中数据和参考数据得：4,4x y ==，
()
()()5
5
2
1
1
10,8.5i
i i i i x x x x y y ==-=--=∑∑，
∴()()()
1
2
1
8.50.851ˆ0n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--===-∑∑，∴440.850.6ˆˆa y bx
=-=-⨯=， ∴0.850.6y x =+．
（2）由题意，可知总收入的预报值ˆz 与x 之间的关系为：20.050.850.ˆ8z x x =-+-， 设该区每个分店的平均利润为t ，则z
t x
=
， 故t 的预报值ˆt
与x 之间的关系为0.8800.050.850.ˆ0150.85t x x x x ⎛
⎫=--+=-++ ⎪⎝
⎭， 则当4x =时，ˆt
取到最大值， 故该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大．
21.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，()()12
log 1f x x =-+.
（1）求()()31f f +-； （2）求函数()f x 的解析式；
（3）若()11f a -<-，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）3-；（2）12
12
log (1),0
()log (1),0x x f x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩；（3）2a >或0a <.
【解析】 分析】
（1）根据偶函数定义及0x ≤时的解析式，即可求得()()31f f +-的值。

（2）令0x ＞，结合偶函数定义可求得0x ＞的解析式，进而写出整个定义域内的解析式。

（3）根据函数单调性及1f （
）=-1，解关于a 的不等式11a -＞即可得a 的取值范围。

【详解】（1）∵f x （） 是定义在R 上的偶函数，0x ≤ 时，()()12
1f x log x =-+，
∴31f f +-（）（）
31f f =-+-（）（）
()()112
2
42log log =+
213=--=- ；
（2）令0x ＞，则0x -＜ ， ()12
1f x log x f x -=+=（
）（） ∴0x ＞ 时， ()12
1f x log x =+（
）， 则()()1212
1,0
1,0log x x f x log x x ⎧-≤⎪=⎨⎪⎩＋（）＋＞．
（3）∵()()12
1f x log x =-+在
0]-∞（， 上为增函数， ∴f x （） 在∞（0，+）
上为减函数 ∵111f a f --=（
）＜（） ∴11a -＞
， ∴2a ＞或0.a ＜
【点睛】本题考查了函数奇偶性的定义，根据奇偶性求函数解析式，根据单调性求参数取值范围，属于基础题。

22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，
以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为sin()4
π
ρθ+=.
（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ
最小值以及此时P 的直角坐标.
【答案】（1）1C ：2
213
x y +=，2C ：40x y +-=；
（2
）min PQ =31(,)22P . 【解析】
试题分析：（1）1C 的普通方程为2
213
x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；
（2）由题意，可设点
P 的直角坐标
为
,sin )
αα⇒
P 到
2C 的距离
π
()sin()2|3d αα=
=+-
⇒
当且仅当π
2π()6
k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为
31(,)22
. 试题解析： （1）1C 的普通方程为2
213
x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.
（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即
为P 到2C 的距离()d α的最小值，π
()sin()2|
3d αα==+-.
当且仅当π2π()6k k α=+
∈Z 时，()d α取得最小值，，此时P 的直角坐标为31
(,)22
. 考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程(,)0F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围． 【此处有视频，请去附件查看】
23.已知函数()=||+|2321|f x x x +-． （1）求不等式()8f x <的解集；
（2）若关于x 的不等式()31f x m ≤+有解，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）5322（，）（2）m ≤﹣
5
3
或m ≥1． 【解析】 试题分析：
(Ⅰ)零点分段可得不等式的解集为{x |-
53
22
x <<}； (Ⅱ)由题意得到关于实数m 的不等式，求解不等式可得实数m 的取值范围是m ≤﹣5
3
或m ≥1. 试题解析：
（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8，
可化为①或②或③，…
解①得﹣＜x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x＜3
2
，
综合得原不等式的解集为{x|-53
22
x
<<}．
（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，…
又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣5
3
或m≥1．。