[推荐学习]高中数学第一章基本初等函数II1.1任意角的概念与蝗制1.1.2蝗制和蝗制与角度制的换算

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
示范教案
整体设计
教学分析
在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度
为单位进行度量，并且一度的角等于周角的1
360
，记作1°.
通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式，使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的．进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点．有条件的学校可进行计算机练习，学习电子表格和Scilab中的公式计算功能．以后学生可使用这一功能检查自己的计算结果 .
三维目标
1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．通过弧度制的学习，培养学生理性思维的良好习惯．
2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．
重点难点
教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算．
教学难点：弧度的概念及其与角度的关系．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？
思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．推进新课
新知探究
提出问题
1在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？
2我们从度量长度和重量上知道，不同的单位制能给我们解决问题带来方便，那么
角的度量是否也能用不同单位制呢？
活动：教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad.如图1中，的长等于半径r ，AB 所对的圆心
角∠AOB 就是1弧度的角，即l
r
＝1.
图1
讨论结果：
(1)1°的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值，与所取圆的半径大小无关．
(2)能，用弧度制． 提出问题
1作半径不等的甲、乙两圆，在每个圆上作出等于其半径的弧长，连结圆心与弧的两个端点，得到两个角，将乙图移到甲图上，两个角有什么样的关系？
2如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？
活动：教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1
360；第
三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．教师要强调，为了让学生习惯使用弧度制，本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制．
讨论结果：
(1)完全重合，因为都是1弧度的角．
(2)α＝l r ；将角度化为弧度：360°＝2π rad ，1°＝π
180 rad≈0.017 45 rad；将弧度
化为角度：2π rad ＝360°，1 rad ＝(180
π)°≈57.30°＝57°18′.弧度制与角度制的换算
公式：设一个角的弧度数为α rad ＝(180απ)°，n°＝n π
180
(rad)．
在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度
数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、
零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．
提出问题
(1)引入弧度之后，在平面直角坐标系中，终边相同的角应该怎么用弧度来表示？扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
(2)填写下列的表格，找出某种规律．
的长
(3)你能写出把角度值n换算为弧度值的一个算法吗？
活动：设置这个表格的意图是让学生对一些特殊角填表，然后概括出一般情况．教师让学生互动起来，讨论并总结出规律，提问学生的总结情况，让学生板书，教师对做正确的学生给予表扬，对没有总结完全的学生进行简单的提示．检查完毕后，教师做个总结．由上表可知，如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数的
绝对值是l
α
.这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一．教师指出，角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应．在理解以上的对应关系时，应该注意角度制是60进位制，遇到35°6′这样的角，应该把它化为10进制的数值35.1°，但是弧度数不存在这个问题，因为弧度数是十进制的实数．这是角度制与弧度制的一个重要区别．值得注意的是：今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两种单位不能混用，绝对不能出现k·360°＋π
3
或者2kπ＋60°一类的写法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z)的形式．如图2为角的集合与实数集R之间的一一对应关系．
图2
讨论结果：
(1)与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2k π(k∈Z )的形式．弧度制下关于扇形的公式为l ＝αR ，S ＝12αR 2，S ＝1
2
lR.
(2)
的长 (3)把角度值n 换算为弧度值的一个“算法”如下： ①给变量n 和圆周率π的近似值赋值；
②如果角度值n 是以“度、分、秒”形式给出，先把n 化为以“度”为单位的10进制表示；
③计算π
180(把1°换算为弧度值)，得出的结果赋给变量a ；
④计算na ，赋值给变量α. α就是这个角的弧度值． 应用示例
思路1
例 1下列命题中，真命题是( ) A ．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B ．一弧度是长度为半径的弧
C ．一弧度是一度的弧与一度的角之和
D ．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 活动：本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，熟练掌握定义．根据弧度制的定义，对照各项，可知D 为真命题．
例 2(1)把112°30′化成弧度(精确到0.001)； (2)把112°30′化成弧度(用π表示)．
解：(1)按照上面写出的算法步骤，依次计算： ①n＝112°30′，π＝3.141 6； ②n＝11230
60＝112.5；
③a＝π
180≈0.017 5；
④α＝na ＝1.968 75. 因此α≈1.969 rad.
(2)112°30′＝(2252)°＝2252×π180＝5π
8
.
例 3将下列用弧度制表示的角化为2k π＋α(k∈Z ，α∈[0,2π))的形式，并指出它们
所在的象限：
(1)－15π4；(2)32π3
；(3)－20；(4)－2 3.
活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般规律，即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是：{β|β＝k π，k∈Z }，{β|β＝π
2
＋k π，k∈Z }．第一、二、三、四象限角的集合分别为：
{β|2k π<β<2k π＋π2，k∈Z }，{β|2k π＋π
2<β<2k π＋π，k∈Z }，
{β|2k π＋π<β<2k π＋3π2，k∈Z }，{β|2k π＋3π
2<β<2k π＋2π，k∈Z }．
解：(1)－15π4＝－4π＋π
4，是第一象限角．
(2)32π3＝10π＋2π
3，是第二象限角．
(3)－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．
(4)－23≈－3.464，是第二象限角．
点评：在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2k π＋α(k∈Z ，α∈[0,2π))的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k×6.28＋α，k∈Z ，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与π
2，π，
3π
2比较大小，估计出角所在的象限.
例 4如图3，(1)扇 形AOB 中，所对的圆心角是60°，半径为50米，求A B 的长
l(精确到0.1米)．
图3
(2)利用弧度制推导扇形面积公式：S ＝1
2lr ，其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径．
活动：本例目的是让学生在教师的指导下以扇形为背景，进一步理解弧度制的优越性．可先让学生多做相应的随堂练习，在黑板上当场演练，教师给予批改指导，对易出错的地方特别强调．对学生出现的种种失误，教师不要着急，在学生的练习操作中一一纠正，这对以后学习大有好处．
解：(1)如图3，因为60°＝π3，所以l ＝α·r＝π
3
×50≈1.05×50＝52.5. 答：
的长约为52.5米．
(2)如图4，因为圆心角为1 rad 的扇形的面积为πr 2
2π＝12r 2
，而弧长为l 的扇形的圆心
角的大小为l r rad ，所以它的面积S ＝l r ·r 2
2＝12lr ，即S ＝1
2
lr.
图4
例 5已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个
最大值．
活动：这道应用题考查了函数思想．教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤，函数法求最值所包括的五个基本环节：(1)选取自变量；(2)建立目标函数；(3)指出函数的定义域；(4)求函数的最值；(5)作出相应结论．其中自变量的选取不唯一，建立目标函数结合有关公式进行，函数定义域要根据题意确定，有些函数是结构确定求最值的方法，并确保在定义域内能取到最值．
解：设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S.由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r.
∴S＝12l·r＝12(a －2r)·r＝－r 2
＋a 2r ＝－(r －a 4)2＋a 2
16.
∵r>0，l ＝a －2r>0，∴0<r<a 2.
∴当r ＝a 4时，S max ＝a
2
16
.
此时，l ＝a －2·a 4＝a 2，∴α＝l
r
＝2.
故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积取最大值a
2
16.
课堂小结
由学生总结弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法．教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad 这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算．
作业
课本本节练习A 组 3,4；练习B 组 3,4,5.
设计感想 本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．通过探究让学生明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度．
本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角
的好处并为后续三角函数的学习奠定基础．
备课资料
一、密位制度量角
度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制．密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的1
6 000所对的圆心角(或这条弧)的大小．因为360°＝6 000密位，所
以
1°＝6 000密位360≈16.7密位，1密位＝360°6 000
＝0.06°＝3.6′≈216″.
密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0—07，读
作“零，零七”，478密位写成4—78，读作“四，七八”．
二、备用习题
1．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )
A.
π3 B.π
6
C ．1
D ．π 2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变
C ．扇形的面积增大到原来的2倍
D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍
3．下列表示的为终边相同的角的是( )
A ．k π＋π4与2k π＋π4(k∈Z ) B.k π2与k π＋π
2(k∈Z )
C ．k π－2π3与k π＋π
3(k∈Z ) D ．(2k ＋1)π与3k π(k∈Z )
4．已知0<θ<2π，7θ角的终边与θ角的终边重合，则θ＝__________.
5．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2
，求扇形的中心角的弧度数．
6．若α∈(－π2，0)，β∈(0，π
2)，求α＋β，α－β的范围，并指出它们各自所
在的象限．
7．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图5所示)．
图5
8．(1)角α，β的终边关于直线y ＝x 对称，写出α与β的关系式； (2)角α，β的终边关于直线y ＝－x 对称，写出α与β的关系式． 参考答案：
1．A 2.B 3.C 4.
π3，2π3，π，4π3，5π3
5．解：设扇形所在圆的半径为R ，扇形的中心角为α，依题意有 αR ＋2R ＝6，且12αR 2
＝2，
∴R＝1，α＝4或R ＝2，α＝1. ∴α＝4或1.
6．解：－π2<α＋β<π
2
，
∴α＋β在第一象限或第四象限，或α＋β的终边在x 轴的非负半轴上．
－π<α－β<0，
∴α－β在第三象限或第四象限，或α－β的终边在y 轴的非正半轴上． 7．解：(1){θ|2k π－π6<θ<2k π＋5π
12，k∈Z }；
(2){θ|2k π－3π4<θ<2k π＋3π
4
，k∈Z }；
(3){θ|2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k∈Z }∪{θ|2k π＋7π6<θ<2k π＋3π
2，k∈Z }
＝{θ|n π＋π6<θ<n π＋π
2，n∈Z }．
8．解：(1)β＝π
2－α＋2k π，k∈Z ；
(2)β＝3π
2
－α＋2k π，k∈Z .
三、钟表的分针与时针的重合问题
弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化．时间的度量单位时、分、秒分别与角2π(rad)，π30(rad)，π
1 800(rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒．时
钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨．
例题 在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?
甲生：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x 弧度，则分针转过了2π＋x 弧度，而时针走1弧度相当于经过6π h ＝360
π min ，
分针走1弧度相当于经过30π min ，故有360πx ＝30π(2π＋x)，得x ＝2π
11
，
∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是
2π11＋2π＝24π
11
(rad)． 乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(因为再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝24π
11
，
∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是24π
11
(rad)．
点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而已．甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数α－2π与时针所转过的弧度数相等，利用弧度数之间的关系列出方程求解．。