2023-2024学年青海省西宁市九年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年青海省西宁市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列四个图形中，是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
2.对于任意实数k，关于x的一元二次方程的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根
B.无实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
3.下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是()
A.黄河入海流
B.大漠孤烟直
C.手可摘星辰
D.红豆生南国
4.在平面直角坐标系中，把点绕原点O旋转后，所得到的对应点的坐标为()
A. B. C. D.
5.如图，的半径为8，直角三角板角的顶点A落在上，两边与分别
交于B，C两点，则弦BC的长为()
A.4
B.
C.8
D.
6.如图，的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接若，，
则OE的值是()
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，，，，将绕点C逆时
针旋转得到，连接，若以点为圆心，长为半径的圆与相切，
则下列结论错误的是()
A.
B.
C.是等边三角形
D.
8.抛物线经过点，且，下列结论正确的是()
A.当时，y随x的增大而减小
B.抛物线与y轴的交点坐标是
C.
D.函数值时，自变量x的取值范围是
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

9.正六边形的中心角是______.
10.已知关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为______.
11.八年级班有40位同学，他们的学号是，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于其中，发生可能性最小的事件为______填
序号
12.关于x的一元二次方程的两根分别为，，则b的值是______.
13.将抛物线向右平移3个单位长度后得到的抛物线表达式为______.
14.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为
，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______米．
15.某小区新增了一家快递店，每天的揽件数逐日上升，第一天揽件100件，第三天揽件144件，则该快递店揽件的日平均增长率为______.
16.如图，从一块直径是2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下
来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是______
17.如图，，O为射线BC上一点，以点O为圆心，长为半径作圆.
将射线BA绕点B顺时针旋转，使射线BA与相切，则旋转角的度数是______.
18.如图，正方形AOBC的边OB，OA分别在x轴和y轴上，点，点
在BC边上，将以点A为旋转中心，顺时针旋转得到，AM平分
交OB于点M，则点M的坐标是______.
三、解答题：本题共9小题，共64分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.本小题4分
解方程：
20.本小题7分
如图，在平面直角坐标系中，点，，
作出关于原点对称的；
作出绕点C逆时针旋转后的；
点B的对应点的坐标为______.
21.本小题7分
双十一期间，某商场为了吸引顾客，一次购物满500元可获得一次转转盘抽奖金的机会.如图是一个可以自
由转动的转盘转盘被等分成4个扇形，转动转盘停止后，根据指针指向指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止，参照如表获得对应的奖金.
颜色白色蓝色黄色红色
奖金元10205080
甲顾客一次购物300元，他获得奖金的概率是______；
乙顾客一次购物1100元，可参加两次转转盘抽奖金的机会，请用列表法或画树状图的方法求乙顾客两次共获得100元奖金的概率，并列出所有等可能的情况.
22.本小题7分
如图，中，，，，点P从点A开始沿AB向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止运动，
经过多长时间的面积是？
23.本小题7分
物理课上我们学习了物体的竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度单位：与小球运动的时间单位：之间的函数图象是如图所示的抛物线.
小球从抛出到落地经过的路程是______m；
求y与之间的函数关系式.
24.本小题7分
某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为60元.通过调查发现，若每箱降价1元，每天可多售出2箱.
若将这种饮料每箱降价x元，每天可售出______箱；用含x的代数式表示
如果要使每天销售饮料的利润元最大，每箱应降价多少元？最大利润是多少？
25.本小题7分
如图，为等腰三角形，点O是底边BC的中点，腰AB与相切于点
求证：AC是的切线；
若，，求图中阴影部分的面积.
26.本小题8分
在学习了《圆》以后，我们发现作辅助圆，利用圆的基本性质可以帮助我们解决一些求角度的问题.
例：如图①，在中，，，点D是外一点，且，求
的度数.
将下列解题过程补充完整
解：以点A为圆心，AB长为半径作，
，，
，D两点都在上.
，，
____________
【初步应用】
如图②，在四边形ABCD 中，，
，求
的度数.
【方法迁移】
如图③，已知线段AB 和直线l ，在直线l 上求作一点P ，使，用直尺和圆规在l 上作出所
有符合条件的点
不写作法，保留作图痕迹
27.本小题10分如图，抛物线
与x 轴交于
，
两点，点C 为抛物线的顶点.
求抛物线的解析式；
求抛物线的顶点C 的坐标，并直接写出抛物线在直线BC 下方时自变量x 的取值范围；
过A ，B 两点的
与抛物线在第一象限交于点D ，且
，求点M 的坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：图形不是中心对称图形，不符合题意；
B.图形是中心对称图形，符合题意；
C.图形不是中心对称图形，不符合题意；
D.图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：
根据中心对称图形的定义：平面内一个图形绕某点旋转后与初始图形重合，这个图形叫做中心对称图形；对所给选项进行判断即可得解．
此题考查中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答此题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：
先计算根的判别式的值得到，根据非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义判断
方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
3.【答案】C
【解析】解：“黄河入海流”是必然事件，因此选项
A不符合题意；
B.“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意；
C.“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项C符合题意；
D.“红豆生南国”是必然事件，因此选项D不符合题意；
故选：
根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可．
本题考查必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是正确判断的
前提．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点，
点坐标为，
点的坐标
故选：
将点P绕原点O顺时针旋转，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．
本题考查了坐标与图形的变换-旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：如图所示，连接OC，OB，
，，
，
又，
是等边三角形，
，
故选：
连接OC，OB，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：过O点作于H点，于F点，连接OB、OC，如图，则
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
四边形OHEF为正方形，
故选：
过O点作于H点，于F点，连接OB、OC，如图，先根据垂径定理得到，，则，再证明得到，然后证明四边形
OHEF为正
方形，从而得到
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
7.【答案】D
【解析】解：以点为圆心，长为半径的圆与相切，
，
，所以A选项不符合题意；
绕点C逆时针旋转得到，
，，，，，
，
为等边三角形，所以C选项不符合题意，
，，
，所以B选项不符合题意；
在中，，所以D选项符合题意．
故选：
先根据切线的性质得到，则可对A选项进行判断；再根据旋转的性质得到，，，，，则可计算出
，于是可判断为等边三角形，则可对C选项进行判断；接着根据等边三角形的性质
得到，，所以，于是可对B选项进行判断；然后在
中利用勾股定理计算出，从而可对D选项进行判断．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理和旋转的性质．
8.【答案】C
【解析】解：，且，
当时，y随x的增大而增大，
故A错误；
令，则，
抛物线与y轴的交点坐标是，
故B错误；
抛物线经过点，
，
，
，
，
故C正确；
抛物线经过，对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一交点为，
抛物线开口向下，
函数值时，自变量
x的取值范围是或，
故D错误．
故选：
根据抛物线开口向下，对称轴为直线，由函数的性质可以判断
A；令，求出y，即可得出抛物线与y轴的交点坐标，从而可以判断B；根据抛物线经过点得出，再根据，从而可以判断C；根据抛物线与x轴的交点以及函数的性质可以判断
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，解答此题的关键熟练掌握二次函数的对称轴、与x轴的交点，函数的增减性．
9.【答案】
【解析】解：正六边形的中心角是：
故答案为：
根据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：
此题考查了正多边形的中心角．此题比较简单，注意准确掌握定义是关键．
10.【答案】
【解析】解：把0代入方程有：
，
，
；
，
，
故答案为：
方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值．
本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．
11.【答案】③
【解析】解：①抽到的学号是奇数的可能性为；
②抽到的学号是个位数的可能性为；
③抽到的学号不小于35的可能性为，
，
发生可能性最小的事件为为③．
故答案为：③．
分别求出3个事件的概率即可求解．
本题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．12.【答案】
【解析】解：关于x的一元二次方程的两根分别为，，
，
故答案为：
由关于x的一元二次方程的两根分别为，，利用根与系数的关系，即可求得b的值．
此题考查了根与系数的关系．此题比较简单，注意掌握若二次项系数为1，，是方程的
两根时，则，
13.【答案】
【解析】解：将抛物线向右平移3个单位长度后得到的抛物线表达式为：，
故答案为：
根据“左加右减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
14.【答案】
【解析】解：令，即，
解得：，
令，即，求出x值，进而求解．
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是弄懂题意，该题比较简单．
15.【答案】
【解析】解：设该快递店揽件的日平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
该快递店揽件的日平均增长率为
故答案为：
设该快递店揽件的日平均增长率为x，利用该快递店第三天的揽件数量=该快递店第一天的揽件数量
该快递店揽件的日平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
设圆锥的底面圆的半径为r m，
根据题意得，
解得，
即圆锥的底面圆的半径为
故答案为：
先利用等腰直角三角形的性质得到，设圆锥的底面圆的半径为rm，利用弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17.【答案】或
【解析】解：如图：
①当与相切，且位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则
中，，
，
，
；
②当与相切，且位于BC下方时，
同①，可求得；
此时，
故旋转角的度数为或
故答案为：或
当与相切时，可连接圆心与切点，通过构建直角三角形，求出的度数，然后再根据的不同位置分类讨论．
此题主要考查的是切线的性质以及旋转的性质，需注意切线的位置有两种情况，不要漏解．
18.【答案】
【解析】解：连接DM，
将以点A为旋转中心，顺时针旋转得到，
，，
平分交OB于点M，
，
，
≌，
，
点，点，四边形AOBC是正方形，
，，，
设，则，，
，
，
解得，
的坐标为，
故答案为：
连接DM，证明≌，得出，设，则，然后根据勾股定理即可解答．
本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键．
19.【答案】解：，
整理得：，
，
配方，得，
，
开方得：，
解得：，
【解析】整理后方程两边除以2，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．本题考查了解一元一次方程，能正确配方得出是解此题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
点B的对应点的坐标为
故答案为：
根据中心对称的性质作图即可．
根据旋转的性质作图即可．
由图可得答案．
本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．21.【答案】0
【解析】解：元元，
甲顾客不能获得转转盘抽奖金的机会，
他获得奖金的概率是
故答案为：
列表如下：
白蓝黄红
白白，白白，蓝白，黄白，红
蓝蓝，白蓝，蓝蓝，黄蓝，红
黄黄，白黄，蓝黄，黄黄，红
红红，白红，蓝红，黄红，红
由表格可知，共有16种等可能的结果，获得的奖金分别为：20元，30元，60元，90元，30元，40元，70元，100元，60元，70元，100元，130元，90元，100元，130元，160元．
其中乙顾客两次共获得100元奖金的结果有：蓝，红，黄，黄，红，蓝，共3种，
乙顾客两次共获得100元奖金的概率为
由题意可知，甲顾客不能获得转转盘抽奖金的机会，则他获得奖金的概率是
列表得出所有等可能的结果数以及乙顾客两次共获得100元奖金的结果数，再利用概率公式可得出答案．本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22.【答案】解：，
当运动时间为时，，，，
根据题意得：，
即，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：经过的面积是
【解析】当运动时间为时，，，根据的面积是，可列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】80
【解析】解：由图象知小球在空中经过的路程是
故答案为：
由题意，设函数解析式为：，
又图象过，
解得：，
依据题意，由图象知小球在空中经过的路程是，进而得解；
依据题意，设函数解析式为：，又图象过，从而列式计算可以得解．
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：由题意可得，若将这种饮料每箱降价x元，每天可售出箱．
故答案为：
由题意得，设每箱应降价x元，
每天销售饮料的利润
，
当时，
w取得最大值，此时
答：要使每天销售饮料的利润元最大，每箱应降价5元，最大利润是
依据题意，由销量与降价的关系列式可以得解；
依据题意，设每箱应降价x元，再将w与x的函数关系式化为顶点式，即可解答本题．
本题主要考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
25.【答案】证明：过点O作于点E，连接OD，OA，
与相切于点D，
，
为等腰三角形，O是底边BC的中点，
是的平分线，
，即OE是的半径，
经过的半径OE的外端点且垂直于OE，
是的切线；
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
【解析】过点O作于点E，连接OD，OA，根据等腰三角形的性质，证得AO平分，根据角平分线的性质，即可证得，即可证明AC是切线；
根据阴影部分的面积的面积的面积的面积-扇形DOE的面积，计算即可．本题主要考查了切线的性质和判断、等腰三角形的性质、扇形的面积公式的综合运用．熟练掌握证明切线的方法是解决此类问题的关键，证明切线的方法：连半径，证垂直；作垂直，正半径．
26.【答案】45一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
【解析】解：以点A为圆心，AB长为半径作，如图，
，，
，
D两点都在上．
，，
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
故答案为：45；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
，
，
，B，C，D四点在以BD为直径的圆上，
以BD为直径作出，如图，
，
①作出线段AB的垂直平分线EF，
②以B为圆心，以AB为半径画弧交EF于点O，连接OA，OB，得等边三角形OAB，
③以O为圆心，OA为半径画，与直线l交于两点，
则这两点为所有符合条件的点
利用等腰直角三角形的性质和圆周角定理解答即可；
利用对角互补的四边形内接于圆的性质，得到A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上，作出该圆，再利用圆周角定理解答即可；
作出线段AB的垂直平分线，得到等边，以O为圆心，OA为半径画，与直线l交于两点即为所求．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，尺规作图，熟练掌握圆周角定理和基本作图的方法是解题的关键．
27.【答案】解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
，
抛物线的顶点C的坐标为，对称轴为直线，
由图象可知，抛物线在直线BC下方时自变量x的取值范围是；
设抛物线的对称轴直线与x轴交于点N，过点D作直线于点H，如图：
经过点A，点B，
点M在AB的中垂线上，即点M在对称轴直线上，
，
，
，
≌，
，，
设，则点D的坐标为，
又点D在抛物线上，
，
解得：，，
，
，
点M的坐标为
【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式为；
由，得抛物线的顶点C的坐标为，对称轴为直线，故抛物
线在直线BC下方时自变量x 的取值范围是；
设抛物线的对称轴直线与x轴交于点N，过点D 作直线于点H ，根据经过点A，点B，知点M在AB的中垂线上，即点M 在对称轴直线上，证明≌，可得
，，设，则点D 的坐标为，即得
，从而解得x的值，可得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，圆的性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的式子表示D的坐标．
第21页，共21页。