高考数学一轮复习课时作业二十三 理 试题

智才艺州攀枝花市创界学校课时作
业(二十三)
1．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，那么∠A＝()
A．60°B．45°
C．120°D．30°
答案C
解析cos A＝＝＝－，∴∠A＝120°.
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝，a＝，b＝1，那么c等于()
A．1 B．2
C.－1
D.
答案B
解析由正弦定理＝，可得＝，
∴sin B＝，故∠B＝30°或者150°.由a>b，
得∠A>∠B，∴∠B＝30°.
故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2.
3．在△ABC中，假设sin A·sin B<cos A·cos B，那么此三角形的外心位于它的()
A．内部B．外部
C．一边上D．以上都有可能
答案B
解析sin A sin B<cos A cos B，
即cos A cos B－sin A sin B>0，∴cos(A＋B)>0，
∴A＋B为锐角，∴C为钝角，
∴△ABC为钝角三角形，外心位于它的外部．
4．在△ABC中，三内角A、B、C分别对三边a、b、c，tan C＝，c＝8，那么△ABC外接圆半径R为() A．10 B．8
C．6 D．5
答案D
解析此题考察解三角形．由题可知应用正弦定理，
由tan C＝⇒sin C＝，
那么2R＝＝＝10，故外接圆半径为5.
5．(2021·模拟)△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边，假设a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为()
A．1＋B．3＋
C. D．2＋
答案C
解析2b＝a＋c，ac·＝⇒ac＝2，a2＋c2＝4b2－4，
b2＝a2＋c2－2ac·⇒b2＝⇒b＝.
6．在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，那么△ABC的面积为()
A. B.
C.或者
D.或者
答案D
解析如图，由正弦定理得
sin C＝＝，而c>b，
∴C＝60°或者C＝120°，
∴A＝90°或者A＝30°，
∴S△ABC＝bc sin A＝或者.
7．(2021·理)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，那么sin C的值是()
A. B.
C. D.
答案D
解析设AB＝c，那么AD＝c，BD＝，BC＝，在△ABD中，由余弦定理得cos A＝＝，那么sin A＝.在△ABC 中，由正弦定理得＝＝，解得sin C＝，应选择D.
8．在△ABC中，假设(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且sin C＝2sin A cos B，那么△ABC是()
A．等边三角形
B．等腰三角形，但不是等边三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形，但不是等腰三角形
答案A
解析∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
即a2＋b2－c2＝ab，
∴cos C＝＝，∴C＝60°.
又sin C＝2sin A cos B，
由sin C＝2sin A·cos B得c＝2a·，
∴a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC为等边三角形．
9．(2021·)在△ABC中，假设b＝5，∠B＝，tan A＝2，那么sin A＝________；a＝________.
答案2
解析因为△ABC中，tan A＝2，所以A是锐角，且＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sin A＝，再由正弦定理得＝，代入数据解得a＝2.
10．(2021·调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，假设a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，那么角A的大小为________．
答案
解析因为sin C＝2sin B，所以c＝2b，
于是cos A＝＝＝，
又A是三角形的内角，所以A＝.
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.假设1＋＝，那么角A的大小为________．答案
解析∵＝，1＋＝1＋
＝＝＝，
∴＝.
在△ABC中，sin B≠0，sin C≠0，
∴cos A＝，A＝，故填.
12．对于△ABC①假设sin2A＝sin2B，那么△ABC为等腰三角形；②假设sin A＝cos B，那么△ABC为直角三角形；③假设sin2A＋sin2B＋cos2C<1，那么△ABC
答案③
解析①sin2A＝sin2B，
∴
故①不对．
②sin A＝cos B，∴A－B＝或者A＋B＝.
∴△ABC不一定是直角三角形．
③sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，
∴a2＋b2<c2.
∴△ABC为钝角三角形．
13．△ABC中，∠B＝45°，AC＝，cos C＝.
(1)求BC边的长；
(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．
答案(1)3(2)
解析(1)由cos C＝得sin C＝，
sin A＝sin(180°－45°－C)
＝(cos C＋sin C)＝.
由正弦定理知
BC＝·sin A＝·＝3.
(2)AB＝·sin C＝·＝2.
BD＝AB
CD＝
＝＝.
讲评解斜三角形的关键在于灵敏地运用正弦定理和余弦定理，纯熟掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理＝求B时，应对解的个数进展讨论；a，b，A，求c时，除用正弦定理＝外，也可用余弦定理a2＝b2＋c2－2ab cos A求解．
14．在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，b2＋c2＝a2＋bc.
(1)求角A的大小；
(2)假设2sin2＋2sin2＝1，试判断△ABC的形状．
答案(1)(2)等边三角形
解(1)在△ABC中，∵b2＋c2＝a2＋bc，
∴cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵2sin2＋2sin2＝1，
∴1－cos B＋1－cos C＝1.
∴cos B＋cos C＝1，即cos B＋cos(－B)＝1，
即cos B＋coscos B＋sinsin B＝1，
即sin B＋cos B＝1，∴sin(B＋)＝1.
∵0<B<π，∴<B＋<.∴B＋＝.
∴B＝，C＝.∴△ABC为等边三角形．
15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(2sin B，－)，n＝(cos2B,2cos2－1)，且m∥n.
(1)求锐角B的大小；
(2)假设b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．
答案(1)(2)
解析(1)m∥n⇒2sin B(2cos2－1)＝－cos2B⇒2sin B cos B＝－cos2B⇒tan2B＝－.
∵0<2B<π，∴2B＝，∴B＝.
(2)b＝2，由余弦定理，得：
4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．
∵△ABC的面积S△ABC＝ac sin B＝ac≤，
∴△ABC的面积S△ABC的最大值为.
1．(2021·西城期末)△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，那么A等于()
A．150°B．90°
C．60°D．30°
答案D
解析由正弦定理得＝，得sin A＝.
又a<b，∴A<B＝45°.∴A＝30°，应选D.
2．(2021·质测)△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶，那么此三角形的最大内角的度数是()
A．60°B．90°
C．120°D．135°
答案C
解析∵在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c，
∴a∶b∶c＝1∶1∶.
设a＝b＝k，c＝k，那么cos C＝＝－，
∴C＝120°，应选C.
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，假设a＝2b cos C，那么此三角形一定是()
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或者直角三角形
答案C
解析因为a＝2b cos C，所以由余弦定理得：a＝2b×，整理得b2＝c2，那么此三角形一定是等腰三角形．4．(2021·)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin C＋cos C＝1－sin.
(1)求sin C的值；
(2)假设a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．
答案(1)(2)＋1
解析(1)由得sin C＋sin＝1－cos C，即sin(2cos＋1)＝2sin2，
由sin≠0得2cos＋1＝2sin，即sin－cos＝，
两边平方整理得：sin C＝.
(2)由sin－cos＝>0得<<，即<C<π，那么由sin C＝得cos C＝－，
由a2＋b2＝4(a＋b)－8得：(a－2)2＋(b－2)2＝0，那么a＝2，b＝2，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝8＋2，所以c＝＋1.
5．(2021·)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝1，b＝2，cos C＝.
(1)求△ABC的周长；
(2)求cos(A－C)的值．
答案(1)5(2)
解析(1)∵c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋4－4×＝4.
∴c＝2.∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.
(2)∵cos C＝，∴sin C＝＝＝.∴sin A＝＝＝.
∵a<c，∴A<C，故A为锐角，
∴cos A＝＝＝，
∴cos(A－C)＝cos A cos C＋sin A sin C＝×＋×＝.
1．(2021·五校联考)在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，假设a2＋b2－c2＋ab＝0，
那么角C的大小为________．
答案(或者135°)
解析在△ABC中，由余弦定理得：
cos C＝，而a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝＝－.∴角C的大小为.
2．A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求角A的值；
(2)假设a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．
解(1)由2cos2＋cos A＝0，得1＋cos A＋cos A＝0，即cos A＝－，∵角A为△ABC的内角，∴A＝.
(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，A＝，
那么a2＝(a＋c)2－bc，
又a＝2，b＋c＝4，有12＝42－bc，那么bc＝4.
故S△ABC＝bc sin A＝.
3．有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，详细如下：在△ABC中，a＝，2cos2＝(－1)cos B，________，求角A.
经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A＝60°，试将条件补充完好，并写出详细的推导过程．
思路此题容易产生的错误是无视验证结果而填写上b＝.利用正余弦定理解题，注意利用三角形内角和定理与大边对大角定理进展验证结果是否正确．
解析将A＝60°看作条件，
由2cos2＝(－1)cos B，得cos B＝，∴B＝45°.
由＝，得b＝.
又C＝75°，得sin C＝sin(30°＋45°)＝.
由＝，得c＝.
假设条件为b＝，且由得B＝45°，
那么由＝，得sin A＝，
∴A＝60°或者120°不合题意．
假设条件为c＝，那么b2＝a2＋c2－2ac cos B，
∴b＝，cos A＝＝，∴A＝60°.
综上所述，破损处的条件为c＝.
4．函数f(x)＝sin2x－cos2x－，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝，f(C)＝0，假设向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)一共线，求a，b的值．
解(1)∵f(x)＝sin2x－－＝sin(2x－)－1，∴函数f(x)的最小值是－2，最小正周期是T＝＝π.
(2)由题意得f(C)＝sin(2C－)－1＝0，那么sin(2C－)＝1，∵0<C<π，∴0<2C<2π，∴－<2C－<π，∴2C－＝，C＝，
∵向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)一共线，∴＝，
由正弦定理得，＝，①
由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos，即3＝a2＋b2－ab，②
由①②解得a＝1，b＝2.
5．(2021·大纲全国文)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a sin A＋c sin C－a sin C＝b sin B.
(1)求B；
(2)假设A＝75°，b＝2，求a，c.
解析(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B.
故cos B＝，因此B＝45°.
(2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.
故a＝b×＝＝1＋，
c＝b×＝2×＝.
6．(2021·文)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝a.
(1)求；
(2)假设c2＝b2＋a2，求B.
解析(1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A.
故sin B＝sin A，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cos B＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cos B>0，故cos B＝，所以B＝45°.
7．(2021·文)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，3a cos A＝c cos B＋b cos C.
(1)求cos A的值；
(2)假设a＝1，cos B＋cos C＝，求边c的值．
解析(1)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C，有c cos B＋b cos C＝a，代入条件得3a cos A＝a，即cos A＝.
(2)由cos A＝得sin A＝，
那么cos B＝－cos(A＋C)＝－cos C＋sin C，
代入cos B＋cos C＝，得cos C＋sin C＝，
从而得sin(C＋φ)＝1，
其中sinφ＝，cosφ＝，0<φ<，那么C＋φ＝，
于是sin C＝，由正弦定理得c＝＝.。