数学苏教版必修2 第1章1.2.4第二课时 两平面垂直 课件(37张)

[解] 取AB的中点E，连结VE，CE. ∵VA＝VB＝AC＝BC＝2， ∴VE⊥AB，CE⊥AB， ∴∠VEC就是二面角的平面角． ∵VE＝EC＝VC＝1， ∴∠VEC＝60°.
方法归纳 (1)求空间角，如二面角、直线和平面所成的角等，都是找 出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，利用解三角 形得到平面角的大小或三角函数值． (2)求二面角的大小，其步骤一般有三步： ①“作”：作出二面角的平面角． ②“证”：证明所作的角是二面角的平面角． ③“求”：解三角形，求出这个角．
栏目 导引
(3)两个平面垂直的判定定理
文字 语言
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直
图形 语言
符号 语言
l⊥α， l⊂β⇒α⊥β
3.平面与平面垂直的性质定理
文字 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它 语言 们交线的直线_____垂__直__于_____另一个平面
第1章 立体几何初步
第二课时 两平面垂直
第1章 立体几何初步
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1.了解二面角、二面角的平面角、直二面角、两个平面
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学习 目标
互相垂直等概念． 2．理解两平面垂直的判定定理和性质定理．(重点) 3．掌握面面垂直的判定定理及性质定理的应用，求二
面角的大小．(难点)
通过实例让同学们直观感知“两个平面互相垂直”、 学法 “二面角”概念的形成过程；类比已学知识，归纳“ 指导 二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定和性质定
解析：对于①，混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对 于②，由于a，b分别垂直于两个平面，所以也垂直于二面角 的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是 相等或互补，是正确的；对于③，因为不垂直于棱，所以是 错误的． 4．如图，在正四面体P-ABC(棱长均相等)中,E是BC的中点． 则平面PAE与平面ABC的位置关系是___垂__直___． 解 析 ： 因 为 PB ＝ PC ， E 是 BC 的 中 点 ， 所 以 PE ⊥ BC ， 同 理 AE ⊥ BC ， 又 AE∩PE ＝ E ， 所 以 BC ⊥ 平 面 PAE. 又 BC⊂ 平 面 ABC，所以平面PAE⊥平面ABC.
2．平面与平面垂直的判定定理 (1)定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那 么就说这两个平面互相垂直． (2)画法：两个互相垂直的平面通常画成如图(1)、(2)所示．
此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，平面 α 与 β 垂直，记作 α⊥β.
第1章 立体几何初步 •9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021
图形 语言
符号 语言
ααaa⊂⊥⊥ ∩αlββ＝l⇒ a⊥β
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面 有__1_或__无__数____个． 解析：记这两点确定的直线为l.当l 是平面α的斜线时，设 l在α内的射影为m，则l与m确定一个平面β，这时β⊥α； 当l⊥α时，则过l的任一平面都与α垂直． 2．下列命题中，是真命题的为____④____(填序号)． ①二面角的大小范围是大于0°且小于90°； ②一个二面角的平面角可以不相等； ③二面角的平面角的顶点可以不在棱上； ④二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直．
为α、β记作α－l－β(α－AB－β)或P－l－Q(P－AB－Q)(P，Q
分别为在α、β内且不在棱上的点)．
(3)二面角的平面角 文字表述：以二面角的棱上___任__意__一__点_____为端点，在两个面 内分别作___垂__直__于___棱____的射线，这两条射线所成的角叫做二 面角的平面角．图形语言：
[证明] (1)取 EC 的中点 F，连结 DF. ∵EC⊥BC，易知 DF∥BC， ∴DF⊥EC.2 分 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中， ∵EF＝12EC＝BD，FD＝BC＝AB， ∴Rt△EFD≌Rt△DBA，∴DE＝DA.4 分
(2)取 CA 的中点 N，连结 MN，BN，则 MN 綊12EC.
在 Rt△A1OO1 中，∵A1O＝
A1B2－BO2＝
3a， 2
A1O1＝
12a，∴sin∠A1OO1＝
3 3.
规范解答 面面垂直判定的综合应用
(本题满分 14 分)如图，△ABC 为正三 角形，EC⊥平面 ABC，BD∥CE, 且 CE＝CA ＝2BD，M 是 EA 的中点，求证： (1)DE＝DA； (2)平面 BDM⊥平面 ECA； (3)平面 DEA⊥平面 ECA.
∴MN∥BD，∴点 N 在平面 BDM 内.6 分 ∵EC⊥平面 ABC，∴EC⊥BN. 又 CA⊥BN，∴BN⊥平面 ECA.8 分 ∵BN 在平面 BDM 内，∴平面 BDM⊥平面 ECA. 9分
(3)∵BD 綊12EC，MN 綊12EC，10 分
∴四边形 MNBD 为平行四边形，∴DM∥BN. 12 分 由(2)知 BN⊥平面 ECA ∴DM⊥平面 ECA. 又 DM⊂ 平面 DEA， ∴平面 DEA⊥平面 ECA.14 分
方法归纳 在应用面面垂直的性质定理时必须注意两个条件：①线在平 面内；②线垂直于两平面的交线，因此找准两平面的交线是 关键． 在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时， 善于运用转化思想的同时，还应注意寻找线面平行、垂直所 需的条件．
2．如图，已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内， M，N 分别为 AB，DF 的中点．若 CD＝2，平面 ABCD⊥平面 DCEF，求线段 MN 的长．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/142021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月14日星期二2021/9/142021/9/142021/9/14 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/142021/9/14September 14, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/142021/9/142021/9/142021/9/14 • You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。 •
符号语言：α∩β＝l,O∈l,OA⊂α,OB⊂β，______O_A__⊥__l ， ____O_B_⊥___l ___⇒∠AOB为二面角α－l－β的平面角． (4)二面角大小的度量： 二面角的大小可以用它的____平__面__角_____来度量，二面角的 平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．二面角α的大 小范围是_0_°__≤__α_≤__1_8_0_°___. ________.平面角是直角的二面角 叫做__直__二__面__角______
面面垂直的判定
如图 ，在四面体SABC中，∠ASC＝90°， ∠ASB＝ ∠BSC＝60°，SA＝SB＝SC. 求证：平面ASC⊥平面ABC. (链接教材P48例2)
∵∠ASB＝∠BSC， ∴△ASB≌△CSB，∴AB＝CB. ∴BD⊥AC.∴∠SDB 为二面角 S－AC－B 的平面角． 设 SA＝a，则易知 SD＝DB＝ 22a， 于是 SD2＋DB2＝SB2， ∴∠SDB＝90°.∴平面 ASC⊥平面 ABC.
解：取 CD 的中点 G，连结 MG，NG.(图略) 因为 ABCD，DCEF 为正方形，且边长为 2， 所以 MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2. 因为平面 ABCD⊥平面 DCEF，所以 MG⊥平面 DCEF，可得 MG⊥NG，所以 MN＝ MG2＋NG2＝ 6.
求二面角的大小 如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2， AB＝2，VC＝1，试画出二面角V－AB－C的平面角，并求它 的度数 (链接教材P47例1)
3．在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，求平面 A1BD 和平面 BB1D1D 所成的二面角的正弦值．
解：如图，设正方体棱长为 a，连结 A1C1 交 B1D1 于 O1. 设 O 为 BD 中点，连结 OO1， 则 O1O⊥BD.
又 A1D＝A1B＝ 2a，∴A1O⊥BD， ∴∠A1OO1 是所求二面角的平面角．
•10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 8:28:25 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/142021/9/142021/9/14Sep-2114-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/142021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021
理，提高观察、分析、解决问题的能力.
1．二面角的概念 (1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成__两__部__分____，
其中的每一部分都叫做半平面． (2)二面角：一条直线和由这条直线出发的___两__个__半__平__面___所 组成的图形叫做二面角．这条直线叫做___二__面__角__的__棱___每个 半平面叫做___二__面__角__的__面___，如图①，②中，棱为l或AB，面
1. 如图，设AB是圆O的直径，C是圆周上除A，B外的任意一 点，PA⊥平面ABC.求证：平面PAC⊥平面PBC. 证明：在圆O中，AB是直径，C为圆O上除A，B外的一点， 故∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又PA⊥平面ABC， BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC.故BC⊥平面PAC. ∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.
解析：二面角的大小范围是[0°，180°]，故①不正确；一 个二面角的平面角可以有许多个，由等角定理，这些平面角 必相等，故②为假命题；由二面角的平面角的定义可知③不 正确；由线面垂直的判定定理可知④正确． 3．下列说法：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异 面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的 角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一 点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角，其中正确 的是____②____．(填序号)
面面垂直性质定理的应用 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相 垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面 BDE. (链接教材P49练习T6)
[证明] 如图，设 AC∩BD＝G，连结 EG，FG. 由 AB＝ 2易知 CG＝1， 则 EF＝CG＝CE. 又 EF∥CG，所以四边形 CEFG 为菱形，所以 CF⊥EG. 因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BD⊥AC. 又平面 ACEF⊥平面 ABCD，且平面 ACEF∩平面 ABCD＝AC， 所以 BD⊥平面 ACEF，所以 BD⊥CF. 又 BD∩EG＝G，所以 CF⊥平面 BDE.
法二：同上可证得BA＝BC＝BS. 作BD⊥平面ASC交于D，连结DA，DC，DS. ∵BA＝BC＝BS，∴DA＝DC＝DS. ∴D为△ACS的外心． ∵△ACS中，AS⊥CS， ∴△ACS的外心落在斜边的中点上，即D∈AC， ∵BD⊂平面ABC.∴平面ASC⊥平面ABC.
方法归纳 根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成 了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简 单些，是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要 转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一条 直线与另一平面垂直．