2020届山东省临沂市高三一模数学试题(解析版)

2020年临沂市高三模拟试题
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{
}
2
|2A x x =∈<Z ，{
}
|21x
B x =>，则A B =I （ ） A. {}1 B. {}1,2 C. {}0,1 D. {}1,0,1-
【答案】A 【解析】 【分析】
计算{}1,0,1A =-，{}
0B x x =>，再计算交集得到答案.
【详解】{}
{}2
|21,0,1A x x =∈<=-Z ，{
}{
}
210x
B x x x ==>，故{}1A B ⋂=.
故选：A .
【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.
2.已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1，则1
2
z z 的共轭复数为（ ） A. 1i + B. 1i -+
C. 1i --
D. 1i -
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意11z i =-，2z i =，1
2
1z z i z =
=--，再计算共轭复数得到答案. 【详解】复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1，故11z i =-，2z i =，
()12
2111i i z i z i z i i ---=
===---，故1z i =-+. 故选：B .
【点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数对应的点，意在考查学生对于复数知识的综合应用. 3.若a ∈R ，则“1a >”是“31a >”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
依次判断充分性和必要性，取2a =-得到不充分，得到答案. 【详解】当1a >时，取2a =-，则381a =-<，故不充分；
当31a >时，根据幂函数3
y x =的单调性得到1a >，故1a >，必要性成立.
故选：B .
【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.
4.已知向量,,a b c →→→
，其中a →与b →是相反向量，且a c b →→→
+=，()3,3a c →→
-=-，则a b →→
⋅=（ ）
A.
B.
C. 2
D. 2-
【答案】D 【解析】 【分析】
设(),a x y =r
，则(),b x y =--r ，计算得到1x =，1y =-，再计算数量积得到答案. 【详解】设(),a x y =r ，则(),b x y =--r ，a c b +=r r r
，故()2,2c x y =--r ， ()()3,33,3a c x y -==-r r ，故1x =，1y =-，()()1,11,12a b ⋅=-⋅-=-r r
.
故选：D .
【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力. 5.已知ln x π=，5log 2y =，0.5z e -=，则（ ） A. x y z >> B. x z y >>
C. z y x >>
D. z x y >>
【答案】B 【解析】 【分析】
计算得到ln 1x π=>，51log 22y =<
，0.5
2
11z e
-=<<，得到答案.
【详解】ln ln 1x e π=>=，551
log 2log 2
y =<=，又2ln2ln4ln 1e =>=， 所以1ln 22>，ln 2
0.5012
1e
z e e --=<=<=，故x z y >>. 故选：B .
【点睛】本题考查了根据对数函数和指数函数的单调性比较函数值大小，意在考查学生的计算能力和应用能力.
6.已知函数()2
1212
f x x x =-+，[]1,4x ∈，当x a =时，()f x 取得最大值b ，则函数()x b
g x a +=的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
计算4a =，1b =，()11
14,144,1
x x x x g x x ++--⎧≥-==⎨<-⎩，对比图像得到答案. 【详解】()()2
211212122
f x x x x =
-+=--，故4a =，1b =. ()11
14,14
4,1
x x b
x x x g x a
x +++--⎧≥-===⎨<-⎩，对比图像知C 满足条件. 故选：C .
【点睛】本题考查了二次函数的最值，指数型函数图像，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知园周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈610=立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子（ ）
A. 200两
B. 240两
C. 360两
D. 400两
【答案】D 【解析】 【分析】
计算底面半径为12223r ==⨯，21
32143
V =⨯⨯⨯=，换算单位得到答案. 【详解】底面半径为12223r ==⨯，2132143V =⨯⨯⨯=立方丈6410=⨯立方寸40000
27
=斛， 故
40000
270100040027
⨯÷=两. 故选：D .
【点睛】本题考查了圆锥的体积的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8.点M 为抛物线214y x =
上任意一点，点N 为圆223
204
x y y +-+=上任意一点，若函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点P ，则MP MN +的最小值为（ ）
A.
5
2
B.
114
C. 3
D.
134
【答案】A 【解析】 【分析】
计算()1,2P -，则11
22
MP MN MP MF PD +≥+-
≥-，计算得到答案. 【详解】函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点()1,2-，故()1,2P -.
2
14
y x =
，即24x y =，焦点为()0,1F ，准线为1y =-， 223204x y y +-+=，即()2
2114x y +-=.
1115
32222
MP MN MP MF PD +≥+-
≥-=-=，当PMD 共线时等号成立. 故选：A .
【点睛】本题考查了对数函数过定点问题，抛物线的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.下列结论正确的是（ ） A. 若tan 2α=，则3cos 25
α=
B. 若sin cos 1αβ+=，则22
1sin cos 2
αβ+≥
C. “0x ∃∈Z ，0sin x ∈Z ”的否定是“x ∀∈Z ，sin x ∉Z ”
D. 将函数cos 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位长度，所得图象关于原点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】
根据齐次式计算3cos25α=-，A 错误，2
22111sin cos 2sin 222αβα⎛⎫+=-+≥ ⎪⎝
⎭，B 正确，特称命题的否定是全称命题，C 正确，平移后得到偶函数，D 错误，得到答案.
【详解】tan 2α=，则222222
cos sin 1tan 3
cos 2cos sin 1tan 5
ααααααα--===-++，故A 错误； sin cos 1αβ+=，则()
2
2
2
2
2
111sin cos sin 1sin 2sin 222αβααα⎛
⎫+=+-=-+≥ ⎪⎝
⎭，B 正确；
根据特称命题的否定是全称命题：“0x Z ∃∈，0sin x Z ∈”的否定是“x Z ∀∈，sin x Z ∉”，故C 正确；
将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到cos 2sin 22y x x π⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭为偶函数，故D 错误.
故选：BC .
【点睛】本题考查了齐次式求值，函数取值范围，命题否定，函数平移和奇偶性，意在考查学生的综合
应用能力.
10.某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中
2019年的录取人数被遮挡了．他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是（ ）
A. 全国高考报名人数逐年增加
B. 2018年全国高考录取率最高
C. 2019年高考录取人数约820万
D. 2019年山东高考报名人数在全国的占比最小 【答案】BCD 【解析】 【分析】
根据图表2016年的人数少于2015年人数，故A 错误，2018年的录取率为81.1%，为最高，B 正确，2019年高考录取人数为820，故C 正确，计算占比得到D 正确，得到答案. 【详解】2016年的人数少于2015年人数，故A 错误； 2018年的录取率为81.1%，为最高，B 正确；
2019年高考录取人数为103179.5%820⨯≈，故C 正确； 从2010—2019年山东高考报名人数在全国的占比分别为：
6.9%,6.3%,5.6%,5.5%,5.9%,
7.4%,6.4%,6.2%,6.1%,5.4%，故D 正确. 故选：BCD .
【点睛】本题考查了折线图和散点图，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，若b =3c =，3A C π+=，则下列结论
的
正确的是（ ）
A. cos 3
C =
B. sin 3
B =
C. 3a =
D. ABC S =V 【答案】AD 【解析】 【分析】
根据正弦定理得到cos C =，sin sin 23
B C ==，根据余弦定理得到1a =，ABC S =V 案.
【详解】3A C π+=，故2B C =，根据正弦定理：
sin sin b c
B C
=，即32sin cos C C C =⨯，
sin 0C ≠，故cos C =
，sin C =，sin sin 22sin cos 3
B C C C ===
. 2222cos c a b ab C =+-，化简得到2430a a -+=，解得3a =或1a =，
若3a =，故4
A C π
==，故2
B π
=
，不满足，故1a =.
11
sin 122ABC S ab C =
=⨯⨯=△ 故选：AD .
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.
12.如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE V 沿AE 翻折成SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 存在点E 和某一翻折位置，使得SB SE ⊥
B. 存在点E 和某一翻折位置，使得//AE 平面SBC
C. 存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°
D. 存在点E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60° 【答案】ACD
【解析】 【分析】
依次判断每个选项：当SE CE ⊥时，⊥SE SB ，A 正确，//AE 平面SBC ，则//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，计算得到2
cos 3
α=
，C 正确，取二面角D AE B --的平面角为60︒
，计算得到tan θ=
，故D 正确，得到答案. 【详解】当SE CE ⊥时，SE AB ⊥，SE SA ⊥，故SE ⊥平面SAB ，故⊥SE SB ，A 正确； 若//AE 平面SBC ，因AE ⊂平面ABC ，平面ABC I 平面SBC BC =，则//AE CB ， 这与已知矛盾，故B 错误；
如图所示：DF AE ⊥交BC 于F ，交AE 于G ，S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上， 连接BO ，故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角，
取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，3DE =，故5AE DF ==，
1CE BF ==，125DG =
，12cos 5OG α=
，故只需满足12
sin 5
SO OB α==， 在OFB △中，根据余弦定理：
22
2
1213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---∠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得2cos 3α=，故C 正确； 过O 作OM
AB ⊥交AB 于M ，则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角，
取二面角D AE B --的平面角为60︒，故只需满足22DG GO OM ==， 设OAG OAM θ∠=∠=，
8
4
π
π
θ<<
，则22
DAG π
θ∠=
-，
tan tan 22DG OG
AG πθθ=
=
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，化简得到2tan tan 21θθ=
，解得tan 5
θ=，验证满足，故D 正确；
故选：ACD .
【点睛】本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是_______. 【答案】
19
【解析】 分析】
根据三人均等可能的前往三个城市之一，可得共有3327=种选择情况，他们选择同一城市有3种情况，即可求得答案.
【详解】Q 三人均等可能
前往三个城市之一
∴共有3327=种选择情况，
他们选择同一城市有3种情况，
∴概率为
31
279=. 故答案为：1
9
.
【点睛】本题主要考查了求事件概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
14.若21n
x ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为__________．
【答案】405 【解析】
【的
【分析】
根据系数和得到5n =，再根据二项式定理计算得到答案.
【详解】21n
x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭展开式中的各项系数的和为41024n =，故5n =，
故5
21x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
的展开式的通项为：(555522
155213r
r
r
r
r r r T C C x x ---+⎛⎫==⋅ ⎪
⎝⎭
， 取1r =得到常数项为14
53405C ⋅=.
故答案为：405.
【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
15.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>
的一条渐近线方程为y =，左、右焦点分别为1F ，2F ，点A
在双曲线上，且212AF F F ⊥，则该双曲线的离心率为__________，12sin AF F ∠=__________． 【答案】
(1). (2).
1
2
【解析】 【分析】
根据渐近线得到c =，得到离心率，不妨取2,b A c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，计算得到答案.
【详解】一条渐近线方程为y =
，故b =
，c =
，故e =212AF F F ⊥，不妨取2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故22122121
sin 422b AF a a
AF F b AF a a
a
∠====+.
12
. 【点睛】本题考查了双曲线渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
16.已知函数()32232,0
,0
x
x x x f x x e x ⎧-++≥=⎨-<⎩，若方程()0f x a +=有两个不相等的实根，则实数a 取值范围是__________．
【答案】{|62a a -<≤-，或2
4}a e -= 【解析】
【分析】
分段求导得到函数单调区间，画出函数图像，()0f x a +=，即()f x a =-，根据图像得到答案. 【详解】当0x ≥时，()3
2
32f x x x =-++，故()()2
3632f x x x x x =-+'=--，故函数在[]0,2上单调
递增，在()2,+∞上单调递减，()02f =，()26f =；
当0x <时，()2x f x x e =-，故()()2x
f x xe x '=-+，故函数在(),2-∞-上单调递减，在[
)2,0-上单调
递增，()2
24f e --=-，画出函数图像，如图所示：
()0f x a +=，即()f x a =-，根据图像知：26a ≤-<或24a e --=-，
解得62a -<≤-或24a e -=.
故答案为：{|62a a -<≤-，或2
4}a e -=.
【点睛】本题考查了函数的零点问题，求出单调区间得到函数图像是解题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a <，2
234n n n a a S -=-．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若1n n a b =，求满足122311
7
n n b b b b b b ++++<L 的正整数n 的最大值． 【答案】（1）21n a n =--；（2）8． 【解析】 【分析】
（1）根据公式1n n n a S S -=-得到12n n a a --=-得到通项公式. （2）1
21n b n =-
+，故122311112323n n b b b b b b n +⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭
L ，解得答案. 【详解】（1）当1n =，2111234a a a -=-，2
11230a a +-=，又0n a <，13a ∴=-． 当2n ≥时，2234n n n a a S -=-，①2
111234n n n a a S ----=-，②
①—②整理得，12n n a a --=-，()321n a n ∴=---，21n a n ∴=--． （2）因为1n n a b =，所以1
21
n b n =-+， 所以()()11
111212322123n n b b n n n n +⎛⎫=
=- ⎪++++⎝⎭
，
故1223111111111112355721232323n n b b b b b b n n n +⎛⎫⎛⎫
+++=
-+-++-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
L L ， 令
1111
23237
n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，解得9n <，所以n 的最大值为8． 【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 18.已知函数()()sin 0,02f x x m π
ωϕωϕ⎛⎫
=++>-
<< ⎪⎝
⎭
满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：①3
2
ω=
，②周期T π=，③过点()0,0，④332
f π⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的图象与直线1y =相邻两个交点间的最短距离． 【答案】（1）②③④；()1
sin 262
f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭；
（2）3π
． 【解析】 【分析】
（1）所满足的三个条件是：②③④，计算得到2ω=，
sin 0m ϕ+=，23sin 32m πϕ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭
，解得6πϕ=-，
1
2
m =
，得到解析式.
（2）根据题意1sin 262x π⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭，故6x k ππ=+，或2
x k ππ=+，k ∈Z ，得到答案. 【详解】（1）所满足的三个条件是：②③④，
()f x Q 的周期T π=，2ω∴=，()()sin 2f x x m ϕ∴=++，
又过点()0,0，且332f π⎛⎫=
⎪⎝⎭，sin 0m ϕ∴+=，23sin 32m πϕ⎛⎫++= ⎪
⎝⎭
， 23
sin sin 32πϕϕ⎛⎫
∴+-= ⎪⎝⎭，13sin sin 222
ϕϕϕ∴--=，
13
cos 22ϕϕ⎫=⎪⎪⎭
，sin 6πϕ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，又02πϕ-<<，6πϕ∴=-， 又sin 0m ϕ+=，102m ∴-
+=，12m ∴=，()1sin 262f x x π⎛
⎫∴=-+ ⎪⎝
⎭．
（2）由()1
sin 2162f x x π⎛
⎫=-
+= ⎪
⎝
⎭，得1sin 262
x π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭， 226
6
x k π
π
π∴-
=+
，或5226
6
x k π
π
π-
=+
，k ∈Z ， 6
x k π
π∴=+
，或2
x k π
π=+
，k ∈Z ，
所以函数()f x 的图象与直线1y =相邻两个交点间的最短距离为
2
6
3
π
π
π
-
=
．
【点睛】本题考查了三角函数解析式，图像中的最短距离，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19.如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是边长为2的正三角形，O 为BC 的中点，
1A O ⊥平面ABC ，点M 在AO 上，2AM MO =，N 为1OC 与1B C 的交点，且1BB 与平面ABC 所成的角为
4
π
．
（1）求证：//MN 平面11ACC A ； （2）求二面角11A OC B --的正弦值． 【答案】（1）详见解析；（2
）4
． 【解析】 【分析】
（1）连结1AC ，证明相似得到1//MN AC ，得到证明.
（2）以OC ，OA ，1OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面11AOC 的法
向量为)
1n =
u v ，平面1BOC 的法向量为()2=0,1,1n u u v
，计算夹角得到答案.
【详解】（1）连结1AC ，O Q 为BC 的中点，11//OC B C ，
1111
2
ON OC NC B C ==， 又2AM MO =，11
2
OM ON AM NC ∴
==，1//MN AC ∴． 又MN ⊄平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ，所以//MN 平面11ACC A ．
（2）因为ABC V 是边长为2的正三角形，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC ，
所以，AO ，BC ，1A O 两两垂直，以OC ，OA ，1OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
1BB Q 与平面ABC 所成的角为
4π，又1AA ∥1BB ，1AA ∴与平面ABC 所成的角为4
π， 又1A O ⊥平面ABC ，1AA ∴与平面ABC 所成的角为1A AO ∠，即14
A AO π
∠=．
又ABC V 是边长为2的正三角形，O 为BC
的中点，1
AO AO =
由题意知，(10,0A ，()1,0,0B -
，(11,C ，
所以，(1
OA =u u u v ，()1,0,0OB =-u u u v
，(1
1,OC =u u u u v ，
设平面11AOC 的法向量为()1111,,n x y z =u v
，
所以，11110
0n OA n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v
u v u u u u v
，即111100
x =+=⎪⎩
，取)
1n =u v ，
设平面1BOC 的法向量为()2222,,n x y z =u u v
，
由22100n OB n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v
u u v u u u u v
，得22220
x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取()2=0,1,1n u u v ，
所以1212
12cos ,n n n n n n ⋅===u v u u v
u v u u v u v u u v ， 设二面角11
A OC
B --的大小为θ
，sin 4θ∴===．
所以二面角11A OC B --
的正弦值为
4
．
【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
20.动点P 在椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为A ，点B 满足3AB AP →→
=，
已知点B 的轨迹是过点()0,3Q 的圆． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 在x 轴的同侧），1F ，2F 为椭圆的左、右焦点，若
12//F M F N ，求四边形12F F NM 面积的最大值．
【答案】（1）2
219
x y +=；
（2）3． 【解析】 【分析】
（1）设点(),B x y ，()00,P x y ，得到003x x
y y =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，点B 的轨迹是过()0,3Q 的圆，故22
91a b ⎧=⎨=⎩，得到椭圆方程.
（2）如图，延长1MF 交C 于点M '，由对称性可知：12F M NF '=，设()11,M x y ，()22,M x y '，直线1MF
的方程为x my =-
联立方程得到1229
y y m +=+，12219y y m =-+，
计算8S =，
利用均值不等式得到答案.
【详解】（1）设点(),B x y ，()00,P x y ，则点()0,0A x ，()0,AB x x y =-u u u r ，()00,AP y =u u u r
， 3AB AP =u u u r u u u r Q ，0003x x y y -=⎧∴⎨
=⎩，003x x y y =⎧⎪
∴⎨=⎪⎩
， Q 点()00,P x y 在椭圆C 上，22
2219x y a b
∴+=，即为点B 的轨迹方程． 又Q 点B 的轨迹是过()0,3Q 的圆，22
2991
9a b b
⎧=⎪
∴⎨=⎪⎩，解得2291a b ⎧=⎨=⎩，
所以椭圆C 的方程为2
219
x y +=．
（2）如图，延长1MF 交C 于点M '，由对称性可知：12F M NF '=，
由（1
）可知()
1F -
，()
2F ，
设()11,M x y ，()22,M x y '，直线1MF
的方程为x my =-
由22
19
x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩可得(
)
22910m y +--=，()2232490m m ∆=++>，
122
9
y y m ∴+=
+，12219y y m =-+，
1229
y y m ∴-=
=
=+， 设1F M 与2F N 的距离为d ，则四边形12F F NM 面积()121
2
S F M F N d =
+ ()21111
22
MF M F M F M d MM d S '''=
+==△， 而2212112121
2MF M F MF F M F S S S F F y y ''=+=-△
△△，
1382S ∴=⨯==≤=
，
=
m =
故四边形12F F NM 面积的最大值为3．
【点睛】本题考查了椭圆方程，四边形面积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力. 21.2020年新冠肺炎疫情暴发以来，中国政府迅速采取最全面、最严格、最彻底的防控举措，坚决遏制疫情蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情做岀了贡献．为普及防治新冠肺炎的相关知识，某高中学校开展了线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从大批参与者中随机抽取200名幸运者，他们的得分（满分100分）数据统计结果如图：
（1）若此次知识竞答得分X 整体服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为这200名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求μ，σ的值（μ，σ的值四舍五入取整数），并计算()3779P X <<；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对参与此次知识竞答的幸运者制定如下奖励方案：得分低于μ的获得1次抽奖机会，得分不低于μ的获得2次抽奖机会．假定每次抽奖中，抽到18元红包的概率为
2
3，抽到36元红包的概率为13
．已知高三某同学是这次活动中的幸运者，记Y 为该同学在抽奖中获得红包的总金额，求Y 的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额． 参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；
()330.9973P X μσμσ-<≤+≈．
【答案】（1）65μ=，14σ≈；()37790.8186P X <<=；（2）分布列详见解析，数学期望为36；总金额为7200元． 【解析】
【分析】
（1）计算65μ=，14σ≈，故X 服从正态分布()
2
65,14N ，计算得到答案.
（2）Y 的取值为18，36，54，72，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）()20350.545355465575 4.58529511300E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
()65E X ∴=．即65μ=．
()()()()()2
2
2
2
35650.02545650.1555650.265650.25D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ()()()2
2
2
75650.22585650.195650.05210+-⨯+-⨯+-⨯=．
由2196225σ<<，则1415σ<<，而214.5210.25210=>，故14σ≈， 则X 服从正态分布(
)2
65,14
N ，
()()()()
22377922
P X P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+<<=-<<+=
0.95450.6827
0.81862
+=
=．
（2）Y
取值为18，36，54，72．
由题意知，()()12
P X P X μμ<=≥=
， ()12118233P Y ==⨯=，()111227
362323318P Y ==⨯+⨯⨯=，
()1211122542332339P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，()1111
7223318
P Y ==⨯⨯=，
所以Y 的分布列为
()1721
1836547236318918
E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，
估算所需要抽奖红包的总金额为：200367200⨯=（元）．
【点睛】本题考查了正态分布，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
的
22.已知函数()ln f x a x =，2
1()2
g x x bx b =
++，,a b ∈R . （1）设() ()F x x f x =，求()F x 在[],2a a 上的最大值；
（2）设()()()G x f x g x =+，若()G x 的极大值恒小于0，求证：4
2
e a b +≤. 【答案】（1）最大值2
21ln 04
()12ln 24a a a M a a a a ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩
（2）证明见解析
【解析】 【分析】
()1对函数求导得()(1ln )F x a x '=+，得到()F x 单调区间，分类讨论即可得()F x 最大值．
()()22'(0)x bx a
G x x x
++=>，()G x 的极大值恒小于0可得3ln 2a b a a -+…，从而得到+a b 的最大值，构造函数即可证明4
2
e a b +≤．
【详解】()1由已知0a >，()(1ln )F x a x '
=+，
当10x e
<<
时，()F'0x <，当1
x e >时，()'0F x >，
从而()F x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 从而，()(){}
()2,max F x max F a F a =， 于是2
2
2
(2)()(ln 4ln )ln 4F a F a a a a a a -=-=
当14a >时，()()2F a F a >，所以2
max ()(2)2ln 2F x F a a a ==
当104
a <≤时，()()2F a F a ≤，所以2
max ()()ln F x F a a a ==；
综上所得2
21ln 04
()12ln 24a a a M a a a a ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>
⎪⎩
．
()2依题意()212G x alnx x bx b =+++，则()2'(0)a x bx a
G x x b x x x
++=++=>，
的
因为()G x 存在极大值，则关于x 的方程20x bx a ++=有两个不等的正根12,x x ，
不妨12x x <，则12x x a =，则0a >，且10x <
设()2
p x x bx a =++列设表如下：
从而，()()211111()ln 12G x G x a x x b x ==+
++极大， 又()211bx x a =-+，
从而()2111 1()ln 02G x G x a x x a b ==-
-+<极大对10x <<恒成立，
设21()ln 2K x a x x a b =--+，(x ∈， 则()2
'0a x K x x
-=>，
所以()K x 在(上递增，从而3()02
a K x K a
b <=+„，
所以32
a b a -„， 55
ln 222
a a a a
b a a +-=-+„， 设(0)2a t t =>，则()25m t tln t t =-+， 又()'42m t ln t =-，
若40,2e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()'0;m t >
若
4
,
2
e
t
⎛⎫
∈+∞
⎪
⎝⎭
，()'0;
m t<
从而()
44
2 2
e e
m t m ⎛⎫
≤=
⎪
⎝⎭
，
即
4
2
e
a b
+≤．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值，利用导数研究存在或恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题．。