配套K12吉林省吉化第一高级中学校2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文

小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
3 i
B ．
3
〉
1 5
5
i
C ． i
D ． i
⎜ x = 1 + 8,直线 ⎰
2 2017——2018学年度第二学期期中考试
高二数学试卷（文）
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分满分 150 分，考试
时 间 120 分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；
,,
5, 用反证法证明“如果 a >b ，那么 3 a ＞ 3 b ”假设的内容应是 （
）
A. 3 a = 3 b
B. 3 a ＜ 3 b
C. 3 a = 3 b 且
3 a ＜ 3 b D. 3 a = 3 b 或
3 a ＜ 3 b （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； 6, 已知点 P （1， −
3 ），则它的极坐标是（ ） （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸
刀． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
A ． (2, ) 3
B ． (2, 4 ) 3
C. (2, 5 ) 3 D ． (2, 2 ) 3
一个是符合题目要求的 7,若复数 z 满足（3﹣4i ）z=|4+3i|， 则 z 的虚部为（ ） 1,复数 2 + i
的共轭复数是( )
1 − 2i A ． − A ． − 4 i 5
t ⎜ B ． − 4
5
4 4 C ． D ． i
5 5
2,指数函数 y = a x 是增函数，而
y = ( 1 )x 是指数函数，所以 y = ( 1 )x 是增函数，关于上面
⎜ y = 3 + (t 为参数) 和圆 x 2 + y 2 = 16 交于 A , B 两点，则 AB 的中 t
2 2
⎜⎛ 2 推理正确的说法是( )
点坐标为 （
）
A.推理的形式错误
B.大前提是错误的
C.小前提是错误的
D.结论是正确的
A ． (3, −3)
B ． ( 3)
C ． −3)
D ． (3,
3,.观测两个相关变量，得到如下数据：
则两变量之间的线性回归方程为 ( )
9.下列说法中正确的是( )
①相关系数 r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于1，相关性越弱；
②回归直线 y = bx + a 一定经过样本点的中心 ( x , y ) ；
③随机误差 e 的方差 D (e ) 的大小是用来衡量预报的精确度； ^ ^ ^ ^
A ．y ＝0.5x －1
B ．y ＝x
C ．y ＝2x ＋0.3
D ．y ＝x ＋1
④相关指数 R 2 用来刻画回归的效果， R 2 越小，说明模型的拟合效果越好． 4,下列在曲 7.若 P =
，Q +
(a ≥
0) ，则
P , Q 的大小关系是（ ）
A ． ①②
B ． ③④
C ． ①④
D ． ②③
A. P > Q
B. P =Q
C. P < Q
D.由 a 的取值确定
小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
=，=
10,若点 P 对应的复数 z 满足|z |≤1，则 P 的轨迹是( )
A ．直线
B ．线段
C ．圆
D ．单位圆以及圆内
11,在极坐标系中， A 为直线 3〉 cos ⎝ + 4〉 sin ⎝ + 13 = 0 上的动点， B 为曲线 〉 + 2 cos ⎝ = 0
18（本小题满分 12 分）．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为 此作了 4 次试验，得到数据如下：
上的动点，则 AB 的最小值为 （ ）
11
A ． 1
B ． 2
C.
D ．3
^ ^ ^
5
12,观察数组：（—1，1，—1），（1，2，2），（3，4，12），（5，8，40）--------- (1)求 y 关于 x 的线性回归方程 y
(2)求各样本点的残差；
＝b x ＋a ； （ a n ，b n ，c n ）则 c n 的值不可能是（
）
A ． 112，
B,278
C,704
D.1664
(3)试预测加工 10 个零件需要的时间．
n ∑ x i y i − nx y 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．(共 20 分)
参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ˆ = i =1 n 2
2 ，a ˆ = y − b ˆ x
13.．若复数 z = (a 2 − 2a ) + (a 2 − a − 2)i 为纯虚数，则实数 a 的值等于
．
∑ x i i =1
− nx 〉 a 1 + a 2 + + a n ⎫ *
14.若数列{a n }是等差数列，则数列 ⎰ ⎛ n ⎬(n ∈ N
⎭
) 也是等差数列；类比上述
性质,相应地，{b n }是正项等比数列，则也是等比数列
19.（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xoy 中，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立
〉⎜ x 15 将参数方程 ⎰ +
（
t 为参数）化为普通方程是
极坐标系．圆 C 、直线 C 的极坐标方程分别为 〉 = 4 sin ⎝ ， 〉 cos(⎝ −
) 2 ． ⎜⎛ y = 1 t
1 2
4
16 . ，.，类比这些等式， （1）求 C 1 与 C 2 交点的极坐标；
（2）设 P 为 C 1 的圆心， Q 为 C 1 与 C 2 交点连线的中点．已知直线 PQ 的参数方程
若=（ a , b 均为正整数），则 a + b =
〉 x = t
3 + a ⎜
三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17（本
小题 10
分）,已知复数 z 1 , z 2 在复平面内对应的点分别为 A (−2,1) ，B (a ,3) ，（ a ∈ R ）．
小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
为 ⎰
⎜ y =
⎛
b t 3 + 1
2
（
t 为参数且
t ∈ R ），求 a , b
的值．
（Ⅰ）若 z 1 + z 2 ≤ 5 ，求 a 的值；
（Ⅱ）若复数z 1 ·z 2 对应的点在二、四象限的角平分线上，求 a 的值．
小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
n n 2
20（本小题 12 分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司 200 名员工中
〉 21. （本小题满分 12 分）.已知曲线 C 1 参数方程为 ⎰
x =
4t
（ t 为参数），当 t = 0 时，
90% 的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有 60 人，其余每天 使用微信在一小时以上。

若 将员工年龄分成青年（年龄小于 40 岁）和中年（年龄 不小于 40 岁）两个阶段，使用微信的人中 75% 是青年人。

若规定：每天使用微信 ⎛ y = 3t
−1
曲线 C 1 上对应的点为 P .以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
8 cos ⎝
2
时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中
是青年人.
曲线 C 2 的极坐标方程为 〉 =
． 1 − cos 2⎝
3
（1）求曲线 C 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； 1 2 （1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出 2 ⋅ 2 列联表；
（2）设曲线 C 1 与 C 2 的公共点为 A 、B ，求 PA PB 的值. 22.（本小题 12 分）等差数列{a n }的前 n 项和为S n ，a 3 =5+√2
S 3
=9+3√2
（1）求a n 以及S n
（2）设b =S n ，证明数列{b }中不存在不同的三项成等比数列 n
（2）由列联表中所得数据，是否有 99.9% 的把握认为“经常使用微信与年龄有关”
（3）采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取 6 人，从这 6 人中任选 2 人，
求事件 A “选出的 2 人均是青年人”的概率
. K 2 =
n (ad −
b c ) (a + b )(c + d )(a + c )(b + d )
小学+初中+高中+努力=大学
文科参考答案
15） 2x-+y-3=0(x ≥1) 因为�
x = √t + 1
y = 1 − 2√t
消去 t 解得 2x+y-3=0 又 t ≥0 所以 x ≥1 一、选择题
1） C 由 Z= 2+i =5i
=i 所以z 为-i
1−2i
5
2） B 由 y=a x 是单调递增的指数函数错误
3） B x=0 y=0 有回归直线过（0,0）
4） C 由p 2 =2a+5+2√a 2 + 5a Q 2 =2a+5+2√a 2 + 5a + 6 因为 a ≥0
所以 2a+5+2√a 2 + 5a + 6＞2a+5+2√a 2 + 5a
5) D
6) C 由ρ2 =4 所以ρ=2 又tan θ=-√3 所以 P （1，-√3）在第四象限
16) 55
因为 a=7 b=72 -1=48 所以 a+b=5
三、解答题
17.解：1)由题意可知z 1 =-2+i -------（1）分
z 2 =a+3i-------（2）
分
∴z 1 +z 2 =(a-2)+4i-----------（3）分
2
∴｜z 1 + z 2 ｜ =(a − 2)2 +16------（4）分
∴(a − 2)2 +16≤25 即(a-5)(a+1)≤0------（5）分
∴-1≤a ≤5-----------------------（6）分
7） B 由（3-4i)·Z=｜4+3i ｜所以 Z= 5 =3+4i = 3 + 4i 所以z = 3 −
4i
2)由z 1 =-2-i-------------------------（7）分
x = 1 +
1 t
8） D 由�
2 3−4i 5 5 5
5 5
消去 t 得 y=√3x − 4√3 带入x 2 + y 2 =16 消去 y 得
∴z 1·z 2 =(-2-i)(a+3i)=(3-2a)-(a+6)i-------------------（8）分
由 z=z 1 ·z 2
对应的点在二、四象限的角分线上可知(3-2a)-(a+6)=0------（9）分 y = −3√3 + √3
t
2
4x 2 -24x+32=0 设 A （x 1 ，y 1 ）, B （x 2 ，y 2 ）因为x 1 +x 2 =6 y 1 +y 2 =√3(x 1
+x 2 )-8√3=-2√3
所以 A 、B 中点为（3,-√3）
9） D ①｜r ｜越接近 1，相关性越强 所以①错 ②真 ③真 ④R 2 越小，拟合效果越不好 ∴a=-1---------------------------------------（10）分
18.（12 分）解：
i 2＋3＋4＋5 2.5＋3＋4＋4.5
10）D 设Z=x+yi 由｜Z｜≤1 所以x2+y2≤1
11) A 直线l 的普通方程为3x+4y+13=0 B 的普通方程为(x + 1)2+y2 =1(1) x ＝4
4
＝3.5-------- （1）分y ＝4＝3.5--------
（2）分
设(-1,0)到l 的距离为d 所以d=2 所以最小值为2-1=1 12) B 由{a n }为等差数列所以a n =2n-3
{b n }为等比数列所以b n =2n −1
又C n =a n · b n 所以C n =(2n-3)·2n −1
二、填空∑x i y i ＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＝52.5，--------------------------------
---------------（3）分
i＝1
4
∑x2＝4＋9＋16＋25＝54，--------------------------------------------------
（4）分
i＝1
^ 52.5－4×3.5×3.5 ^
13）0 解释; 因为�a
2 −2a =
a2 −a −2 ≠0所以a=0
∴b
＝
54－4×3.52
＝0.7----------（5）
分，a
＝3.5－0.7×3.5＝1.05，---（6）分
14）n√a 1a …a n
小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
2
^ ∴所求线性回归方程为 y
＝0.7x ＋1.05.--------------------------------（7）分
20．解:（1）由已知可得，该公司员工中使用微信的共： 200 ⋅ 0.9 = 180 人--（1）
分
经常使用微信的有180 − 60 = 120 人，其中青年人：120 ⋅ 2
= 80 人 -------（2）分
（2）0.05 ---0.15 0.15 ---0.05---------------------------------------（9）分 3 所以可列下面 2 ⋅ 2 列联表：
^
（3）当 x ＝10 时，y
＝0.7×10＋1.05＝8.05，-----------------------（11）分
∴预测加工 10 个零件需要 8.05 小时．--------------------------------（12）分
19.解：（1）圆 C 1 的直角坐标方程为 x
2 + ( y − 2)2
= 4 .-------------（1）分
直线 C 2 的直角坐标方程为 x + y − 4 = 0 -----------------------（2）分 ------------------------------------------------------------------------------------------------------（4）分
（2）将列联表中数据代入公式可得：
〉 x 2 + ( y − 2)
2 = 4 .解 ⎰
〉 x 1 得 ⎰ = 0 〉 x 2 ， ⎰ = 2 .-------------------（4）分
K 2 =
180 ⋅ (80 ⋅ 5 − 55 ⋅ 40 )
120 ⋅ 60 ⋅135 ⋅ 45
≈ 13.333
……（7）分
⎛ x + y − 4 = 0
⎛ y 1 = 4 ⎛ y 2 = 2
由于13.333 > 10.828 ,所以有 99.9% 的把握认为“经常使用微信与年龄有关”。

------（8）分
80
（3）从“经常使用微信”的人中抽取 6 人中，青年人有 ⋅ 6 = 4 人，中年人有 2 人
所以 C 1 与 C 2 的交点极坐标为 (4, ), 2 , ) .-------------）分
4
120
设 4 名青年人编号分别 1,2,3,4，2 名中年人编号分别为 5,6，
（2）由（1）可得， P 点与 Q 点的直角坐标分别为 (0, 2), (1, 3) .----（7）分
故直线 PQ 的直角坐标方程为 x − y + 2 = 0 .-----------------------
---（8）分 由参数方程可得 y = b
x − ab
+ 1.---------------------------------
-------（10）分
2 2
小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
⎰ 则“从这 6 人中任选 2 人”的基本事件为：
（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）
（3,6）（4,5）（4,6）（5,6）共 15 个
------------------------------------------------（10）分 其中事件 A“选出的 2 人均是青年人”的基本事件为：（1,2）（1,3）（1,4）（2,3） （2,4）（3,4）共 6 个。

故 P ( A ) = 2
．-------------------------------------------
----------（12）分
5
〉 b = 1
〉 21.解 （1）因为曲线 C 的参数方程为
x =
4t
（ t 为参数）， 所以 ⎜ 2
⎜− ab + 1 = 2 解得 a = −1, b = 2 .------------------------------------（ 12）分 1
⎰ ⎛ y = 3t −1
⎛
⎜ 2 所以曲线 C 1 的普通方程为 3x − 4 y − 4 = 0 ，----------------------------（2）分
小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
1 ⎰ n =
又曲线 C 2 的极坐标方程为 〉 = 8 cos ⎝
，
1 − cos 2⎝ 2
所以(m 2 -np)+ √2[2m-(n+p)]=0----------------------------------------（7）分 因为 m 、n 、p 是正整数， 所以m 2 -np 和 2m-(n+p)均为有理数
所以m 2 -np=0 ， 2m-(n+p)=0------------------------------------------------ （9）分 所以曲线 C 2 的直角坐标方程为 y = 4x ；--------------------------------（4）分
所以(n + p)2 =4np ， 所以(n − p)2 =0
所以 n=p 与 n
≠p 矛盾------（11）分
（2）当 t = 0 时， x = 0, y = −1 ，所以点 P (0, −1) ，------------------（5）分 所以数列{b n }中不存在不同的三项成等比数列-----------------------------（12）分
3
由（1）知曲线 C 1 是经过点 P 的直线，设它的倾斜角为〈 ，则 tan 〈 = ，
4
所以 sin 〈 = 3 , cos 〈 = 4 ，---------------------------------------------------（7）分 5 5
〉 所以曲线 C 的参数方程为 ⎜ x = 4 T 5 3
（T 为参数）， ⎜ y = −1 + T
⎜⎛ 5
将上式代入 y 2 = 4x ，得 9T 2 − 110T + 25 = 0 ，---------------------（10）分
所以 PA PB = T 1T 2 = 25
9 分 ----------------------------------------（12）
22 解：（1）设{a n }的首项为a 1
由已知得 5+√2=a 1 +2d
9+3√2=3a 1 +3d 求得a 1 =√2+1 d=2---------（2）分
解：所以a n =2n+√2-1 S n =n 2 +√2n------------------------------（4）分
（2)由b S n
=n+√2-----------------------------------------------------（5）分 n
假设b n 中存在不同的三项能构成等比数列，即a n 、a m 、a p 成等比数列
所以a m 2 =a n . a p
小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学2
即(m + �2) =(n + �2). (p + �2)。