大学物理学教学中初相位的求解_旋转矢量法
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［ 1］李振美． 类比教学法在操作系统核心内容教学中的应用 —以进程管理为例［ J］． 中国科教创新导刊， 2010 （ 31 ） ： 73． ［ 2］彭宗举， 2007 （ 2 ） ： 123 － 124． 沈明圻， 赵一呜． 类比教学法在操作系统教学中的应用研究［J］． 高等理科教育， ［ 3］伍一 等． C 语言程序设计与实训教程［M］． 北京： 清华大学出版社 2007． ［ 4］夏宽理， ． 北京： 中国铁道出版社 2006． 赵子正． C 语言程序设计［M］ ［ 5］包振宇， M］ ． 北京： 北京交通大学出版社 2009． 孙干． C 语言程序设计［ ［ 6］苏小红， M］． 北京： 高等教育出版社 2011． 王宇颖， 孙志岗 等． C 语言程序设计［
图3
图4
3
简谐振动运动中初相位的应用
有关简谐振动的问题也可利用旋转矢量法来求解质点从一位置运动到另一位置的时间 。 例 1 一质量为 0 ． 1 kg 的物体做简谐振动， 振幅为 24 cm， 周期为 4． 0 s。 当 t = 0 时， 位移为 24 cm。
［2 ］ 求由起始位置运动到 x = 12 cm 处所需最短时间？ 根据题意可知振幅 A = 24 cm， 初始位置为 x0 = 24 cm， 终点位置 x1 = 12 cm。 利用旋转矢量法可作
Feb． 2012 Vol． 18 No． 1
— — 旋转矢量法 大学物理学教学中初相位的求解 —
马业万， 刘全金， 章礼华， 张 杰
（ 安庆师范学院 物理与电气工程学院，安徽 安庆 246133 ）
摘
要： 在大学物理中有关振动方程和波动方程的教学中发现， 很多学生不知怎么求解振动方程和波动方程， 其主
x x π π ） + ］ = 0 ． 04cos［ 0 ． 8 π（ tห้องสมุดไป่ตู้－ ） + ］ u 2 0 ． 08 2
若初始时刻质点不在原点， 可用类似的方法处理。 5 结 论 综上所述， 利用旋转矢量法可很方便地求解初相位问题 。实际教学表明， 利用这种方法讲解、 教学， 学生易懂且能很好的掌握。随着高校教学课时的不断压缩， 若老师直接讲解课本内容或不进行思考 ， 学 《大学物理》 《大学物理》 生在学习 时枯燥无味， 长期将厌恶 的学习。作为老师， 要想上好课， 则要求教师 利用课余时间多思考、 多总结、 多探究新的教学方法、 思路， 而不拘于课本。通过这样的教学方法可有效 提高教学效果。 参考文献：
［ 1］马文蔚． 物理学教程［M］ ． 北京： 高等教育出版社， 2006 ： 127 － 128． ［ 2］黄时中， M］ ． 合肥： 中国科学技术大学出版社， 2010 ： 117 － 118． 朱永忠 等． 大学物理学［ （ 下转第 118 页）
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安庆师范学院学报（ 自然科学版）
2012 年
The Application for Visual Analogy method in Function of C Program Teaching
YU Jiujiu， ZHANG Yousheng
图5
图6
根据此性质可很方便地求得波形图中各点的振动特点 。 本题中给出波向右传播而波源点 O 在波峰 6 （ a ） ， O 。 的左侧见图 故 点向下振动 因坐标原点的初始位置在原点或平衡位置 ， 这表明坐标原点初始位 置在平衡位置且沿负向运动。 因而利用旋转矢量法（ 图 6 （ b） ） 可很方便地确定 O 点的初相位为 φ = 所以 O 点的简谐振动方程为 y = Acos（ ωt + φ） = 0 ． 04cos（ 0 ． 8 πt + y（ x， t） = 0 ． 04cos［ 0 ． 8 π（ t － π ）， 相应的波动方程为 2 π ， 2
图2
以（ 1 ） 为例， 此类问题的求解， 可以按照以下五个步骤来求解： y 方向及原点 O， ① 首先做一个圆代表旋转矢量的旋转路径 ， 并分别标出 x， 图 2 中的（ a） ； 1 ② 其次确定质点的初始位置 x0 （ 质点在 x 轴上的位置， 本题即 x0 = A） ， 图 2 中的（ b） ； 2 M2 ， ③ 过 x0 作 x 轴的垂线， 垂线与圆的交点即为旋转矢量的初始位置 ， 此垂线与圆有两个交点 M1 ， 对应图 2 中的（ c） ； y 轴下方沿 x 轴的正向运动） 。 ④ 根据运动方向确定到底是 M1 还是 M2 （ y 轴上方沿 x 轴的负向运动， 本题物体沿 x 轴负向运动， 故选取 M1 ， 对应图 2 中的（ d） ； ⑤ 连接 OM1 ， 则 OM1 与 x 轴的夹角即为初相位。 利用直角三 角 形 关 系 可 很 方 便 地 求 解 其 初 相 位 为 φ = Acos（ π ， 因此相应的简谐振动方程为 x = 3
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2012 年
再看看旋转矢量图 1 中含有的隐含信息： ① 矢 量在轴上的投影即为简谐振动的质点在振动过程中 离开平衡位置的位移或质点的位置； ② 旋转矢量沿 逆时针旋转， 此即相当于说明矢量 A 在各位置的运 动方向。 在 y 轴正方向的所有点都沿 x 轴的负向运 动， 而在 y 轴负方向的所有点都沿 x 轴的正向运动。 因而当给出质点的初始位置及运动方向 ， 利用上述 性质可以很方便地找出与此相对应旋转矢量的位 置。
第1 期
— —旋转矢量法 马业万， 刘全金， 等： 大学物理学教学中初相位的求解 —
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N 两点。 图 4， 初始位置为 M1 ， 末位置 M2 在 x 轴上的位置为 x1 = 12 cm， 过 x1 点作 x 轴的垂线可得 M2 ， 根据题意最先到达， 因旋转矢量是逆时针旋转， 所以 M1 最先旋转到的位置应为 M2 点， 这样即可确定旋 转矢量在 Δ t 时间所转过的角度为 ωΔ t = T T 4 π π π ， = × = = = 0 ． 667 s。 得 Δt = 3 3ω 3 2π 6 6 若初始时刻质点在其他位置， 可用类似的方法处理。 波动方程中求初相位的应用 波动方程的物理意义为： 空间所有质点位移随时间变化的整体情况 ， 且空间每个质点都在各自的位
同理如果波向左传播则波峰左侧点向上振动或波峰右侧点向下振反之波向右传播则波峰右侧点向上振动或波峰左侧点向下振动在波峰的左侧见图相应的波动方程为所以综上所述利用旋转矢量法可很方便地求解初相位问题
＊
2012 年 2 月 第 18 卷第 1 期
安庆师范学院学报（ 自然科学版）
Journal of Anqing Teachers College（ Natural Science Edition）
《操作系统》 、 《计算机组装原理 》 的其它一些计算机专业课程教学中去 ， 如 等。 这就要求教师多用类比 教学法， 将抽象的理论知识结合日常生活中的实例 ， 进行形象类比。 对抽象知识点概念讲解的基础上， 类比生活中的一些熟悉实例， 这样才能降低学生对抽象专业知识理解的难度 ， 从而激发学生学习兴趣， 这也正是形象类比法在教学中的优势所在 。 参考文献：
2π 3π π π π t + ） ； 同理可求得 ⑵ 的初相位（ 图 3 ） 为 φ = － － =－ （ 注： 这里初相位的范围取 T 3 2 4 4 3π 7π 2π 3π + 2π = ）， t － ）。 相应的简谐振动表达式 x = Acos（ 4 4 T 4
（ － π， ， π］ 也有教材取 φ = －
论述如何用旋转矢量法来求解初相位 。 通过旋转 要原因是大多学生不知如何求解初相位 。文章从实际教学过程出发， 矢量法来求解初相位， 方法简捷， 学生学习起来方便、 易懂。 关键词： 旋转矢量法； 初相位； 振动方程； 波动方程 中图分类号： O4 － 42 文献标识码： A 文章编号： 1007 － 4260 （ 2012 ） 01 － 0097 － 03
引 言 《大学物理》 教材中， 初相位的确定方法有两种： ① 根据简谐振动的初始条件求解。 教材中对这种 方法做了四种约定， 此方法比较繁琐， 学生在学习过程中不易掌握、 应用时易出错。②旋转矢量法求解。 0 实际教学中发现很多的学生不知如何运用旋转矢量法 。文章以此为出发点， 主要介绍用旋转矢量法求 解初相位的几点应用。 1 旋转矢量法的基本原理
图1
时针方向转过的角度为 ωt， 此时矢量 A（ 矢端位置 M2 ） 与 x 轴的夹角为 ωt + φ， 见图 1 。 由图 1 可知， 矢量 A 在 x 轴上的投影点 p 的位置为 x = Acos（ ωt + φ） ， 此表达式正是简谐振动的表达式 。 因此， 旋转矢量 A 的矢端 M2 在 x 轴上的投影点 p 的运动， 可表示为物体在 x 轴上的简谐振动。 矢量 A 旋转一周， 相当于物 体在 x 轴上作一次完整的全振动。 由图 1 不难看出， 当 t = 0 时即初始时刻， 矢量 A 与 x 轴的夹角 φ 即为初相位， 因而在旋转矢量图示 。 中， 简谐振动的初相位即为初始时刻矢量 A 与 x 轴的夹角。 初相位的取值范围通常为（ － π， π］ 因此， 利 用旋转矢量法的图示可很方便地求解初相位 。 2 旋转矢量法求解初相位 在利用旋转矢量法求解初相位时 ， 前提必须要找到 t = 0 时刻矢量 A 的位置， 只有这样才可以判断 其与 ox 轴的夹角。 那么如何判断其初始位置？ 一般来讲， 题目通常都会给出初始时刻简谐振动质点的初 始位置及运动方向（ 即速度沿 x 轴正或负向运动） ， 那么这些信息是如何体现在旋转矢量法的图示中呢 ？
* 收稿日期： 2011 － 11 － 14
基金项目： 安庆师范学院青年基金项目（ KJ201008 ） 资助。 作者简介： 马业万， 男， 安徽六安人， 安庆师范学院物理与电气工程学院讲师， 研究方向： 近场光学数值计算、 金属纳米光学性质； 刘全金， 男， 安徽六安人， 安庆师范学院物理与电气工程学院副教授； 章礼华， 男， 安徽太湖人， 安庆师范学院物理与电气工程学院副教授； 张 杰， 男， 安徽桐城人， 安庆师范学院物理与电气工程学院教授。
［2 ］ 《大学物理学 》 教材课后习题中有这样一道 习题， 一个沿 x 轴作简谐振动的弹簧振子， 振幅为 A，
周期为 T， 求其振动方程并用余弦函数表示。 如果 t 1 = 0 时质点的状态方程分别为： （ 1 ） 过 x0 = A 处向 2 2 x 轴负方向； （ 2 ） 过 x0 = － 槡 A 处向 x 轴正方向； 2
［1 － 4 ］ 。 旋转矢量法的基本原理 自 x 轴原点 O 作一矢 使它的模等于简谐振动的振幅 A。 令矢量 A 绕原 量 A，
其转动的角速度等于简 点 O 沿逆时针方向匀速旋转， 谐振动的圆频率 ω， 这个矢量称为旋转矢量。 设t = 0 时， 矢量 A 的矢端在 M1 ， 它与 x 轴的夹角为 φ； 在时刻 t， 矢量 A 的矢端在位置 M2 。 在这个过程中， 矢量 A 沿逆
4
置作简谐振动。 在波动方程的推导过程中， 也是先求解坐标原点的振动方程 ， 再根据波传播的特点， 空间 其他点滞后或超前原点振动进而求得波动方程 。 因而波动方程的求解归根到底仍然要求解原点的振动 方程， 而坐标原点做简谐振动， 故同样涉及求解初相位问题。 在有关波的问题中通常给出波传播的波形 图， 首先必须根据波形图来确定坐标原点的振动方程 。 这一点可根据“左上左传， 右上右传 ”方法来判 断。 其含义为： 以波形图中的波峰为分界线， 波峰至最临近的波谷分别称为左侧与右侧 ， 见图 6 （ a） 。 如 果波峰左侧点向上振动（ 或波峰右侧点向下振动） ， 则波向左传播； 若波峰右侧点向上振动 （ 或波峰左侧 点向下振动） ， 则波向右传播。 同理， 如果波向左传播， 则波峰左侧点向上振动 （ 或波峰右侧点向下振 反之波向右传播， 则波峰右侧点向上振动（ 或波峰左侧点向下振动） 。 动） ， 一平面余弦波沿 x 轴正向传播， 其波速为 u = 0 ． 08 m / s， 波长为 λ = 0 ． 2 m。 当 t = 0 时其波 ［2 ］ 求波动方程 。 形曲线如图 5 所示， 例2
图3
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简谐振动运动中初相位的应用
有关简谐振动的问题也可利用旋转矢量法来求解质点从一位置运动到另一位置的时间 。 例 1 一质量为 0 ． 1 kg 的物体做简谐振动， 振幅为 24 cm， 周期为 4． 0 s。 当 t = 0 时， 位移为 24 cm。
［2 ］ 求由起始位置运动到 x = 12 cm 处所需最短时间？ 根据题意可知振幅 A = 24 cm， 初始位置为 x0 = 24 cm， 终点位置 x1 = 12 cm。 利用旋转矢量法可作
Feb． 2012 Vol． 18 No． 1
— — 旋转矢量法 大学物理学教学中初相位的求解 —
马业万， 刘全金， 章礼华， 张 杰
（ 安庆师范学院 物理与电气工程学院，安徽 安庆 246133 ）
摘
要： 在大学物理中有关振动方程和波动方程的教学中发现， 很多学生不知怎么求解振动方程和波动方程， 其主
x x π π ） + ］ = 0 ． 04cos［ 0 ． 8 π（ tห้องสมุดไป่ตู้－ ） + ］ u 2 0 ． 08 2
若初始时刻质点不在原点， 可用类似的方法处理。 5 结 论 综上所述， 利用旋转矢量法可很方便地求解初相位问题 。实际教学表明， 利用这种方法讲解、 教学， 学生易懂且能很好的掌握。随着高校教学课时的不断压缩， 若老师直接讲解课本内容或不进行思考 ， 学 《大学物理》 《大学物理》 生在学习 时枯燥无味， 长期将厌恶 的学习。作为老师， 要想上好课， 则要求教师 利用课余时间多思考、 多总结、 多探究新的教学方法、 思路， 而不拘于课本。通过这样的教学方法可有效 提高教学效果。 参考文献：
［ 1］马文蔚． 物理学教程［M］ ． 北京： 高等教育出版社， 2006 ： 127 － 128． ［ 2］黄时中， M］ ． 合肥： 中国科学技术大学出版社， 2010 ： 117 － 118． 朱永忠 等． 大学物理学［ （ 下转第 118 页）
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The Application for Visual Analogy method in Function of C Program Teaching
YU Jiujiu， ZHANG Yousheng
图5
图6
根据此性质可很方便地求得波形图中各点的振动特点 。 本题中给出波向右传播而波源点 O 在波峰 6 （ a ） ， O 。 的左侧见图 故 点向下振动 因坐标原点的初始位置在原点或平衡位置 ， 这表明坐标原点初始位 置在平衡位置且沿负向运动。 因而利用旋转矢量法（ 图 6 （ b） ） 可很方便地确定 O 点的初相位为 φ = 所以 O 点的简谐振动方程为 y = Acos（ ωt + φ） = 0 ． 04cos（ 0 ． 8 πt + y（ x， t） = 0 ． 04cos［ 0 ． 8 π（ t － π ）， 相应的波动方程为 2 π ， 2
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以（ 1 ） 为例， 此类问题的求解， 可以按照以下五个步骤来求解： y 方向及原点 O， ① 首先做一个圆代表旋转矢量的旋转路径 ， 并分别标出 x， 图 2 中的（ a） ； 1 ② 其次确定质点的初始位置 x0 （ 质点在 x 轴上的位置， 本题即 x0 = A） ， 图 2 中的（ b） ； 2 M2 ， ③ 过 x0 作 x 轴的垂线， 垂线与圆的交点即为旋转矢量的初始位置 ， 此垂线与圆有两个交点 M1 ， 对应图 2 中的（ c） ； y 轴下方沿 x 轴的正向运动） 。 ④ 根据运动方向确定到底是 M1 还是 M2 （ y 轴上方沿 x 轴的负向运动， 本题物体沿 x 轴负向运动， 故选取 M1 ， 对应图 2 中的（ d） ； ⑤ 连接 OM1 ， 则 OM1 与 x 轴的夹角即为初相位。 利用直角三 角 形 关 系 可 很 方 便 地 求 解 其 初 相 位 为 φ = Acos（ π ， 因此相应的简谐振动方程为 x = 3
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再看看旋转矢量图 1 中含有的隐含信息： ① 矢 量在轴上的投影即为简谐振动的质点在振动过程中 离开平衡位置的位移或质点的位置； ② 旋转矢量沿 逆时针旋转， 此即相当于说明矢量 A 在各位置的运 动方向。 在 y 轴正方向的所有点都沿 x 轴的负向运 动， 而在 y 轴负方向的所有点都沿 x 轴的正向运动。 因而当给出质点的初始位置及运动方向 ， 利用上述 性质可以很方便地找出与此相对应旋转矢量的位 置。
第1 期
— —旋转矢量法 马业万， 刘全金， 等： 大学物理学教学中初相位的求解 —
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N 两点。 图 4， 初始位置为 M1 ， 末位置 M2 在 x 轴上的位置为 x1 = 12 cm， 过 x1 点作 x 轴的垂线可得 M2 ， 根据题意最先到达， 因旋转矢量是逆时针旋转， 所以 M1 最先旋转到的位置应为 M2 点， 这样即可确定旋 转矢量在 Δ t 时间所转过的角度为 ωΔ t = T T 4 π π π ， = × = = = 0 ． 667 s。 得 Δt = 3 3ω 3 2π 6 6 若初始时刻质点在其他位置， 可用类似的方法处理。 波动方程中求初相位的应用 波动方程的物理意义为： 空间所有质点位移随时间变化的整体情况 ， 且空间每个质点都在各自的位
同理如果波向左传播则波峰左侧点向上振动或波峰右侧点向下振反之波向右传播则波峰右侧点向上振动或波峰左侧点向下振动在波峰的左侧见图相应的波动方程为所以综上所述利用旋转矢量法可很方便地求解初相位问题
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2012 年 2 月 第 18 卷第 1 期
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Journal of Anqing Teachers College（ Natural Science Edition）
《操作系统》 、 《计算机组装原理 》 的其它一些计算机专业课程教学中去 ， 如 等。 这就要求教师多用类比 教学法， 将抽象的理论知识结合日常生活中的实例 ， 进行形象类比。 对抽象知识点概念讲解的基础上， 类比生活中的一些熟悉实例， 这样才能降低学生对抽象专业知识理解的难度 ， 从而激发学生学习兴趣， 这也正是形象类比法在教学中的优势所在 。 参考文献：
2π 3π π π π t + ） ； 同理可求得 ⑵ 的初相位（ 图 3 ） 为 φ = － － =－ （ 注： 这里初相位的范围取 T 3 2 4 4 3π 7π 2π 3π + 2π = ）， t － ）。 相应的简谐振动表达式 x = Acos（ 4 4 T 4
（ － π， ， π］ 也有教材取 φ = －
论述如何用旋转矢量法来求解初相位 。 通过旋转 要原因是大多学生不知如何求解初相位 。文章从实际教学过程出发， 矢量法来求解初相位， 方法简捷， 学生学习起来方便、 易懂。 关键词： 旋转矢量法； 初相位； 振动方程； 波动方程 中图分类号： O4 － 42 文献标识码： A 文章编号： 1007 － 4260 （ 2012 ） 01 － 0097 － 03
引 言 《大学物理》 教材中， 初相位的确定方法有两种： ① 根据简谐振动的初始条件求解。 教材中对这种 方法做了四种约定， 此方法比较繁琐， 学生在学习过程中不易掌握、 应用时易出错。②旋转矢量法求解。 0 实际教学中发现很多的学生不知如何运用旋转矢量法 。文章以此为出发点， 主要介绍用旋转矢量法求 解初相位的几点应用。 1 旋转矢量法的基本原理
图1
时针方向转过的角度为 ωt， 此时矢量 A（ 矢端位置 M2 ） 与 x 轴的夹角为 ωt + φ， 见图 1 。 由图 1 可知， 矢量 A 在 x 轴上的投影点 p 的位置为 x = Acos（ ωt + φ） ， 此表达式正是简谐振动的表达式 。 因此， 旋转矢量 A 的矢端 M2 在 x 轴上的投影点 p 的运动， 可表示为物体在 x 轴上的简谐振动。 矢量 A 旋转一周， 相当于物 体在 x 轴上作一次完整的全振动。 由图 1 不难看出， 当 t = 0 时即初始时刻， 矢量 A 与 x 轴的夹角 φ 即为初相位， 因而在旋转矢量图示 。 中， 简谐振动的初相位即为初始时刻矢量 A 与 x 轴的夹角。 初相位的取值范围通常为（ － π， π］ 因此， 利 用旋转矢量法的图示可很方便地求解初相位 。 2 旋转矢量法求解初相位 在利用旋转矢量法求解初相位时 ， 前提必须要找到 t = 0 时刻矢量 A 的位置， 只有这样才可以判断 其与 ox 轴的夹角。 那么如何判断其初始位置？ 一般来讲， 题目通常都会给出初始时刻简谐振动质点的初 始位置及运动方向（ 即速度沿 x 轴正或负向运动） ， 那么这些信息是如何体现在旋转矢量法的图示中呢 ？
* 收稿日期： 2011 － 11 － 14
基金项目： 安庆师范学院青年基金项目（ KJ201008 ） 资助。 作者简介： 马业万， 男， 安徽六安人， 安庆师范学院物理与电气工程学院讲师， 研究方向： 近场光学数值计算、 金属纳米光学性质； 刘全金， 男， 安徽六安人， 安庆师范学院物理与电气工程学院副教授； 章礼华， 男， 安徽太湖人， 安庆师范学院物理与电气工程学院副教授； 张 杰， 男， 安徽桐城人， 安庆师范学院物理与电气工程学院教授。
［2 ］ 《大学物理学 》 教材课后习题中有这样一道 习题， 一个沿 x 轴作简谐振动的弹簧振子， 振幅为 A，
周期为 T， 求其振动方程并用余弦函数表示。 如果 t 1 = 0 时质点的状态方程分别为： （ 1 ） 过 x0 = A 处向 2 2 x 轴负方向； （ 2 ） 过 x0 = － 槡 A 处向 x 轴正方向； 2
［1 － 4 ］ 。 旋转矢量法的基本原理 自 x 轴原点 O 作一矢 使它的模等于简谐振动的振幅 A。 令矢量 A 绕原 量 A，
其转动的角速度等于简 点 O 沿逆时针方向匀速旋转， 谐振动的圆频率 ω， 这个矢量称为旋转矢量。 设t = 0 时， 矢量 A 的矢端在 M1 ， 它与 x 轴的夹角为 φ； 在时刻 t， 矢量 A 的矢端在位置 M2 。 在这个过程中， 矢量 A 沿逆
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置作简谐振动。 在波动方程的推导过程中， 也是先求解坐标原点的振动方程 ， 再根据波传播的特点， 空间 其他点滞后或超前原点振动进而求得波动方程 。 因而波动方程的求解归根到底仍然要求解原点的振动 方程， 而坐标原点做简谐振动， 故同样涉及求解初相位问题。 在有关波的问题中通常给出波传播的波形 图， 首先必须根据波形图来确定坐标原点的振动方程 。 这一点可根据“左上左传， 右上右传 ”方法来判 断。 其含义为： 以波形图中的波峰为分界线， 波峰至最临近的波谷分别称为左侧与右侧 ， 见图 6 （ a） 。 如 果波峰左侧点向上振动（ 或波峰右侧点向下振动） ， 则波向左传播； 若波峰右侧点向上振动 （ 或波峰左侧 点向下振动） ， 则波向右传播。 同理， 如果波向左传播， 则波峰左侧点向上振动 （ 或波峰右侧点向下振 反之波向右传播， 则波峰右侧点向上振动（ 或波峰左侧点向下振动） 。 动） ， 一平面余弦波沿 x 轴正向传播， 其波速为 u = 0 ． 08 m / s， 波长为 λ = 0 ． 2 m。 当 t = 0 时其波 ［2 ］ 求波动方程 。 形曲线如图 5 所示， 例2