上海虹口区实验中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析

上海虹口区实验中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设正方体的棱长为2，动点在棱上，动点P,Q分别在棱AD,CD上，若EF=1, 则下列结论错误的是（）A.
B.二面角P-EF-Q所成的角最大值为
C.三棱锥P-EFQ的体积与的变化无关，与的变化有关
D.异面直线EQ和所成的角大小与变化无关
参考答案：
C
2. 如图，设两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为
,,后，就可以计算出两点的距离为
A. m
B. m
C. m
D. m
参考答案：
D
略
3. 设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在
上,恒成立,则称函数函数在上为“凸函数”.已知当
时,在上是“凸函数”.则在
上
（）
A.既有极大值,也有极小值
B.既有极大值,也有极小值
C.有极大值,没有极小值
D.没有极大值,也没有极小值
参考答案：
C
略
4. 命题“存在”的否定是（）
A．存在 B．不存在
C．对任意 D．对任意
参考答案：
D
略
5. 已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）
A．（0，）B．（0，）C．[，1） D．[，1）
参考答案：
A
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】作出简图，则＞，则e=．
【解答】解：由题意，如图
若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，
由∠APO＞45°，
即sin∠APO＞sin45°，
即＞，
则e=，
故选A．
6. 已知，则下列结论错误的是
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
先由得到a与b大小关系，再判断.
【详解】由，得：b＜a＜0，所以a2＜b2，故A正确；
因为a＞b，b＜0，所以ab＜b2，故B不正确;
因为，且，所以，故C正确；
因为a＞b，a＜0，所以a2＜ab，根据对数函数的单调性，所以lga2＜lgab，所以D正确；
故选B.
【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了基本不等式，若比较大小的两式是指数型或对数型等，可构造具体函数，利用函数的单调性进行判断.
7. 直线与圆的位置关系是（）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
参考答案：
C
8. 已知,且,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
9. 抛物线y2=8x的焦点坐标为（）
A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（1，0）
参考答案：
B
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的标准方程，进而可求得p，根据抛物线的性质进而可得焦点坐标．【解答】解：抛物线y2=8x，
所以p=4，
∴焦点（2，0），
故选B．
10. 下列推理所得结论正确的是
A. 由类比得到
B. 由类比得到
C. 由类比得到
D. 由类比得到
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正数a,b满足3ab+a+b=1,则ab 的最大值是
参考答案：
12. 设含有10个元素的集合的全部子集数为，其中由3个元素组成的子集的个数为，则
的值是。

（用数字作答）
参考答案：
略
13. 某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的
方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为．
参考答案：
50
14. 设，则为.
参考答案：
略
15. 已知命题p：“?n∈N*，使得n2＜2n”，则命题￢p的真假为．
参考答案：
假
根据特称命题的否定是全称命题，再判断真假即可
解：命题是特称命题，则命题的否定是“?n∈N，n2≥2n”，
当n=1时不成立．
故￢p为假命题，
故答案为：假．
16. 已知点P，Q为圆C：x2+y2=25上的任意两点，且|PQ|＜6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任
取一点，则该点落在区域M上的概率为．
参考答案：
【分析】根据直线和圆的位置关系求出平面区域M的图形，利用几何概型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：当|PQ|=6时，圆心到线段PQ的距离d==4．
此时M位于半径是4的圆上，
∴|PQ|＜6，
∴PQ中点组成的区域为M为半径为4的圆与半径为5的圆组成的圆环，即16＜x2+y2＜25，
PQ中点组成的区域为M如图所示，
那么在C内部任取一点落在M内的概率为=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的区域及其面积是解决本题的关键．
17. 已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且,则C
的离心率为____________.（改编题）
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分10分）
中，角，，所对的边分别为，，，且满足，
的面积为
．
（1）求角的大小； （2）若
，求边长．
参考答案：
（Ⅰ）由正弦定理得：
所以
，
，
，.
（Ⅱ），所以
， 由余弦定理得：，
所以。

19.
是分别经过A(1,1)，B(0, 1)两点的两条平行直线，当
间的距离最大时，直线
的方程
是
．
参考答案：
略
20. 已知圆M 的圆心在直线x ﹣2y+4=0上，且与x 轴交于两点A （﹣5，0），B （1，0）． （Ⅰ）求圆M 的方程；
（Ⅱ）求过点C （1，2）的圆M 的切线方程；
（Ⅲ）已知D （﹣3，4），点P 在圆M 上运动，求以AD ，AP 为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q 轨迹方程．
参考答案：
【考点】圆的切线方程；轨迹方程．
【分析】（I ）根据圆的性质，可得圆心M 为AB 垂直平分线与直线x ﹣2y+4=0的交点．因此联解两直线的方程，得到圆心M 的坐标，由两点的距离公式算出半径r=
，即可得到圆M 的方程；
（II ）由于点C 是圆M 上的点，所以过点C 的圆M 的切线与CM 垂直．因此利用直线的斜率公式算出CM 的斜率，从而得到切线的斜率k=﹣3，根据直线方程的点斜式列式，化简即得所求切线的方程； （III ）设Q （x ，y ）、P （x 0，y 0），根据平行四边形ADQP 的对角线互相平分，利用线段的中点坐标
公式列式，解出P 的坐标为（x ﹣2，y ﹣4），代入圆M 的方程化简可得x 2+（y ﹣5）2
=10．最后根据构成平行四边形的条件，去除两个杂点（﹣1，8）、（﹣3，4），即可得到顶点Q 的轨迹方程． 【解答】解：（Ⅰ）∵圆M 与x 轴交于两点A （﹣5，0）、B （1，0）， ∴圆心在AB 的垂直平分线上，即C 在直线x=﹣2上．
由，解得，即圆心M 的坐标为（﹣2，1）．
∴半径
，
因此，圆M 的方程为（x+2）2+（y ﹣1）2=10． （Ⅱ）∵点C （1，2）满足（1+2）2+（2﹣1）2=10，
∴点C 在圆M 上，可得经过点C 与圆M 相切的直线与CM 垂直．
∵CM 的斜率k CM =，∴过点C 的切线斜率为k==﹣3，
由此可得过点C （1，2）的圆M 的切线方程为y ﹣2=﹣3（x ﹣1），化简得3x+y ﹣5=0． （Ⅲ）设Q （x ，y ）、P （x 0，y 0），
∵四边形ADQP 为平行四边形，∴对角线AQ 、PD 互相平分，即AQ 的中点也是PD 的中点．
即
，解得
将P （x ﹣2，y ﹣4）代入圆M 的方程，可得（x ﹣2+2）2+（y ﹣4﹣1）2=10，即x 2+（y ﹣5）2=10， ∴顶点Q 在圆x 2
+（y ﹣5）2
=10上运动，
∵圆x 2+（y ﹣5）2=10交直线AD 于点（﹣1，8）和（﹣3，4）， 当Q 与这两个点重合时，不能构成平行四边形ADQP ，
∴顶点Q 的轨迹方程为x 2
+（y ﹣5）2
=10，（点（﹣1，8）、（﹣3，4）除外）．
21. 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点．
（1）证明：AE⊥平面PCD ；
（2）求PB 和平面PAD 所成的角的大小．
参考答案：
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）证明：CD⊥平面PAC，可得AE⊥CD，证明AE⊥PC，即可证明AE⊥平面PCD；
（2）证明∠APB为PB和平面PAD所成的角，即可求PB和平面PAD所成的角的大小．
【解答】（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
故CD⊥PA．…
由条件CD⊥AC，PA∩AC=A，…
∴CD⊥平面PAC．…
又AE?平面PAC，∴AE⊥CD．…
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．…
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．…
又PC∩CD=C，
综上得AE⊥平面PCD．…
（2）解：在四棱锥P﹣ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，故PA⊥AB．…
又AB⊥AD，PA∩AD=A，则AB⊥平面PAD，…
故PB在平面PAD内的射影为PA，则∠APB为PB和平面PAD所成的角．…
在Rt△PAB中，AB=PA，
故∠APB=45°．…
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．…
22. 已知两个函数,对任意的
，求k的取值范围
参考答案：
解：要对任意的，只须使函数f(x)的最大值小于或等于函数g(x)的最小值即可，
由，得；又，可得函数g(x)在递增，在递减，在递增，所以g(x)的最小值只可能在x=或时取得，又
，所以，
∴，解得k的取值范围为
略。