北师大版九下数学3.9 弧长及扇形的面积教学课件(30张PPT)

第三个量．
2．弧、弧长、弧的度数间的关系：
知1－讲
弧相等表示弧长、弧的度数都相等；
度数相等的弧，弧长不一定相等；
弧长相等的弧，弧的度数不一定相等．
3．易错警示：在弧长公式l＝
n R
180
中，n表示1°的n
倍，180表示1°的180倍，n，180不带单位．
知1－讲
例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算 “展直长
12

25.1 ( cm).
S扇形=
120π122 150.7 (cm2 ).
360
因此， »AB 的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约
为150.7 cm2.
知2－讲
例4 〈广东〉如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁 丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁 丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为( D ) A．6 B．7 C．8 D．9
知1－练
1 (2016·包头)120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在 圆的半径是( )
A．3
B．4
C．9
D．18
2 (2016·成都)AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA
＝50°，AB＝4，则 B»C 的长为( )
A. 10 π B. 10 π C. 5 π D. 5 π
3
9
9
18
知1－练
上，设∠BDF＝α(0°＜α＜90°)．
当α由小到大变化时，图中阴影部分 的面积( )
A．由小变大
B．由大变小
C．不变
D．先由小变大，后由大变小
知2－练
3 (2016·枣庄)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∠CDB＝30°，CD＝ 2 3，则阴影部分的面积为( )
A．2π
B．π

C.
3
2
D.
知2－练
1 (2016·内江)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝ 45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为( )
A．π－4
B. 2 π－1 3
C． π－2
D.
2
3
－2
知2－练
2 (2015·咸宁)如图，在△ABC中，CA＝CB，
∠ACB＝90°，以AB的中点D为圆心，
作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在 E¼F
3 (2015·绍兴)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O的半径为2，∠B＝135°，则 ¼AC 的长为( ) A．2π B．π C.
2
D.
3
知识点 2 扇形面积公式
知2－导
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着 一条长 3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗. （1）这只狗的最大活动区域有多大？ （2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角， 那么它的最大活动区域有多大？
∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，∴S阴影＝S扇形OBC－S△OBC
＝
120 360
×π×(2
3 )2－ 1 ×6×
2
3 ＝4π－3
3.
总结
知2－讲
本例中求弓形面积可转化为两个规则的基本图形(扇形、 三角形)面积的差来解决．将所求面积转化为其他几个规 则图形面积的和或差，是求阴影面积最常用的方法．
知识点 1 弧长公式
知1－导
如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm. (1)转动轮转一周，传送带上的物品A
被传送多少 厘米？ (2)转动轮转1°,传送带上的物品A被
传送多少 厘米？ (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
归纳
知1－导
在半径为R的圆中， n°的圆心角所对的弧长（arc length) 的计算公式为：
两个量．
(2)在扇形面积公式S扇形＝
nπR2 360
中，n表示1°的n倍，360表
示1°的360倍，n，360不带单位．
知2－讲
拓展： (1)弓形定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． (2)弓形的面积：①当弓形的弧小于半圆时，它的面积等于扇
形面积与三角形面积的差，即S弓形＝S扇形－S三角形； ②当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形
知2－讲
解：(1)∵弦BC垂直于半径OA，∴BE＝CE，»AB ¼AC .
又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝∠BOA＝60°.
1
(2)∵BC＝6，∴CE＝ 2 BC＝3.
在Rt△OCE中，∠OCE＝30°，
设OE＝x，则OC＝2x，CE＝ 3 x＝3，解得x＝ 3 .
∴OE＝ 3 ，OC＝2 3 .∵ »AB ¼AC ，
第三章 圆
第9节 弧长及扇形的面积
弧、半圆、优弧、劣弧： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条 弧，每一条弧都叫做半圆．小于半圆的弧叫做劣弧(如图 中的 C»D )，大于半圆的弧叫做优弧(如图中的 C¼AB )．劣弧 用“⌒”和弧两端的字母表示；优弧用“⌒ ”和三个字母(弧 两端的字母和弧中间的任一字母)表示．弧分为优弧、半 圆、劣弧． 注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆．
nπR2 360
较为简便；
2.当知道扇形的弧长时，用公式S扇形＝
1 2
lR较为简便．
知2－讲
例5 如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D 是优弧BC上的一点，∠ADB＝30°. (1)求∠AOC的度数； (2)若弦BC＝6，求图中阴影部分的面积．
知2－讲
导引：(1)根据垂径定理得到相等的弧，再由同圆或等圆中， 弧、圆心角、圆周角之间的关系求得∠AOC的度数； (2)先求出⊙O的半径，再求出圆心角∠BOC的度数， 利用面积差求出阴影部分的面积．
课堂 小结
作业 提升
1．弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对
的弧长l的 计算公式为l＝ nπR .
180
2．扇形公式：
(1)S扇形＝
nπR2 360
；
(2)S扇形＝ 1 lR(l是扇形的弧长)． 2
知2－讲
导引：由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用
扇形的面积公式：S扇形DAB＝
1 2
lR，计算即可．
由条件可知：扇形的弧DCB的长就是正方形的边BC与
CD长的和，为6，半径为3，则S扇形＝
1 ×6×3＝9.
2
总结
知2－讲
扇形的面积计算有两个公式：
1.当已知扇形的圆心角时，用公式S扇形＝
导引：由切线性质可知∠OBA＝90°.因为∠A＝30°，所以
∠BOA＝60°，因为BC∥AO，所以∠CBO＝60°.又因
为OB＝OC，所以△OBC为等边三角形，所以∠BOC＝
60°，代入公式l＝
nπR ，得 60πg6
180
180
＝2π(cm)．
总结
知1－讲
求弧长需要两个条件：(1)弧所在圆的半径；(2)弧所对 的圆心角．当题中没有直接给出这两个条件时，则需利 用圆的相关知识：弦、弦心距、圆周角、切线等求出圆 的半径或弧所对的圆心角．
n πR l=_________1_8_0_____________.
知1－讲
1．弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的
弧长l的计算公式为l＝
nπR
180 .
要点精析：
(1)应用公式时“n”和“180”不应写单位． (2)题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表示弧长． (3)在弧长公式中，已知l，n，R中任意两个量，都可求出
面积的和，即S弓形＝S扇形＋S三角形； ③当弓形的弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半，
1 即S弓形＝ 2 S圆．
知2－讲
例3 扇形AOB的半径为12 cm， ∠ AOB=120°，求 »AB
的长(结果精确到 0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精
确到0.1 cm2).
解：»AB
的长=
120π 180
的弧所围成的图形叫做扇形．
2．扇形面积公式：
(1)S扇形＝
nπR2 360
；
(2)S扇形＝
1 2
lR(l是扇形的弧长)．
应用方法：①当已知半径 R 和圆心角的度数求扇形的面
积时，选用公式S扇形＝
nπR2 360
；
知2－讲
②当已知半径 R 和弧长求扇形的面积时，
1
选用公式S扇形＝
lR.
2
特别注意：
(1)已知S扇形，l，n，R四个量中的任意两个量，可以求出另外
归纳
知2－导
1.如果扇形的半径为R，圆心角为n° ，那么扇形面积的计
算公式为
nπR2
S扇形=_________3_6_0_________.
2. 比较扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长来表示扇形
的面积吗？ 1R
S扇形=___________2_________l.
知2－讲
1．扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对
度”再下料.试计算如图所示的管道 的展直长度，
即 »AB 的长（结果精确到0.1 mm).
解：R= 40mm，n = 110,所以
»AB 的长=
n πR 180

110 180

40π直长度约为76.8 mm.
知1－讲
例2 〈衡阳〉如图，⊙O的半径为6 cm，直线AB是⊙O的 切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A＝30°，则劣 弧BC的长为__2_π_c_m___．
3
知2－练
4 (2015·泰安)如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝ 60°，以点B为圆心的圆与AD，DC相切，与AB， CB的延长线分别相交于点E，F，则图中阴影部分 的面积为( )
A.

3+ 2
B. 3+
C.
3
2
D．2
3+
2
1 课堂讲解 弧长公式
扇形面积公式
2 课时流程
逐点 导讲练