青岛市八年级数学上册第三单元《轴对称》检测卷(包含答案解析)

一、选择题
1．点1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，则()
2021a b +的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．2021- 2．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且62EBD ∠=，则AEB ∠的度数是（ ）
A ．124
B ．122
C ．120
D ．118
3．如图，在Rt ABC ∆中， 90,30,ACB A CD ︒︒∠=∠=是斜边AB 上的高，2BD =，那
么AD 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 4．平面直角坐标系中，点A (3，2)与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标为（ ） A ．(3，－2) B ．(－3，－2) C ．(－3，2) D ．(－2，3) 5．如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A ，B 为圆心，以大于12
AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN 交AC 于点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12
EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ．若此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A 的大小是（ ）
A ．30°
B ．32°
C ．36°
D ．42°
6．如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，则sin B 的值为（ ）
A．5
8
B．
4
5
C．
3
5
D．
1
2
7．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2019=（）
A．22017B．22018C．22019D．22020
8．若海岛N位于海岛M北偏东30°的方向上，则从海岛N出发到海岛M的航线可能是（）
A．B．
C．D．
9．如图，ABC中，AC AD BD
==，80
CAD︒
∠=，则B等于（）
A．25︒B．30︒C．35︒D．40︒
10．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB
与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB ；②BP 垂直平分CE ；③PG ＝AG ；④CP 平分∠DCB ；其中，其中说法正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11．下列图案是轴对称图形的是有（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②③
12．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．如图，已知∠AOB =30°，点P 在射线OA 上，OP =16，点E 、点F 在射线OB 上，PE=PF ，EF =6．若点D 是射线OB 上一动点，当∠PDE =45°时，DF 的长为___________．
14．如图，点C 在DE 上，,,45B E AB AE CAD BAE ∠=∠=∠=∠=︒，则
ACB =∠_____________．
15．如图，∠AOB ＝45°，OC 平分∠AOB ，点M 为OB 上一定点，P 为OC 上的一动点，N 为OB 上一动点，当PM ＋PN 最小时，则∠PMO 的度数为___________．
16．如图，在四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，90D B ∠=∠=︒，点M ，N 分别是CD ，BC 上两个动点，当AMN 的周长最小时，AMN ANM ∠+∠的度数为_________．
17．如图，已知 O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为_____度．
18．已知等边三角形ABC ．如图，
（1）分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点； （2）作直线MN 交AB 于点D ；
（3）分别以点A ，C 为圆心，大于
12
AB 的长为半径作弧，两弧相交于H ，L 两点； （4）作直线HL 交AC 于点E ； （5）直线MN 与直线HL 相交于点O ；
（6）连接OA ，OB ，OC ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①2OC OD =；②2AB OA =；③OA OB OC ==；④120DOE ∠=︒，正确的是____________．
19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∠BAD ＝20°，且AE ＝AD ，则∠CDE 的度数是______．
20．如图，在ABC 中，12 cm AB AC ==， 6 cm BC =，D 为AC 的中点，动点P 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A B C --的方向运动，设运动时间为t ，当过D ，P 两点的直线将ABC 的周长分成两部分，当其中一部分是另一部分的2倍时，
t =_________．
三、解答题
21．已知在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆如图所示，()()()5,2,5,2,1,4A B C ----．
（1）作出ABC ∆关于y 轴对称的图形''A B C '∆；
（2）求出ABC ∆的面积；
（3）在边BC 上找一点,D 连结AD ，使得BAD ABD ∠=∠．（请仅用无刻度直尺按要求画图）
22．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在线段BC 上，连接AD ，过点C 作CE AD ⊥交AD 于点E ，过点B 作BF CE ⊥，交CE 的延长线于点F ，点G 是AB 的中点，连接GE ，GF ．
（1）若30CAD ∠=︒，5AD =，求DE 的长度；
（2）求证：GE GF =．
23．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，且DE DF =，连接BD ，点G 在BC 的延长线上，且CD CG =．
（1）求证：ABC 是等边三角形；
（2）若2CG =，求BC 的长．
24．如图：已知ABC 中AB AC =：
（1）尺规作图：过A 点作//AE BC （不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：AE 是ABC 的一个外角角平分线．
25．在如图所示的方格纸中，
（1）作出ABC 关于MN 对称的111A B C △；
（2）222A B C △是由111A B C △经过怎样的平移得到的？并求出111A B C △在平移过程中所扫过的面积．
26．如图，点E 、F 在BC 上，BE CF =，AB DC =，B C ∠=∠，AF 与DE 交于点G ，求证：GE GF =．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a ，b 的值，进一步可得答案．
【详解】
解：∵1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，得
a-1=2017，1-b=2020．
解得a=2018，b=-2019，
∴()
()()202120212021=2018201911a b +-=-=- 故选：A ． 【点睛】
本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 2．B
解析：B
【分析】
由等边三角形的性质，得到AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，然后证明△ACE ≌△BCD ，则∠CAE=∠CBD ，由角的关系，求出∠ABE+∠BAE=58°，即可得到答案．
【详解】
解：如图：
∵ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD ，
∴△ACE ≌△BCD ，
∴∠CAE=∠CBD ，
即6062BAE EBC ︒-∠=︒-∠，
∵60EBC ABE ∠=︒-∠，
∴6062(60)BAE ABE ︒-∠=︒-︒-∠，
∴58ABE BAE ∠+∠=︒，
∴18058122AEB ∠=︒-︒=︒；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及角的和差关系，解题的关键是掌握所学的知识，正确求出58ABE BAE ∠+∠=︒． 3．C
解析：C
【分析】
根据∠ACB=90°，∠A=30°，CD 是斜边AB 上的高，利用互余关系求∠BCD=30°，DB=2，可求BC ，在Rt △ABC 中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB ，再用线段的差求AD ．
【详解】
解：Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，
CD 是斜边AB 上的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=30°，
∴BC=2BD ＝4，
同理，AB=2BC=8，
AD=AB-BD=8-2=6，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于
斜边的一半是解题关键．
4．C
解析：C
【分析】
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
【详解】
解：点A（3，2）关于y轴对称点的坐标为B（−3，2）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．B
解析：B
【分析】
根据题中作图知：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，利用三角形内角和定理计算即可．【详解】
由题意得：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，
∵DM垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C=180︒，∠C＝84°，
∴∠A=32︒，
故选：B．
【点睛】
此题考查线段垂直平分线作图及性质，角平分线作图及性质，三角形的内角和定理，根据题意得到DM垂直平分AB，BD平分∠ABC是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
⊥交BC于点D，利用等腰三角形的三线合一求出BD，利用勾股定理求过A点作AD BC
出AD即可解决问题．
【详解】
⊥交BC于点D，如图
过A点作AD BC
∵5AB AC ==，8BC =，
∴4BD CD ==， ∴2222543AD AB BD =
--=， ∴3sin 5
AD B AB ==． 故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
7．B
解析：B
【分析】
根据等边三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及a 2=2a 1，得出a 3=4a 1=4，a 4=8a 1=8，a 5=16a 1=16，进而得出答案．
【详解】
解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，
∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°−120°−30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°−60°−30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA 1=A 1B 1=1，
∴A 2B 1=1，
∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a 2=2a 1=2，
a3=4a1=22，
a4=8a1=32，
a5=16a1=42，
，
以此类推：a2019=22018．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出
a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16…进而发现规律是解题关键．
8．D
解析：D
【分析】
根据题意画出图形，再利用“上北下南”求出方向角即可．
【详解】
解：如图：
∵海岛N位于海岛M的北偏东30°方向上，∴海岛N在海岛M上方，故排除A､B选项，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，排除选项C，
故选D．
【点睛】
本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握方向角的概念．
9．A
解析：A
【分析】
利用AD=AC，求出∠ADC=∠C=50︒，利用AD=AB，即可求得
∠B=∠BAD
1
25
2
ADC=
=∠︒．
【详解】
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C，
∵80
CAD︒
∠=，∴∠ADC=∠C=50︒，∵AD=AB，
∴∠B=∠BAD
1
25
2
ADC=
=∠︒，
故选：A．
【点睛】
此题考查等边对等角的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
①根据角平分线的定义与三角形外角的性质可证此结论；
②利用等腰三角形“三线合一”可证明此结论；
③根据角平分线定义与平行线性质可得∠APG＝∠BAP，再利用等腰三角形的判定可证此结论；
④如下图，由角平分线的性质定理可得PM=PN，PM=PO，则PN =PO，即可证明结论．【详解】
解：∵AP平分∠BAC，PB平分∠CBE，
∴∠CAB＝2∠PAB，∠CBE＝2∠PBE，
∵∠CBE＝∠CAB＋∠ACB，
∠PBE＝∠PAB＋∠APB，
即∠CBE＝∠CAB＋2∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB．
故①正确；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一）．
故②正确；
∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠APG＝∠CAP，
∴∠APG＝∠BAP，
∴PG＝AG．
故③正确；
如图，过点P作PM⊥AE于点M，PN⊥AD于点N，PO⊥BC于点O，
∵AP平分∠BAC，PB平分∠CBE，
∴PM=PN，PM=PO，
∴PN =PO，
∴CP平分∠DCB．
故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识并能灵活运用所学知识进行论证是解题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：①是轴对称图形，②不是轴对称图形，③不是轴对称图形，④是轴对称图形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
12．C
解析：C
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴
折叠后可重合．
二、填空题
13．5或11【分析】过点P作PH⊥OB于点H根据PE=PF可得EH=FH=EF=3根据∠AOB=30°OP=16可得PH=OP=8当点D运动到点F右侧或当点D运动到点F 左侧时分别计算可得DF的长【详解】
解析：5或11
【分析】
过点P作PH⊥OB于点H，根据PE=PF，可得EH=FH=1
2
EF=3，根据∠AOB=30°，OP=16，可
得PH=1
2
OP=8，当点D运动到点F右侧或当点D运动到点F左侧时，分别计算可得DF的
长．
【详解】
如图，过点P作PH⊥OB于点H，
∵PE=PF，
∴EH=FH=1
2
EF=3，
∵∠AOB=30°，OP=16，
∴PH=1
2
OP=8，
当点D运动到点F右侧时，
∵∠PDE=45°，
∴∠DPH=45°，
∴PH=DH=8，
∴DF=DH-FH=8-3=5；
当点D运动到点F左侧时，
D′F=D′H+FH=8+3=11．
所以DF的长为5或11．
故答案为：5或11．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是分两种
情况画图解答．
14．【分析】由条件可证得△ABC ≌△AED 则可求得∠ACB=∠ADEAD=AC 再利用等腰三角形的性质可求得答案【详解】解：
∵∠CAD=∠BAE ∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE 即∠BAC=∠DAE
解析：67.5
【分析】
由条件可证得△ABC ≌△AED ，则可求得∠ACB=∠ADE ，AD=AC ，再利用等腰三角形的性质可求得答案．
【详解】
解：∵∠CAD=∠BAE ，
∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE ，
即∠BAC=∠DAE ，
在△ABC 和△AED 中，
B E AB AE
BAC EAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABC ≌△AED （ASA ），
∴AD=AC ，∠ACB=∠ADE ，
∴∠ACD=∠ADC ，
∵∠CAD=45°，
∴∠ADC=67.5°，
∴∠ACB=67.5°，
故答案为：67.5．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
15．45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′过点M′作M′N ⊥OB 于点N 交OC 于点P 则此时PM+PN 的值最小再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案【详解】解：如图找到点M 关于OC 对称点M′过点M
解析：45°
【分析】
找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．
【详解】
解：如图，
找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小．
∵PM=PM′，
∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，
∵点M与点M′关于OC对称，OC平分∠AOB，
∴OM=OM′，
∵∠AOB=45°，
∴∠PM'O=∠AOB=45°，
∴∠PMO=∠PM'O=45°，
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P及点N的位置是关键．
16．100°【分析】作点A关于BC的对称点A′关于CD的对称点A″根据轴对称确定最短路线问题连接A′A″与BCCD的交点即为所求的点MN利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″再根据轴对称的性质和三
解析：100°
【分析】
作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得
∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．
【详解】
解：如图，
作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，
∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，
∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，
由轴对称的性质得：A′N= AN，A″M=AM
∴∠A′=∠A′AN，∠A″=∠A″AM，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．
故答案为：100°
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．
17．100【分析】连接AO延长交BC于D根据线段垂直平分线的性质可得
OB=OA=OC再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得
∠BOC=2∠A即可求解【详解】解：连接AO延长交BC于D∵O为△A
解析：100
【分析】
连接AO延长交BC于D，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC，再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A，即可求解．
【详解】
解：连接AO延长交BC于D，
∵O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴OB=OA=OC，
∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，
∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC，
∵∠BAC=50°，
∴∠BOC=100°．
故答案为：100．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握它们的性质和运用是解答的关键．
18．①③④【分析】根据题意可得点O是三边中垂线的交点从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可【详解】由题可得点O为等边三角形ABC三边中垂线的交点即：MN⊥ABHL⊥AC∴根据等边三角形
解析：①③④
【分析】
根据题意可得点O是三边中垂线的交点，从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可．
【详解】
由题可得点O为等边三角形ABC三边中垂线的交点，即：MN⊥AB，HL⊥AC，
∴根据等边三角形的性质可得：∠DAO=∠EAO=30°，AD=AE，
∴△ADO≌△AEO，
∴OD=OE，
又根据中垂线的性质得∠EAO=∠ECO=30°，
∴在Rt△COE中，OC=2OE，
∴OC=2OD，故①正确；
在Rt△ABE中，显然AB=2AE，而OA＞AE，
∴AB≠2OA，故②错误；
根据中垂线性质可得OA=OB，OA=OC，
∴OA=OB=OC，故③正确；
在四边形ADOE中，∠ADO=∠AEO=90°，∠DAE=60°，
∴∠DOE=360°-90°×2-60°=120°，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质以及垂直平分线的画法和性质，以及全等三角形判定与性质，理解题意中所作图形的本质是解题关键．
19．10°【分析】设∠B＝∠C＝x∠CDE＝y分别表示出∠DAE构建方程解方程即可求解【详解】解：设∠B＝∠C＝x∠EDC＝y∵AD＝AE∴∠ADE＝∠AED＝x＋y∵∠DAE＝180°−2（x＋y）＝
解析：10°
【分析】
设∠B＝∠C＝x，∠CDE＝y，分别表示出∠DAE，构建方程解方程即可求解．
【详解】
解：设∠B＝∠C＝x，∠EDC＝y，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝x＋y，
∵∠DAE＝180 °−2（x＋y）＝180 °−20 °−2x，
∴2y＝20 °，
∴y＝10 °，
∴∠CDE＝10 °．
故答案为：10°
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质，还涉及三角形内角和等知识点，需要熟练掌握等腰三角形的判定与性质．
20．4或14秒【分析】由于动点P 从点A 出发沿的方向运动所以分两种情况进行讨论：（1）P 点在AB 上时设P 点运动了t 秒用含t 的代数式分别表示BPAP 根据条件过DP 两点的直线将的周长分成两部分使其中一部分是另
解析：4或14秒．
【分析】
由于动点P 从点A 出发，沿A B C --的方向运动，所以分两种情况进行讨论：（1）P 点在AB 上时，设P 点运动了t 秒，用含t 的代数式分别表示BP ，AP ，根据条件过D ，P 两点的直线将ABC 的周长分成两部分，使其中一部分是另一部分的2倍，求出t 的值；（2）P 点在BC 上时，同理，可解得t 的值．
【详解】
解：分两种情况：
（1）P 点在AB 上时，如图，
∵12 cm AB AC ==，1 6 cm 2AD CD AC ==
=， 设P 点运动了t 秒，则AP t =，12BP t =-，由题意得： ()12AP AD BP BC CD +=
++或()12AP AD BP BC CD +=++， ∴()1612662t t +=-++①或1(6)12662
t t +=-++②， 解①得4t =秒，解②得，14t =（舍去）；
（2）P 点在BC 上时，如图，P 点运动了t 秒，
则AB BP t +=，18PC AB BC t t =+-=-，
由题意得：()2AD AB BP PC CD ++=+或()2AD AB BP PC CD ++=+， ∴()62186t t +=-+①或()26186t t +=-+②
解①得14t =秒，解②得，4t =秒（舍去）．
故当4t =或14秒时，过D 、P 两点的直线将ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分
是另一部分的2倍．
故答案为4或14秒．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及动点问题．解答此题时要分情况进行讨论，不要漏解．
三、解答题
21．（1）见解析 （2）8 （3）见解析
【分析】
（1）分别作出A ，B ，C 关于y 轴的对称点连接即可；
（2）根据三角形的面积，确定三角形的底和高计算即可；
（3）根据已知条件可知x 轴所在的直线为AB 线段的垂直平分线，判断即可；
【详解】
解:（1）∵()5,2A -，()5,2B --，()1,4C -，
∴关于y 轴对称的点为()5,2A '，()5,2B '-，()
1,4C '，如图，
（2）过点C 作CE AB ⊥，由题可知：()154CE =---=，()224AB =--=， ∴1144822
=⨯⨯=⨯⨯=S AB CE ； （3）根据已知条件可得到x 轴所在的直线为AB 线段的垂直平分线，即可得到点D 的位置，如图所示．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系的知识点，结合等腰三角形的性质判断是解题的关键． 22．（1）
54；（2）见详解 【分析】
（1）先求出∠DCE=30°，根据直角三角形的性质，可得CD=12AD ，DE =12
CD ，进而即可
求解；
（2）连接CG ，先证明∆BFC ≅
∆CEA ，从而得BF=CE ，结合等腰直角三角形的性质，得CG=BG ，CG ⊥AB ，进而证明∆GCE ≅∆GBF ，即可得到结论．
【详解】
（1）∵CE AD ⊥，30CAD ∠=︒，
∴∠ACE=90°-30°=60°，
∵90ACB ∠=︒，
∴∠DCE=30°，
∵5AD =，
∴CD=12AD=52
，DE =12CD=54； （2）连接CG ，
∵CE AD ⊥，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∵90ACB ∠=︒，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CAE=∠BCF ，
∵BF CE ⊥，
∴∠BFC=∠CEA=90°，
又∵AC BC =，
∴∆BFC ≅∆CEA （AAS ），
∴BF=CE ，
∵点G 是AB 的中点，
∴CG=BG ，CG ⊥AB ，
∴∠CGB=∠BFC=90°，
∴∠GCE=∠GBF ，
∴∆GCE ≅∆GBF ，
∴GE GF =．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握AAS 证明全等三角形以及等腰直角三角形的性质，是解题的关键．
23．（1）见解析 （2）4
【分析】
（1）只要证明Rt △ADE ≌Rt △CDF ，推出∠A=∠C ，推出BA=BC ，又AB=AC ，即可推出AB=BC=AC ；
（2）证明BD 是等边三角形的∠ABC 的平分线，得∠DBC =30゜，再利用直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为点E ，F ，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵D 为AC 的中点，
∴AD=DC ，
在Rt △ADE 和Rt △CDF 中，
AD DC DE DF ⎧⎨⎩
＝＝， ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF ，
∴∠A=∠C ，
∴BA=BC ，∵AB=AC ，
∴AB=BC=AC ，
∴△ABC 是等边三角形．
（2）∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，且DE DF =，
∴BD 平分ABC ∠，
∵ABC 是等边三角形，
∴60ABC ACB ∠=∠=︒，
∴BD AC ⊥，30CBD ∠=︒， ∴2BC CD =，
∵CD CG =，2CG =
∴24BC CG ==．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
24．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）作∠CAE=∠C 即可；
（2）延长BA ，根据两直线平行，同位角相等，有∠EAF=∠B ，由（1）可知∠CAE=∠C ，再根据AB=AC ，可得∠B=∠C ，等量替换之后即可得证．
【详解】
（1）射线AE 为所求；
（2）证明：如图所示，延长BA ，
∵//AE BC ，
∴∠EAF=∠B ，∠CAE=∠C ，
∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
∴∠EAF=∠CAE ，
∴AE 是ABC 的一个外角角平分线．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和角平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．
25．（1）图见解析；（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，面积是16
【分析】
（1）作点A 、B 、C 关于MN 的对称点1A 、1B 、1C ，即可得到111A B C △；
（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位可以得到222A B C △，画出平移的图象，求出扫过的面积．
【详解】
解：（1）如图所示，
（2）如图所示，
111A B C △先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到222A B C △，
111A B C △在平移过程中所扫过的面积是图中阴影部分，
16242124162
S =⨯+⨯⨯=+=． 【点睛】
本题考查轴对称和平移，解题的关键是掌握轴对称图形的画法和图形平移的方法． 26．见详解
【分析】
由题意，根据SAS 证明△ABF ≌△DCE ，得到∠AFB=∠DEC ，即可得到GE GF =．
【详解】
解：根据题意，如图：
∵BE CF =
∴BE EF CF EF +=+，
∴BF CE =，
∵AB DC =，B C ∠=∠，
∴△ABF ≌△DCE ，
∴∠AFB=∠DEC ，
∴GE GF =．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，解题的关键是掌握所学的知识，证明△ABF ≌△DCE ．。