第五讲 整除问题

第五讲整除问题（一）
一、整除：若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除
（或者说b能整除a），记作：b|a.注意b不能为0，0不能是除数.
例如：15÷3=5，记作3 | 15，63÷7=9，记作7 | 63
二、数的整除的性质
（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除.
例如：如果2 | 10，2 | 6，那么2 |（10+6），并且2 |（10-6）.
（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除.
例如：如果40÷8 ，8÷4，那么40÷4
（3）如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：bc | a，那么b | a，c | a.
（4）如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a. 即：如果b | a，c | a，且（b，c）=1，那么bc | a.
例如：2 | 28，7 | 28，且（2，7）=1，那么（2×7）| 28.
三、整除特征：
（1）能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.
（2）能被5整除的数的特征：个位数字是0或5的整数.
（3）能被3（或9）整除的数的特征：各位数字之和能被3（或9）整除.
（4）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除.
（5）能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除.
（6）能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除.
（7）能被7（或13）整除的数的特征：这个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除.
四、例题：
1、在□内填上适当的数字，满足：
（1）34□□能同时被2、3、4、5整除；____________________________________________ （2）7□36□能被24整除.___________________________________________________
2、四位数7□2□能同时被2、
3、5整除，这样的四位数有几个？分别是多少？
3、有一个两位数不能被3、6、9整除，加上8后就能够被3、6、9整除了，这个数最大是几？
4、商店里有6只不同的货箱,分别装有货物1
5、1
6、18、19、20、31千克.两个顾客买走其中5箱货物，而一个顾客的货物重量是另一个顾客的2倍，商店里剩下的那箱货物是多少千克？
5、小马虎在写一张纸上写了一个无重复数字的五位数:3□6□5,其中十位数字和千位数字看不清了,但是已知这个数是75的倍数,那么满足上述条件的五位数中,最大的一个是多少?
6.用0-9这十个数字组成能被11整除的最大十位数是多少?最小十位数是多少?
7.小明的妈妈买了3斤苹果,又买了6斤梨,售货员说一共是8.80元,小明说售货员算错了.你是怎样想的?售货员真的算错了吗?
8.在1-500中,不能被2整除,也不能被3整除,又不能被7整除的数有多少个?
9.有5箱矿石,质量分别是12千克,15千克,10千克,8千克和13千克.从中选出4箱给甲乙两个人,甲的质量是乙的2倍.剩下的是哪一箱?
五、练习:
1、在358后面补上三个数字,组成一个六位数,使它能被3.4.5整除,且使这个数值尽可能小.
2、既能被2整除,又是3的倍数,还有约数5的最小两位数是多少?最大的两位数是多少?
3、求一个首位数字为5的最小六位数,使这个数能被9整除,且各位数字均不相同.
4、四位数6A3B能被2.3.5整除,这样的四位数有几个?分别是多少?
5、有一个四位数,千位上的数字和百位上的数字都被擦掉了,知道了这个数十位上的数字是1,个位上的数字是2.又知道这个数如果减去7能被7整除,减去8能被8整除,减去9能被9整除.求这个四位数.
6、一位后勤人员买了72本笔记本,可是由于他吸烟不小心,火星落在帐本上,把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的:72本笔记本,共□67.9□元(□为被烧掉的数字),请把□处数字填写完整,并求出笔记本的单价.
7、4包糖,质量分别是1.2千克，0.7千克，3.3千克，4.5千克，将其中的3包糖分给了甲乙两个幼儿园，1个幼儿园分到糖的质量是另一个幼儿园的8倍.剩下的1包糖的质量是多少千克?
8、1-1000之间的自然数,能同时被2、3、5整除的数共有多少个?
9、在1-2001这些数中,有的能被3整除,有的能被23整除,有的能被29整除,那么,不能被3、23和29整除的数一共有多少个?。