【数学】天津市静海县第一中学2016-2017学年高二6月月考(理)

天津市静海县第一中学2016-2017学年高二6月月考（理）
考生注意：
1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（130分）和第Ⅱ卷提高题（20分）两部分，共150分。

2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。

知 识 技 能
学习能力
习惯养成
总分
内容
导数综合
题
数学归纳
法 排列组
合 分布
列 复数
卷面整洁
150
分数
50
25
25
20
10
3-5分
第Ⅰ卷 基础题（共130分）
一、选择题: （每小题5分，共30分） 1. 若b a bi i
a
,,11其中-=-都是实数，i 是虚数单位，则bi a +等于（ ） A.
5 B. 2 C. 3 D.1
2. 将E D C B A ,,,, 五个字母排成一排，若A 与B 相邻且A 与C 不相邻，则不同排法有 （ ）
A. 60种
B.18种
C. 24种
D. 36种
3.设点P 在曲线上2
x
e y =点Q 在曲线)2ln(x y =上，则PQ 的最小值为（ ）
A. 2ln 1-
B.
)2ln 1(2- C. 2ln 1+ D. )2ln 1(2+
4、若二项式62)155(
x
x + 的展开式中的常数项为m ,则 dx x x m )2(21-⎰ =( ) A.
31 B. 31- C. 32 D. 3
2
- 5.已知定义在R 上的函数)()(x g x f 和满足x f x e f x f x )0(22
)1()(22
2'-+=-且 ,0)(2)('<+x g x g 则下列不等式成立的是（ ）
A. )2017()2015()2(g g f <
B. )2017()2015()2(g g f >
C. )2017()2()2015(g f g <
D. )2017()2()2015(g f g > 6. 在用数学归纳法证明)3,(121
111)(≥∈<++++=
*n N n n
n n n f 的过程中：假设当)3,(≥∈=*k N k k n 时，不等式1)(<k f 成立，则需证当1+=k n 时，1)1(<+k f 也成立。

若)()()1(k g k f k f +=+ ，则)(k g =（ ）
A.
221121+++k k B. k k k 1
221121-+++ C. k k 1221-+ D. k
k 21
221-+
二、填空题: （每小题5分，共40分）
7.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有_____种 8.若将函数5)(x x f =表示为
5210552210,,,)1()1()1()(a a a a x a x a x a a x f 其中+++++++=为实数，则3a =
9.设复数)0a R,a ,(>∈+=是虚数单位
i i a z ，且10=z ，若复数)(1R m i
i
m z ∈-++对应的点在第四象限，则实数的取值范围为 10.观察下列等式：
照此规律，第n 个等式可为
11.已知函数存在单调递减区间，且的图象在处的切线l 与曲线相切，符合情况的切线l 有 条
12. 20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．
13.已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________． 14.已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x >0时，f (x )＝ln x －ax ，若函数在定义域上有且仅有4个零点，则实数a 的取值范围是
()=-x a
f x x e ()=y f x 0=x x
y e =
三、解答题（本大题共5题，共60分）
15.（16分） 由四个不同的数字1,2,4，x 组成无重复数字的三位数。

（1）若5=x ，其中能被5整除的共有多少个？ （2）若9=x ，其中能被3整除的共有多少个？ （3）若0=x ，其中的偶数共有多少个？
（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x
16.（10分） 已知A,B,C 三个箱子中各装有3个完全相同的小球，每个箱子里的球分别标着号码1，2，3现从A,B,C 三个箱子中各摸出1个球。

（1）若用数组),,(z y x 中的z y x ,,分别表示从C B A ,,三个箱子中摸出的球的号码，问数组),,(z y x 共有多少种？
（2）求“取出的3个号码中恰有2个相同”的概率； （3）若取出的3个球的号码中奇数的个数为，的分布列
17.（12分）已知函数()ln(1)f x x =+，1()g x x
=
（1）设()()()F x f x g x =-，试判断函数()F x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？并证明你的结论； （2）若方程()1m f x x =+在区间22111,1e e ⎡
⎫-++⎪⎢⎣
⎭上有两不相等的实数根，求m 的取值范围；
（3）当0x >时，若()()1
f x k
g x x x +>+恒成立，求整数k 的最大值。

18.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 与n S 满足关系式
3
3()1
n n n S a n N n +=-
∈*+（Ⅰ）求4321,,,a a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明
19.（10分） 在某娱乐节目的一期比赛中，有6位歌手（1至6号）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的歌手，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．
（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；
（Ⅱ）X 表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列．
第Ⅱ卷 提高题 (共20分)
20.已知函数()()ln 1f x x a x =--，其中0>a . （1） 若函数()f x 在(0,)+∞上有极大值0，求a 的值； （2） 讨论并求出函数()f x 在区间1
[,]e e
上的最大值；
（3）在（2）的条件下设()()1h x f x x =+-，对任意1212,(0,)()x x x x ∈+∞≠， 证明：不等式121
2
12()()2
x x x x h x h x -+<-恒成立.
参考答案
第Ⅰ卷基础题（共分）
一、选择题（每题5分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C D B C A B
二、填空题（每空5分，共40分）
7.______12_ 8.___10_____ 9. _ ___
10. （n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…•（2n-1）
11. 0 12. 120 13. 14.
三、解答题（本大题共5题，共60分）
15. （16分）
解：（1）若x=5，则末位为5的三位数共有=6个；
（2）若x=0，则末位是0时，三位数共有=6个，末位是2或4时，三位数共有2×2=4个，故共有10个；
（3）4个不同的数，组成无重复三位数共有4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，每个数字用了=18次．
（4）252=18×（1+2+4+x），得出x=7
16.（10分）
（1）(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种
(2)1/3
（3）略
17.（12分）
略
18.（12分）
（1）
（2）
19、（Ⅰ）设A 表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B 表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C 表示“媒体丙选中3号歌手”，
媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率： P （A ）=P （A ）（1﹣P （B ））
（Ⅱ）P （C ）=，由已知得X 的可能取值为0，1，2，3，
20、分析：（1）11'()ax
f x a x x
-=
-=………1分 明显，当∈x 1(0,)a 时，0)(>'x f ，当∈x 1
(,)a +∞时，0)(<'x f
故函数)(x f 在
1(0,)a 上单调递增，在1
(,)a
+∞上单调递减，………3分
因此函数)(x f 在 (0,)+∞上有极大值1()ln 10f a a a
=--+= ∴ln 1a a =-，解得1=a ………5分
（2）∵11'()ax f x a x x
-=-= ①若1e a ≥，即1
0a e
<≤，则当1[,]x e e ∈ 时，有'()0f x ≥，
∴函数)(x f 在1
[,]e e 上单调递增，则max ()()1f x f e ea a ==-+．………6分
②若11e e a <<，即1a e e <<，则函数f (x )在 11
(,)e a 上单调递增，在1(,)e a 上单调递减，
∴max 1
()()ln 1f x f a a a
==--+．………7分
③若11a e ≤，即a e ≥，则当1[,]x e e ∈ 时，有'()0f x ≤，函数f (x )在1
[,]e e
上单调递减，
则max 1()()1a
f x f a e e
==--+．………8分
综上得，当1
0a e
<≤时，max ()1f x ea a =-+；当1a e e <<时，max ()ln 1f x a a =--+；
当a e ≥时，max ()1a
f x a e
=--+．………9分
（3）要证明
121212()()2x x x x h x h x -+<-，只需证明121
2
12ln ln 2
x x x x x x -+<-………10分 只需证明()1212121
ln ln 2
x x x x x x -<-+即证明1
2
1122
11ln 21x x x x x x -<+，………11分 不妨设120x x >>，令
1
2
x t x =，则1>t ，则需证明
0ln 2111<-+-t t t ………12分 令)1(ln 2111)(>-+-=t t t t x ϕ，则0)1(2)1()(2
2
<+--='t t t x ϕ，）上单调递减，在（∞+∴1)(t ϕ 0ln 2
1
110)1()(<-+-=<∴t t t t 即
ϕϕ 故不等式
121
2
12()()2
x x x x h x h x -+<-得证………14分。