2022年湖南省湘西市古丈县第一高级中学高三数学理月考试题含解析

2022年湖南省湘西市古丈县第一高级中学高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
2. 已知点满足，目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，则的范围为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
3. “”是“”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
4. 设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）
A. B. C. D. 参考答案：
C
根据题意，一定有∠PF1F2＝30°，且∠PF2x＝60°，故直线PF2的倾斜角是，设直线x＝a与x 轴的交点为M，则|PF2|＝2|F2M|，又|PF2|＝|F1F2|，所以|F1F2|＝2|F2M|.所以2c＝2，即4c ＝3a，故e＝＝.故选C.
5. 已知，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
6. 若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
7. 我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位）.这个问题中，等差数列的通项公式为（）
A．（）B．（）
C. （）D．，（）
参考答案：
D
8. 将的图像向右平移个单位长度后，再使平移后的图像纵坐标不变，
横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，将方程的所有正根按从小到大排成一个数列，在以下结论中：①；
②；③．
正确结论的个数有（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
C
略
9. 下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“?x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“?x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0”
B．在△ABC 中，“sinA＞sinB”是“A＞B”成立的充要条件
C．线性回归方程y=+a对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1）、（x2，y2）、…，
（x n，y n）中的一个
D．在2×2列联表中，ad﹣bc的值越接近0，说明两个分类变量有关的可能性就越大
参考答案：
B
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：A，写出命题“?x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定，可判断A；
B，在△ABC 中，利用正弦定理可知sinA＞sinB?a＞b?A＞B，可判断B；
C，线性回归方程y=+a对应的直线不一定经过其样本数据点（x1，y1）、（x2，y2）、…，（x n，y n）中的任何一个，可判断C；
D，在2×2列联表中，ad﹣bc的值越接近0，说明两个分类变量有关的可能性就越小，可判断D．解答：解：对于A，命题“?x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“?x0∈R，使得x02﹣x0+1≤0”，故A错误；
对于B，在△ABC 中，由正弦定理知，sinA＞sinB?a＞b，又a＞b?A＞B，所以在△ABC 中，“sinA＞sinB”是“A＞B”成立的充要条件，B正确；
对于C，线性回归方程y=+a对应的直线不一定经过其样本数据点（x1，y1）、（x2，y2）、…，
（x n，y n）中的一个，故C错误；
对于D，在2×2列联表中，ad﹣bc的值越接近0，说明两个分类变量有关的可能性就越小，故D错误．
综上所述，A、B、C、D四个选项中，只有B正确，
故选：B．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定、充分必要条件、线性回归方程及列联表的理解与应用，属于中档题．
10. 已知命题p：x0∈(－∞,0)，，则p为（）
A．x0∈[0,+∞)，B．x0∈(－∞,0)，
C. x∈[0,+∞)，D．x∈(－∞,0)，
参考答案：
D
因为命题：，，所以为: ，,选D.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知双曲线，它的渐近线方程是y=±2x，则a 的值为．
参考答案：
2
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为：y=±ax，结合题意中渐近线方程可得
a=2，即可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在x轴上，其渐近线方程为：y=±ax，
又有其渐近线方程是y=±2x，
则有a=2；
故答案为：2．
12. 已知函数若对任意的，且
恒成立，则实数a 的取值范围为。

参考答案：
13. △ABC 中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为
___________.
参考答案：
根据余弦定理可得,即，所以
，解得，所以△ABC 的面积.
14. 已知为一个内角，且，则___________
参考答案：
15. 已知函数f(x)=|lg x|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是
参考答案：
略
16. 欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自
钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为
4cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出边界），
则油滴整体（油滴是直径为0.2cm的球）正好落入孔中的概率是 .(不作
近似计算)
参考答案：
略
17. 已知双曲线﹣=1上一点P（x，y）到双曲线一个焦点的距离是9，则x2+y2的值是．
参考答案：
133
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的a，b，c，不妨设点P（x，y）在右支上，焦点为右焦点，运用两点的距离公
式和点满足双曲线方程，解方程可得P的坐标，进而得到所求值．
【解答】解：双曲线﹣=1的a=4，b=6，c==2，
不妨设点P（x，y）在右支上，
由条件可知P点到右焦点（2，0）的距离为9，
即为=9，且﹣=1，
解出x=2，y=±9，
则x2+y2=52+81=133．
故答案为：133．
【点评】本题考查双曲线的方程和应用，考查两点距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）
已知函数，．
（Ⅰ）设，求的单调区间；
（Ⅱ）若对，总有成立．
（1）求的取值范围；
（2）证明：对于任意的正整数，不等式
恒成立．
参考答案：
（Ⅰ），定义域为，
，…… 1分
（1）当时，令，，，
令，；
（2）当时，令，则或，
令，；…… 3分（3）当时，恒成立；
（4）当时，令，则或，
令，；…… 4分
综上：当时，的增区间为，的减区间为；
当时，的增区间为和，的减区间为；
当时，的增区间为；
当时，的增区间为和，的减区间为．……5分
（Ⅱ）（1）由题意，对任意，恒成立，即恒成立，只需．……6分由第（Ⅰ）知：
，显然当时，，此时对任意，
不能恒成立；（或者分逐个讨论）…… 8分
当时，，；
综上：的取值范围为．…… 9分
（2）证明：由（1）知：当时，，……10分
即，当且仅当时等号成立．
当时，可以变换为
，…… 12分
在上面的不等式中，令，则有
不等式恒成立．…… 14分
19. 已知函数f（x）=e x+a﹣lnx．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（2）当a≥﹣2时，证明：f（x）＞0．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）=0，求出a的值即可；（2）问题转化为证明e x﹣2﹣lnx＞0，令g（x）=e x﹣2﹣lnx（x＞0），根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（1）函数f（x）=e x+a﹣lnx定义域为（0，+∞），
，
由已知得f′（1）=0，即：e a+1﹣1=0，所以a=
﹣
1；
（2）由于a≥﹣2，所以e x+a≥e x﹣2，
所以只需证明e x﹣2﹣lnx＞0，
令g（x）=e x﹣2﹣lnx（x＞0），则g′（x）=e x﹣2﹣，
所以g′（x）在（0，+∞）上为增函数，
而g′（1）=e﹣1﹣1＜0，g′（2）=1﹣＞0，
所以g′（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0，
且x0∈（1，2），
当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，
所以g（x）的最小值为g（x0），
由g′（x0）=﹣=0，
得： =，lnx0=2﹣x0，
所以g（x0）=﹣lnx0=+x0﹣2≥0，
而x0∈（1，2），所以g（x0）＞0，所以g（x）＞g（x0）＞0，
即：e x﹣2﹣lnx＞0，所以，当a≥﹣2时，f（x）＞0．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
20. 在如图所示的几何体中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，且
平面ABC，平面平面ABC.
（I）求证：AC//平面BDE；
（II）求钝二面角C-DE-B的余弦值.
参考答案：略
21. 已知函数．
（I）求曲线在点处的切线方程．
（II）求证：当时，．
（III）设实数使得对恒成立，求的最大值．参考答案：
（I）（II）略（III）最大值为
（I）∵，
，
∴，
∴．
∵，
，，
∴在处切线方程为．
（II）证明：令，
，
，
∴，
∴，
即在时，．
（III）由（II）知，在时，
对恒成立，当时，令，
则，
，
∴当时，，
此时在上单调递减，
当时，，
即，
∴当时，，
对不恒成立，
∴最大值为．
22. 数列的前项和满足，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
参考答案：
（1）（2）
试题分析：（1）由通项与和项关系求数列通项公式，需注意分类讨论，即
，而由得数列成等比是不充分的，需强调每一项不为零，这就必须求出首项（2）因为，所以一般利用裂项求和：，即
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由（1）知，∴，
∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：由通项与和项关系求数列通项公式，裂项相消法求和
【方法点睛】给出S n与a n的递推关系求a n，常用思路是：一是利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n的递推关系，先求出S n与n之间的关系，再求a n. 应用关系式a n＝时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.。