2024-2025学年合肥市包河数学九上开学学业质量监测模拟试题【含答案】

2024-2025学年合肥市包河数学九上开学学业质量监测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）关于x 的方程x 2-mx +2m =0的一个实数根是3，并且它的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两边长，则△ABC 的腰长为（）A ．3B ．6C ．6或9D ．3或62、（4分）一家鞋店在一段时间内销售了某种男鞋200双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：尺码/厘米2323.52424.52525.526销售量/双5102239564325一般来讲，鞋店老板比较关心哪种尺码的鞋最畅销，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据是（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差3、（4分）已知a，b，c 是△ABC 的三边长，a b 0-=，则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4、（4分）如果△ABC 的三个顶点A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么下列条件中，不
能判断△ABC 是直角三角形的是（）
A ．∠A ＝25°，∠
B ＝65°B ．∠A ：∠B ：∠
C ＝2：3：5
C ．a ：b ：c
：D ．a ＝6，b ＝10，c ＝12
5、（4分）若分式2
2x x -+的值为0，则x 的值是（）
A ．2
B ．-2
C ．2或-2
D ．0
6、（4分）如图1是由5个全等的边长为1的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是5的大正方形，则（）A ．甲、乙都可以B ．甲可以，乙不可以C ．甲不可以，乙可以D ．甲、乙都不可以
7、（4分）如图是小军设计的一面彩旗，其中90ACB ∠=︒，15D ∠=︒，点A 在CD 上，4AD AB m ==，则AC 的长为（）A ．2m B ．C ．4m D ．8m
8、（4分）已知（x ﹣1）|x |﹣1有意义且恒等于1，则x 的值为（）A ．﹣1或2B ．1C ．±1D ．0二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）农科院对甲、乙两种甜玉米各10块试验田进行试验后，得到甲、乙两个品种每公顷的平均产量相同，而甲、乙两个品种产量的方差分别为20.01S ≈甲，20.002S ≈乙，则产量较为稳定的品种是_____________（填“甲”或“乙”）．
10、（4分）=.
11、（4分）正比例函数y=kx 的图象与直线y=﹣x+1交于点P （a ，2），则k 的值是_____．
12、（4分）因式分解：24x -=．
13、（4分）已知,x y 为实数，且4y =+，则x y -=______.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，直线l 是一次函数y ＝kx +b 的图象．（1）求出这个一次函数的解析式．（2）根据函数图象，直接写出y ＜2时x 的取值范围．15、（8分）小聪与小明在一张矩形台球桌ABCD 边打台球，该球桌长AB =4m ，宽AD =2m ，点O 、E 分别为AB 、CD 的中点，以AB 、OE 所在的直线建立平面直角坐标系。

（1）如图1，M 为BC 上一点；①小明要将一球从点M 击出射向边AB ，经反弹落入D 袋，请你画出AB 上的反弹点F 的位置；②若将一球从点M (2，12)击出射向边AB 上点F (0.5，0)，问该球反弹后能否撞到位于(-0.5，0.8)位置的另一球?请说明理由（2）如图2，在球桌上放置两个挡板(厚度不计)挡板MQ 的端点M 在AD 中点上且MQ ⊥AD ，MQ =2m ，挡板EH 的端点H 在边BC 上滑动，且挡板EH 经过DC 的中点E ；①小聪把球从B 点击出，后经挡板EH 反弹后落入D 袋，当H 是BC 中点时，试证明：DN =BN ；
②如图3，小明把球从B 点击出，依次经挡板EH 和挡板MQ 反弹一次后落入D 袋，已知∠EHC =75°，请你直接写出球的运动路径BN +NP +PD 的长。

16、（8分）阅读材料：换元法是数学学习中最常用到的一种思想方法，对结构较复杂的数字和多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化．换元法在较大数的计算，简化多项式的结构等方面都有独到的作用．
例：设则上式应用以上材料，解决下列问题：（1）计算：（2）化简：17、（10分）已知：如图，已知直线AB 的函数解析式为210y x =+，AB 与y 轴交于点，与x 轴交于点．（1）在答题卡上直接写出A ，B 两点的坐标；（2）若点P （a ，b ）为线段AB 上的一个动点，作PE ⊥y 轴于点E ，PF ⊥x 轴于点F ，连接EF ．问：①若PBO 的面积为S ，求S 关于a 的函数关系式；②是否存在点P ，使EF 的值最小？若存在，求出EF 的最小值；若不存在，请说明理由．
18、（10分）+1+）1-）-．
B 卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）一次函数y ＝(m ＋2)x ＋3－m ，若y 随x 的增大而增大，函数图象与y 轴的交点在x 轴的上方，则m 的取值范围是____．
20、（4分）已知长方形的面积为6m 2+60m +150（m ＞0），长与宽的比为3：2，则这个长方形的周长为_____．21、（4分）分式23x x x 的值为零，则x 的值是________.22、（4分）某跳远队甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数为602cm ，若甲跳远成绩的方差为2S 甲=65.84，乙跳远成绩的方差为2S 乙=285.21，则成绩比较稳定的是_____．（填“甲”或“乙”）23、（4分）如图在菱形ABCD 中，∠A=60°，P 是对角线AC 上的一个动点，过点P 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交AB 于点F ，将△AEF 沿EF 折叠点A 落在G 处，当△CGB 为等腰三角形时，则AP 的长为__________.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B （﹣3，5），点D 在线段AO 上，且AD ＝2OD ，点E 在线段AB 上，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标．
25、（10分）将矩形ABCD 折叠使点A ，C 重合，折痕交BC 于点E ，交AD 于点F ，可以得到四边形AECF 是一个菱形，若AB=4，BC=8，求菱形AECF 的面积.
26、（12分）如图，△ABC 的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为单位1．（1）求证：△ABC 为直角三角形；（2）求点B 到AC 的距离．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
先把x=1代入方程x2-mx+2m=0求出m得到原方程为x2-9x+18=0，利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=6，然后根据等腰三角形三边的关系和等腰三角形的确定等腰△ABC的腰和底边长．
【详解】
解：把x=1代入方程x2-mx+2m=0得9-1m+2m=0，解得m=9，
则原方程化为x2-9x+18=0，
（x-1）（x-6）=0，
所以x1=1，x2=6，
所以等腰△ABC的腰长为6，底边长为1．
故选：B．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
2、C
【解析】
∵众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
∴鞋店老板最喜欢的是众数．
故选C．
3、C
【解析】
∴c2-a2-b2=0，a-b=0，
解得：a2+b2=c2，a=b，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故选C ．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．4、D 【解析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理进行判定即可．【详解】解：A 、∵∠A =25°，∠B =65°，∴∠C =180°﹣∠A ﹣∠B =90°，∴△ABC 是直角三角形，故A 选项正确；B 、∵∠A ：∠B ：∠C =2：3：5，∴518090235∠=︒⨯=︒++C ，∴△ABC 是直角三角形；故B 选项正确；C 、∵a ：b ：c ∴设a k ，b ，c ，∴a 2+b 2=5k 2=c 2，∴△ABC 是直角三角形；故C 选项正确；D 、∵62+102≠122，∴△ABC 不是直角三角形，故D 选项错误．故选：D ．本题主要考查直角三角形的判定方法，熟练掌握勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理是解题的关键．
5、A
【解析】
分式的值为0，分子为0，也就是x -2=0，即x =2，分母不能为0，x +2≠0，即x ≠-2，所以选
A.
【详解】
根据题意x -2=0且x +2≠0，所以x =2，选A.
本题考查分式的性质，分式的值为0，分子为0且分母不能为0，据此作答.6、A 【解析】直接利用图形的剪拼方法结合正方形的性质分别分析得出答案．【详解】解：如图所示：可得甲、乙都可以拼一个面积是5的大正方形．故选：A ．此题主要考查了图形的剪拼以及正方形的性质，正确应用正方形的性质是解题关键．7、B 【解析】先求出∠ABD=∠D ，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAC=30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半求出BC 的长度是2cm ，再利用勾股定理解答．【详解】解：如图，∵AD=AB=4cm ，∠D=15°，∴∠ABD=∠D=15°，∴∠BAC=∠ABD+∠D=30°，∵∠ACB=90°，AB=4cm ，
1
BC AB 2cm 2∴==，
在Rt △ABC 中，AC ===，
故选：B ．
本题主要考查了含30度角的直角三角形的边的关系，等腰三角形的等边对等角的性质，三角形的外角性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
8、A
【解析】
根据任何非3数的3次幂等于1，求x的值，注意1的任何正整数次幂也是1．
【详解】
根据题意，得x-1≠3，|x|-1=3．
∵|x|-1=3，∴x=±1，
∵x-1≠3，∴x≠1，
又当x=3时，（x-1）|x|-1=1，
综上可知，x的值是-1或3．
故选A．
此题考查了绝对值的定义，零指数幂的定义，比较简单．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、乙
【解析】因为S
甲2≈0.01＞S
乙
2≈0.002，方差小的为乙，所以本题中比较稳定的是乙．
10、２
【解析】
根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0.
【详解】
∵22=4=2.
本题考查求算术平方根，熟记定义是关键.
11、-1
【解析】将点P 的坐标代入两个函数表达式即可求解．【详解】解：将点P 的坐标代入两个函数表达式得：，解得：k=-1．故答案为：-1．本题考查的是直线交点的问题，只需要把交点坐标代入两个函数表达式即可求解．12、(x+2)(x-2)【解析】解：24x -=222x -=(2)(2)x x +-；故答案为(2)(2)x x +-13、1-或7-.【解析】根据二次根式有意义的条件可求出x 、y 的值，代入即可得出结论．【详解】∵290x - 且290x -≥，∴3x =±，∴4y =，∴1x y -=-或7-．故答案为：1-或7-．本题考查了二次根式有意义的条件．解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出x 、y 的值．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）y ＝12x +1；（1）x ＜1
【解析】
（1）将（﹣1，0）、（1，1）两点代入y ＝kx +b ，解得k ，b ，可得直线l 的解析式；（1）根据函数图象可以直接得到答案．
【详解】
解：（1）将点（﹣1，0）、
（1，1）分别代入y ＝kx +b ，得：22,20.k b k b +=⎧⎨-
+=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．所以，该一次函数解析式为：y ＝12x +1；（1）由图象可知，当y ＜1时x 的取值范围是：x ＜1．故答案为（1）y ＝12x +1；（1）x ＜1.本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用代入法是解答此题的关键．15、（1）①答案见解析②答案见解析（2）①证明见解析②【解析】（1）①根据反射的性质画出图形，可确定出点F 的位置；②过点H 作HG ⊥AB 于点G ，利用点H 的坐标，可知HG 的长，利用矩形的性质结合已知可求出点B ，C 的坐标，求出BM ，BF 的长，再利用锐角三角函数的定义，去证明tan ∠MFB=tan ∠HFG ，即可证得∠MFB=∠HFG ，即可作出判断；（2）①连接BD ，过点N 作NT ⊥EH 于点N ，交AB 于点T ，利用三角形中位线定理可证得EH ∥BD ，再证明MQ ∥AB ，从而可证得∠DNQ=∠BNQ ，∠DQN=∠NQB ，利用ASA 证明△DNQ ≌△BNQ ，然后利用全等三角形的性质，可证得结论；②作点B 关于EH 对称点
B ＇，过点B ＇作B ＇G ⊥B
C 交BC 的延长线于点G ，连接B ＇H ，B ＇N ，连接AP ，过点B ＇作B ＇L ⊥x 轴于点L ，利用轴对称的性质，可证得AP=DP ，NB ＇=NB ，∠BHN=∠NHB ＇根据反射的性质，易证AP ，NQ ，NC 在一条直线上，从而可证得BN+NP+PD=AB ＇，再利用邻补角的定义，可求出∠B ＇HG=30°，作EK=KH ，利用等腰三角形的性质，及三角形外角的性质，求出∠CKH 的度数，利用解直角三角形表示出KH ，CK 的长，由BC=2，建立关于x 的方程，解方程求出x 的值，从而可得到CH ，B ＇H 的长，利用解直角三角形求出
GH ，BH 的长，可得到点B ＇的坐标，再求出AL ，B ＇L 的长，然后在Rt △AB ＇L 中，利用勾股定理就可求出AB ＇的长.【详解】（1）解：①如图1，②答：反弹后能撞到位于(-0.5，0.8)位置的另一球理由：如图，设点H （-0.5，0.8），过点H 作HG ⊥AB 于点G ，∴HG=0.8∵矩形ABCD ，点O ，E 分别为AB ，CD 的中点，AD=2，AB=4，∴OB=OA=2，BC=AD=OE=2∴点B （2，0），点C （2，2）,∵点M(2，1.2)，点F(0.5，0)，∴BF=2-0.5=1.5，BM=1.2，FG=0.5-（-0.5）=1
在Rt △BMF 中，
tan ∠MFB=，
在Rt △FGH 中，
tan ∠HFG=，∴∠MFB=∠HFG ，∴反弹后能撞到位于(-0.5，0.8)位置的另一球.（2）解：①连接BD ，过点N 作NT ⊥EH 于点N ，交AB 于点T ，∴∠TNE=∠TNH=90°，∵小聪把球从B 点击出，后经挡板EH 反弹后落入D 袋，∴∠BNH=∠DNE ，∴∠DNQ=∠BNQ ；∵点M 是AD 的中点，MQ ⊥EO ，∴MQ ∥AB ，∴点Q 是BD 的中点，∴NT 经过点Q ；∵点E ，H 分别是DC ，BC 的中点，∴EH 是△BCD 的中位线，∴EH ∥BD ∵NT ⊥EH ∴NT ⊥BD ；
∴∠DQN=∠NQB=90°
在△DNQ 和△BNQ 中，
∴△DNQ ≌△BNQ （ASA ）
∴DN=BN
②作点B 关于EH 对称点B ＇，过点B ＇作B ＇G ⊥BC 交BC 的延长线于点G ，连接B ＇H ，B ＇N ，连接AP ，过点B ＇作B ＇L ⊥x 轴于点L ，∴AP=DP ，NB ＇=NB ，∠BHN=∠NHB ＇由反射的性质，可知AP ，NQ ，NC 在一条直线上，∴BN+NP+PD=NB ＇+NP+AP=AB ＇；∵∠EHC=75°，∠EHC+∠BHN=180°，∴∠BHN=180°-75°=105°，∴∠NHB ＇=∠EHC+∠B ＇HG=105°∴∠B ＇HG=30°;如图，作EK=KH ，在Rt △ECH 中，∠EHC=75°，∴∠E=90°-75°=15°，∴∠E=∠KHE=15°∴∠CKH=∠E+∠KHE=15°+15°=30°，∵设CH=x ，则KH=2x ，CK=
∴
解之：x=，
∴CH=
∴BH=B ＇H=BC-CH=2-（）=；
在Rt △B ＇GH 中，B ＇G=;GH=B ＇Hcos ∠B ＇HG=（）×；BG=BH+GH=∴点B ＇的横坐标为：，∴点B ＇；∴AL=，B ＇L=在Rt △AB ＇L 中，AB ＇=∴球的运动路径BN+NP+PD 的长为.本题考查反射的性质，解直角三角形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识点：（1）①根据反射的性质作图，②根据等角的三角函数值相等证明∠MFB=∠HFG 来说明反弹后能撞到另一球；（2）①利用ASA 证明△DNQ ≌△BNQ ，然后利用全等三角形的性质可得结论，②作出辅助线，根据反射的性质和轴对称的性质证明BN+NP+PD=AB ＇，然后构建方程，解直角三角形并结合勾股定理求出AB ＇的长；其中能够根据反射的性质作出图形，利用方程思想及数形结合思想结合直角三角形的特殊角进行求解是解题的关键．16、（1）0；（2）-1.
【解析】
（1）设则，则原式，化
简求解即可；
（2）设，，则，原式=，化简后代入即可.
【详解】
解：（1）设则，则：原式=；（2）设，，则，原式=======.本题考查了换元法的思想和解题思路，准确的找出能把式子化繁为简的整体（换元）部分是解题的关键.
17、（1）()()0,10,5,0A B -；（2）①525S a =+（-5≤a≤0）；②存在，【解析】
（1）由直线AB 解析式，令x=0与y=0分别求出y 与x 的值，即可确定出A 与B 的坐标；（2）①把P 坐标代入直线AB 解析式，得到a 与b 的关系式，三角形POB 面积等于OB 为底边，P 的纵坐标为高，表示出S 与a 的解析式即可；②存在，理由为：利用三个角为直角的四边形为矩形，得到四边形PFOE 为矩形，利用矩形的对角线相等得到EF=PO ，由O 为
定点，P 为动点，得到OP 垂直于AB 时，OP 取得最小值，利用面积法求出OP 的长，即为EF 的最小值．【详解】解：（1）对于直线AB 解析式y=2x+10，令x=0，得到y=10；令y=0，得到x=-5，则A （0，10），B （-5，0）；（2）连接OP ，如图所示，①∵P （a ，b ）在线段AB 上，∴b=2a+10，由0≤2a+10≤10，得到-5≤a≤0，由（1）得：OB=5，∴()1210,2PBO S OB a =∙+则()52105252S a a =+=+（-5≤a≤0）；②存在，理由为：∵∠PFO=∠FOE=∠OEP=90°，∴四边形PFOE 为矩形，∴EF=PO ，∵O 为定点，P 在线段AB 上运动，∴当OP ⊥AB 时，OP 取得最小值，∵1122AB OP OB OA ∙=∙，AB ==∴50,OP =∴=
综上，存在点P 使得EF 的值最小，最小值为
本题属于一次函数综合题，考查的是：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，矩形的判定与性质，勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．18、【解析】先根据二次根式的除法法则和平方差公式计算，然后化简后合并即可．【详解】11-=+2-1-2本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、－2＜m ＜1【解析】解：由已知得：2030m m ＞＞+⎧⎨-⎩，解得：-2＜m ＜1．故答案为：-2＜m ＜1．20、10m +1【解析】对面积表达式进行变形，根据面积=长×宽，再根据长与宽的比是3：2，判断出长宽的表达
式，继而得出周长．
【详解】
解：∵6m 2+60m+11=6（m 2+10m+25）=6（m+5）2=[3（m+5）][2（m+5）]，且长：宽=3：2，
∴长为3（m+5），宽为2（m+5），∴周长为：2[3（m+5）+2（m+5）]=10m+1．
故答案为：10m+1本题考查了用提取公因式和完全平方公式进行因式分解的实际应用，熟练掌握并准确分析是解题的关键.21、3【解析】根据分式的值为0的条件，解答即可.【详解】解：∵分式的值为0，∴2x 300x x ⎧-=⎨≠⎩，解得：x 3=；故答案为：3.本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．22、甲．【解析】试题分析：∵2S 甲=65.84，2S 乙=285.21，∴2S 甲＜2S 乙，∴甲的成绩比乙稳定．故答案为甲．考点：方差．23、1或【解析】分两种情形①CG=CB ，②GC=GB ，分别求解即可解决问题.【详解】在菱形ABCD 中，∵∠A=60°，，∴AC=3，
①当
∴AP=12AG=32．
②当GC=GB 时，易知GC=1，AG=2，∴AP=12AG=1，
故答案为1或32-．
本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、菱形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（﹣3，2）【解析】先作点D 关于直线AB 的对称点D′，连接CD′交AB 于点E′．根据矩形的性质及题意得到直线CD′的解析式，即可得到答案.【详解】如图，作点D 关于直线AB 的对称点D′，连接CD′交AB 于点E′．此时△DCE′的周长最小．∵四边形AOCB 是矩形，B （﹣3，5），∴OA ＝3，OC ＝5，∵AD ＝2OD ，∴AD ＝2，OD ＝1，∴AD′＝AD ＝2，∴D′（﹣5，0），∵C （0，5），∴直线CD′的解析式为y ＝x+5，∴E′（﹣3，2）．本题考查矩形的性质和求一元一次方程，解题的关键是掌握矩形的性质和求一元一次方程.
25、20.
【解析】
设菱形AECF 的边长为x ，根据矩形的性质得到∠B=90°，根据勾股定理列出方程，解方程求出x 的值，根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】
设菱形AECF 的边长为x ，则BE=8−x ，
∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°，由勾股定理得,222BE AB AE +=,即，222(8)4x x -+=解得，x=5，即EC=5，∴菱形AECF 的面积=EC ⋅AB=20.此题考查矩形的性质、翻折变换（折叠问题）、菱形的性质，解题关键在于掌握烦着图形得变化规律.26、(1)见解析;(2)5.【解析】（1）根据勾股定理以及逆定理解答即可；（2）根据三角形的面积公式解答即可．【详解】解：（1）由勾股定理得，AB B AC ===C AB 2+BC 2＝65＝AC 2△ABC 为直角三角形；（2）作高BD ，由1122AB BC AC BD ⋅=⋅得，11BD 22=解得，BD ＝2655点B 到AC 的距离为5．
考查勾股定理问题，关键是根据勾股定理以及逆定理解答．。