2020-2021学年江西省八校(新余一中等)高二(下)第四次联考数学试卷(理科)(附答案详解)

2020-2021学年江西省八校（新余一中、宜春中学等）高二（下）第四次联考数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知A={x|log2(x+2)<1}，B={x|x2−2x−3≤0}，则A∪B=()
A. (−2,3]
B. [−2,3]
C. [−1,0)
D. (−∞,3]
2.设a=log20.4，b=0.42，c=20.4，则a，b，c的大小关系为()
A. a<b<c
B. a<c<b
C. b<a<c
D. b<c<a
3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为11
12
，则判断框中填写的内容可以是()
A. n<5
B. n<6
C. n≤6
D. n<9
4.屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇
环形屏风，如图，扇环外环弧长为2.4m，内环弧长为0.6m，径长(外环半径与内环半径之差)为0.9m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为()
A. 1.20m2
B. 1.25m2
C. 1.35m2
D. 1.40m2
5.从4名男同学和3名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出2名同学中恰
好有1男1女同学的概率是()
A. 2
7B. 4
7
C. 1
7
D. 3
7
6. 函数f(x)=(e −x −e x )sin2x 的部分图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知实数x ，y 满足{x ≤2
x +y ≥2x +2y ≤4
，则√x 2+y 2的最大值为( )
A. 2
B. √5
C. 4
D. 5
8. 非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ，a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π
6，|b ⃗ |=4，则c
⃗ 在a ⃗ 上的投影为( )
A. 2
B. 2√3
C. 3
D. 4
9. 已知{a n }为无穷等比数列，且公比0<q <1，记S n 为{a n }的前n 项和，则下面结论
正确的是( )
A. a 3<a 2
B. a 1×a 2>0
C. {a n }是递减数列
D. S n 存在最小值
10. 已知椭圆E ：
x 2
a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2(如图)，过F 2的直线交E 于P ，Q 两点，且PF 1⊥x 轴，|PF 2|=13|F 2Q|，则E 的离心率为( )
A. √33
B. 1
2
C. √22
D. √32
11. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π
2)
的图象如图所示，且f(x)的图象关于点(x 0,0)对称，则|x 0|的最小值为( )
A. 2π
3 B. π
6 C. π3 D. 5π6
12. 如图，已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，侧棱
长为2，点P ，Q 分别在半圆弧C
̂1C ，A ̂1A(均不含端点)上，且C 1，P ，Q ，C 在球O 上，则下列命题：
①当点Q 在A
̂1A 的三等分点处，球O 的表面积为(11−3√3)π； ②当点P 在C
̂1C 的中点处，过C 1，P ，Q 三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形；
③当点P 在C
̂1C 的中点处，三棱锥C 1−PQC 的体积为定值． 其中真命题的个数为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中
选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是______ ．
0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410
9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179
14. 设函数f(x)={
5x −m,x <1
2x
,x ≥1
，若f(f(45))=8，则m = ______ ． 15. 已知(x +3)6=a 0+a 1(x +1)+⋯+a 5(x +1)5+a 6(x +1)6，则a 5= ______ ． 16. 已知双曲线
x 2a
2−
y 2b 2
=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2的直线l 交该双曲
线的右支于M ，N 两点(M 点位于第一象限)，△MF 1F 2的内切圆半径为R 1，△NF 1F 2
的内切圆半径为R 2，且满足R
1
R 2
=3，则直线l 的斜率______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，BD=√7，∠BAD=2π
．
3
(Ⅰ)求边AB的长；
(Ⅱ)若∠CBD=π
，BC=BD，求△ABC的面积．
3
18.已知公比大于1的等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=14，a3=8．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求
}的前n项和T n．
数列{1d
n
19.如图，四棱锥E−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其
中AB⊥BC，CD//AB，面ABE⊥面ABCD，且AB=AE=
BE=2BC=2CD=4，点M在棱AE上．
(1)证明：当MA=2EM时，直线CE//平面BDM；
(2)当AE⊥平面MBC时，求二面角E−BD−M的余弦值．
20. 在某运动会上，有甲队女排与乙队女排以“五局三胜”制进行比赛，其中甲队是
“慢热”型队伍，根据以往的经验，首场比赛甲队获胜的概率为P ，决胜局(第五局)甲队获胜的概率为2
3，其余各局甲队获胜的概率均为1
2． (1)求甲队以3：2获胜的概率；
(2)现已知甲队以3：0获胜的概率是1
12，若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求甲队得分的分布列及数学期望．
21. 已知抛物线E ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，
以F 为圆心的圆与l 相切，与抛物线E 相交于M ，N 两点，且|MN|=4． (1)求抛物线E 的方程；
(2)不与坐标轴垂直的直线与抛物线E 交于A ，B 两点，与x 轴交于P 点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于Q 点，若|AB|=2|PQ|，求P 点的坐标．
22.已知函数f(x)=2xlna−(x+a)lnx．
(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的零点个数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵A={x|log2(x+2)<1}，B={x|x2−2x−3≤0}，
∴A=(−2,0)，B=[−1,3]
∴则A∪B=(−2,3]，
故选：A．
先解出A，B，再进行并集运算．
考查集合交并补，以及不等式，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵log20.4<log21=0，∴a<0，
∵0.42=0.16，∴b=0.16，
∵20.4>20=1，∴c>1，
∴a<b<c，
故选：A．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
3.【答案】C
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
S=0，n=2；
满足条件，S=1
2
，n=4；
满足条件，S=1
2+1
4
=3
4
，n=6；
满足条件，S=1
2+1
4
+1
6
=11
12
，n=8；
由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为11
12
；故判断框中填写的内容可以是n≤6．
故选：C．
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=8时，S=11
12
，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值，由此得出判断框中填写的内容是什么．
本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的S值是解题的关键，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：设小扇形的半径为r，则大扇形的半径为r+0.6，
所以r+0.9
r =2.4
0.6
，r=0.3，
所以扇环面积为1
2×2.4×(0.3+0.9)−1
2
×0.6×0.3=1.35，
所以扇环内需要进行工艺制作的面积估计值为1.35m2．
故选：C．
求出小扇形的半径，计算扇环的面积即可．
本题考查了扇环的面积计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5.【答案】B
【解析】解：从4名男同学和3名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n=C72=21，
选出2名同学中恰好有1男1女同学包含的基本事件个数m=C41C31=12，
则选出2名同学中恰好有1男1女同学的概率是P=m
n =12
21
=4
7
．
故选：B．
基本事件总数n=C72=21，选出2名同学中恰好有1男1女同学包含的基本事件个数m=C41C31=12，由此能求出选出2名同学中恰好有1男1女同学的概率．
本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：f(−x)=(e x −e −x )sin(−2x)=(e −x −e x )sin2x =f(x)，即f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，B ，
当0<x <π
2时，sin2x >0，e −x −e x <0，即此时f(x)<0，排除D ， 故选：C ．
判断函数的奇偶性和对称性，判断当当0<x <π
2时，f(x)<0，利用排除法进行求解即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及排除法是解决本题的关键，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
√x 2+y 2的几何意义为可行域内动点到坐标原点的距离， 联立{x =2x +2y =4
，解得A(2,1)，
由图可知，√x 2+y 2的最大值为√22+12=√5． 故选：B ．
由约束条件作出可行域，再由√x 2+y 2的几何意义，即可行域内动点到坐标原点的距离求解．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ，a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π
6，|b ⃗ |=4，
可得|a
⃗ ||b ⃗ |cos π
6=|a ⃗ ||c ⃗ |cos <a ⃗ ,c ⃗ >， 所以|c ⃗ |cos <a ⃗ ,c ⃗ >=4×√
3
2=2√3，
所以c⃗在a⃗上的投影为2√3．
故选：B．
利用向量的数量积的等式，化简求解推出c⃗在a⃗上的投影．
本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
9.【答案】B
【解析】解：例如数列{a n}以−2为首项，以1
2
为公比的等比数列，
a2=−1，a3=−1
2
，A，C，D显然错误；
a1⋅a2=a12q>0一定成立，B正确；
故选：B．
利用反例：数列{a n}以−2为首项，以1
2
为公比的等比数列，分别检验各选项即可判断．本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：过Q作QH垂直x轴，交x轴于H，
由题意可得，P(−c,b2
a )，PF1=b2
a
，
△PF1F2∽△QHF2，
∴|PF2|
|F2Q|=|PF1|
|QH|
=|F1F2|
|F2H|
=13，
∴|QH|=b2
13a ，|HF2|=2c
13
，
所以点Q(15c
13,−b2
13a
)，
又点Q在椭圆上，∴(15c13)2
a +(−
b2
13a
)2
b
=1，
即225c2+b2=169a2，又b2=a2−c2，∴224c2=168a2，
∴e=c
a =√3
2
，
故选：D．
利用题中的条件解出PF1的长度，过Q作QH垂直x轴，交x轴于H，利用三角形相似，可以表示出点Q的坐标，将Q点坐标代入椭圆方程，即可解出．
本题考查了椭圆的性质，离心率，学生的数学运算能力，属于基础题．
11.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π
2
)的图象，可得A=2，
3 4⋅2π
ω
=11π
6
−π
3
，∴ω=1．
集合五点法作图，1×π
3+φ=π
2
，∴φ=π
6
，f(x)=2sin(x+π
6
).
根据f(x)的图象关于点(x0,0)对称，可得x0+π
6
=kπ，k∈Z，
则|x0|的最小值为π
6
，此时，k=0，
故选：B．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式，结合在正弦函数的零点，求得|x0|的最小值．
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的零点，属于中档题．12.【答案】C
【解析】解：如图1，取CC1的中点EDD1的中点F，AA1的中点G，
根据题意，球心O在线段EF上，设∠EFQ=θ，θ∈[0,π
2
)，
则由余弦定理|FQ|2=2−2cosθ，
设OE=x，则|OC|=x2+1，|OQ|2=|OF|2+|FQ|2=(1−x)2+2−2cosθ，
因为|OQ|2=|OC|2=R2(R为球O的半径)，
所以x=1−cosθ∈[0,1)，
所以R2=|OC|2=x2+1∈[1,2)，
所以球O的表面积为S=4πR2∈[4π,8π)，故C错误；
当点Q在Â1A的三等分点处，θ=π
6，则x=1−cosθ=1−√3
2
，
所以R2=|OC|2=(1−√3
2)2+1=11
4
−√3，
所以球O的表面积为S=4πR2=4π(11
4
−√3)=(11−4√3)π，故A错误；
对于B：取DD1中点F，当点Q在FA⏜上是，连接AF，
在平面ADD1A1中过点Q作AF的平行线，与线段DD1，AD分别交于M，N，
延长C1P与BC相交，连接交点与点N交AB于S，
此时，当点P在Ĉ1C中点处，过点C1，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面为五边形C1MNSP，故B错误；
对于D：当点P在Ĉ1C的中点处，
三棱锥C1−PQC的体积为V Q−PCC
1=V A−PCC
1
=1
3
×1
2
×2×1×1=1
3
，为定值，故D正确．
故选：C．
对于C：取CC1的中点E，DD1的中点F，AA1的中点G，根据题意得球心O在线段EF
上，设∠FGQ=θ，θ∈[0,π
2
)，设OE=x，根据|OQ|2=|OC|2=R2(R为球O的半径)，得x=1−cosθ∈[0,1)，进而可得R2=|OC|2=x2+1∈[1,2)，即可判断C是否正确；
对于A ：当点Q 在A ̂1A 的三等分点处，θ=π
6，进而根据上述运算，即可判断A 是否正确；
对于B ：当点Q 在FA
⏜上时，可知其截面为五边形，即可判断B 是否正确； 对于D ：根据等体积法求解即可．
本题考查空间几何体的外接球，直棱柱的截面图形，几何体的体积等，解题中需要空间想象能力，属于中档题．
13.【答案】11
【解析】解：利用随机数表，从第一行第3列开始，由左至右一次读取，即47开始读取，
在编号范围内的提取出来，可得36，33，26，16，11， 则选出来的第5个零件编号是11． 故答案为：11．
根据用随机数表法抽取样本数据的方法，抽取对应的数据即可． 本题考查了利用随机数表法抽取样本数据的应用问题，是基础题．
14.【答案】1
【解析】解：根据题意，函数f(x)={5x −m,x <1
2x ,x ≥1，
则f(4
5)=5×4
5−m =4−m ，
当m ≤3时，4−m ≥1，f(f(4
5))=f(4−m)=24−m =8，解可得m =1，符合题意， 当m >3时，4−m <1，f(f(45))=f(4−m)=5(4−m)−m =20−6m =8，解可得m =2，不符合题意， 综合可得：m =1， 故答案为：1
根据题意，求出f(4
5)的表达式，分m ≤3与m >3两种情况讨论，求出m 的值，综合可得答案．
本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数解析式的求法，属于基础题．
15.【答案】12
【解析】解：因为(x +3)6=[2+(x +1)]6=a 0+a 1(x +1)+⋯+a 5(x +1)5+a 6(x +1)6，
二项展开式的通项公式为T r+1=C 6r 26−r (x +1)r ， 当r =5时，T 6=C 65×2⋅(x +1)5， 所以a 5=2C 65=12．
故答案为：12．
将(x +3)6变形为[2+(x +1)]6，然后利用二项展开式的通项公式公式求解即可． 本题考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式的应用，解题的关键是在于将(x +3)6变形为[2+(x +1)]6，属于基础题．
16.【答案】√3
【解析】解：设△MF 1F 2的内切圆为圆O 1，与三边的切点分别为A ，B ，C ， 如图所示，设MA =MC =m ，AF 1=BF 1=n ，BF 2=CF 2=t ， 由双曲线的定义可得{(m +n)−(m +t)=2a n +t =2c ， 所以n =a +c ，
由此可知，在△MF 1F 2中，O 1B ⊥x 轴于点B ，同理可得O 2B ⊥x 轴于点B ， 所以O 1O 2⊥x 轴，
过圆心O 2作CO 1的垂线，垂足为D ，
因为∠O 2O 1D +∠BF 2C =180°，∠BF 2C +∠CF 2x =180°， 所以∠O 2O 1D 与直线l 的倾斜角相等，
因为R
1
R 2
=3，不妨设R 1=3，R 2=1，
则O 2O 1=3+1=4，O 1D =3−1=2， 在Rt △O 2O 1D 中，O 2D =√42−22=2√3， 所以tan∠O 2O 1D =O 2D
O 1
D =
2√32
=√3，
故直线l 的斜率为√3．
故答案为：√3．
设MA=MC=m，AF1=BF1=n，BF2=CF2=t，利用双曲线的定义可得n=a+c，作出图形，结合图形分析，可知∠O2O1D与直线l的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，求出tan∠O2O1D，即可得到直线l的斜率．
本题考查了直线与双曲线的位置关系，直线与圆的位置关系的综合应用，直线的斜率与倾斜角的关系的应用，解题的关键是将直线的倾斜角转化为∠O2O1D进行求解，考查了数形结合法的运用，逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)在△ABD中，AD=1，BD=√7，∠BAD=2π
3
，
由余弦定理BD2=AD2+AB2−2AD⋅AB⋅cos∠BAD，可得7=
1+AB2−2×1×AB×(−1
2
)，整理可得AB2+AB−6=0，
解得AB=2，(负值舍去)．
(Ⅱ)因为∠CBD=π
3
，BC=BD，
所以在△ABD中，由正弦定理BD
sin∠BAD =AD
sin∠ABD
，所以sin∠ABD=AD
BD
⋅sin∠BAD=
1√7×√3
2
=√21
14
，
因为∠ABD∈(0,π
3
)，
所以cos∠ABD=√1−sin2∠ABD=√1−21
196=5√7
14
，
所以sin∠ABC=sin(∠ABD+∠DBC)=sin∠ABDcosπ
3+cos∠ABDsinπ
3
=√21
14
×1
2
+
5√7 14×√3
2
=3√21
14
，
所以S△ABC=1
2AB⋅BC⋅sin∠ABC=1
2
×2×√7×3√21
14
=3√3
2
．
【解析】(Ⅰ)由已知利用余弦定理可得AB2+AB−6=0，解方程可得AB的值．(Ⅱ)由已知利用正弦定理可求sin∠ABD的值，结合∠ABD∈(0,π
3
)，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠ABD的值，利用两角和的正弦公式可求sin∠ABC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意，设等比数列{a n }的公比为q(q >1)，
则{a 1(1−q 3)
1−q =14
a 1q 2
=8
，
化简整理，得3q 2−4q −4=0， 解得q =2，或q =−2
3(舍去)． ∴a 1=
8q 2
=2，
∴a n =2n ，n ∈N ∗． (2)由题意及(1)，可知d n =a n+1−a n n+1
=2n
n+1，
∴
1d n
=
n+12n ，
∴T n =2
2+3
22+4
23+⋅⋅⋅+n
2n−1+
n+12n
，
1
2T n
=2
22+3
23+4
24+⋅⋅⋅+n
2n +n+1
2n+1， 两式相减，可得1
2T n =1+1
2+1
2+1
2+⋅⋅⋅+1
2−n+1
2
=1+12
2(1−1
2n−1)1−12−n +12n+1 =1+12(1−12n−1)−n +12
n+1
=3
2−
n+32n+1
，
∴T n =3−n+32n
．
【解析】(1)先设等比数列{a n }的公比为q(q >1)，然后根据已知条件列出关于首项a 1与公比q 的方程组，解出a 1与q 的值，即可计算出等比数列{a n }的通项公式；
(2)根据题意及等差数列的定义计算出公差d n 的不等式，进一步计算出数列{1
d n
}的通项公
式，再运用错位相减法即可计算出前n 项和T n ．
本题主要考查等比数列基本量的运算，以及数列求前n 项和．考查了方程思想，转化与化归思想，综合法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】解：(1)证明：连接BD 与AC 交于点N ，连接MN ，
∵AB//CD ，AB =2CD =4， ∴△CND∽△ANB ，
∴CD AB =CN AN =1
2， ∵
EM
MA =1
2
， ∴EM
MA =CN
AN ， ∴MN//EC ，
又MN ⊂面BDM ，CE ⊄面BDM ， ∴CE//面BDM ； (2)∵AE ⊥平面MBC ， ∴AE ⊥BM ，
∴M 是AE 的中点，取AB 的中点O ，则OE ⊥平面ABCD ，
以OD ，OA ，OE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图，
则B(0,−2,0),E(0,0,2√3),D(2,0,0),A(0,2,0),M(0,1,√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2√3),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,√3)，
设平面EBD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2√3z =0，则可取m
⃗⃗⃗ =(√3,−√3,1)，
同理可得平面BDM 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,√3)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗
|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |
=√3+√3+√3
√7⋅√5
=
3√105
35
， ∴二面角E −BD −M 的余弦值为3√105
35
．
【解析】(1)根据比例关系可得EM MA =CN
AN ，进而得到MN//EC ，由此即可得证； (2)建立空间直角坐标系，求出平面EBD 及平面BDM 的法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．
本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)记甲以3：2获胜为事件A ，
P(A)=P ×C 31×1
2×(1
2)2×2
3+(1−P)×C 32
(1
2)2×1
2×2
3=1
4
．
(2)∵甲以3：0获胜的概率为1
12， ∴p ×(1
2)2=1
12，解得p =1
3，
记甲的得分为X ，则X 的取值为0，1，2，3，
P(X =3)=1
3×1
2×1
2+2
3×1
2×1
2×1
2+1
3×1
2×1
2×1
2×2=1
4， P(X =2)=P(A)=1
4
， P(X =1)=2
3×C 31×(1
2)3×1
3+1
3C 32
(1
2)3×1
3=1
8，
P(X =0)=2
3×1
2×1
2+2
3×C 21
(1
2)3+1
3×(1
2)3=3
8
，
所以X 的分布列为：
∴E(X)=0×38
+1×18
+2×14
+3×14
=
118．
【解析】(1)由概率公式直接计算即可；
(2)甲的得分取值分别为0，1，2，3，分别计算出对应的概率，即可解出． 本题考查了统计与概率，分布列，数学期望，属于基础题．
21.【答案】解：(1)抛物线E ：y 2=2px(p >0)的焦点为F(p
2,0)，准线为l ：x =−p
2， 以F 为圆心的圆与l 相切，可得圆F 的方程为(x −p
2)2+y 2=p 2， 与抛物线y 2=2px 联立，可得x 2+px −3
4p 2=0， 解得x =p
2(−3
2p 舍去)，
可设M(p
2,p)，N(p
2,−p)，则|MN|=2p =4， 解得p =2，
则抛物线的方程为y 2=4x ；
(2)设AB 的方程为x =my +n ，可得P(n,0)， 由{y 2=4x
x =my +n
，可得y 2−4my −4n =0，
设A，B的纵坐标分别为y1，y2，则△=16m2+16n>0，
y1+y2=4m，y1y2=−4n，
则|AB|=√1+m2⋅|y1−y2|=√1+m2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=√1+m2⋅
√16m2+16n，
又AB的中点为(n+2m2,2m)，
线段AB的垂直平分线的方程为y−2m=−m(x−n−2m2)，
则Q(n+2m2+2,0)，|PQ|=2m2+2，
由|AB|=2|PQ|，可得2⋅√16m2+16n=4(m2+1)，
化为m2+n=m2+1，解得n=1，
即P(1,0)．
【解析】(1)由抛物线的焦点和准线方程，可得圆F的方程，联立抛物线的方程，求得M，N的坐标和|MN|，解得p，可得抛物线的方程；
(2)设AB的方程为x=my+n，可得P的坐标，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式可得|AB|，求得线段AB的垂直平分线方程，可得Q的坐标，求得|PQ|，解方程可得n，进而得到P的坐标．
本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当a=e时，f(x)=2x−(x+e)lnx，导数为f′(x)=2−lnx−x+e
x
=
1−lnx−e
x
，
可得曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为1−ln1−e=1−e，
切点为(1,2)，
则方程为y−2=(1−e)(x−1)，即为y=(1−e)x+1+e．
(2)显然a>0，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=2lna−lnx−x+a
x ，令g(x)=f′(x)=2lna−lnx−x+a
x
，则g′(x)=−1
x
+a
x2
，
当0<x<a时，g′(x)>0，当x>a时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减，
则g(x)有最大值且g(x)max=g(a)=lna−2．
当lna−2≤0，即0<a≤e2时，g(a)≤0，
于是g(x)≤0，即f′(x)≤0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(a)=0，则f(x)只有一个
零点．
当lna−2>0，即a>e2时，g(a)>0，g(1)=2lna−1−a，
令ℎ(a)=2lna−1−a(a>e2)，则ℎ′(a)=2
a −1=2−a
a
<0，
所以ℎ(a)在(e2,+∞).上单调递减，ℎ(a)<4−1−e2=3−e2<0，即g(1)<0．又g(a)>0，g(x)在(0,a)上单调递增，所以存在x1∈(1,a)，使得g(x1)=0，
当0<x<x1时，g(x)<0，当x1<x<a时，g(x)>0，
即当0<x<x1时，f′(x)<0，当x<x<a时，f′(x)>0．
另一方面，g(a2)=2lna−lna2−a2+a
a2=−a2+a
a2
<0，
又g(a)>0且g(x)在(a,+∞)上单调递减，所以存在x2∈(a,a2)，使得g(x2)=0，
当a<x<x2时，g(x)>0，当x>x2时，g(x)<0，
即当a<x<x2时，f′(x)>0，当x>x2时，f′(x)<0，
因此，当0<x<x1时，f′(x)<0，当x1<x<x2时，f′(x)>0，当x>x2时，f′(x)<0，即f(x)在(0,x1)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增，在(x2,+∞)上单调递减．
由于f(a)=0，且x1<a<x2，所以f(x)在(x1,x2)上有唯一零点，且f(x1)<0，f(x2)>0，又f(1)=2lna>0，所以f(x)在(1,x1)上有唯一零点，即f(x)在(0,x1)上有唯一零点，又f(a2)=2a2lna−(a2+a)lna2=−2alna<0，所以f(x)在(x2,a2)上有唯一零点，
即f(x)在(x2,+∞)上有唯一零点，
故当a>e2时，函数f(x)有三个零点．
综上，当0<a≤e2时，函数f(x)有一个零点；当a>e2时，函数f(x)有三个零点．
【解析】(1)求导数，可得切线的斜率，求出切点坐标，可得切线方程；
(2)对f(x)求导，g(x)=f′(x)，再对g(x)求导，利用导数求出g(x)的单调性，进而可得g(x)的最大值，对a分类讨论，判断f′(x)的符号，从而可得f(x)的单调性，利用零点存在定理即可求得函数的零点个数．
本题考查曲线在某点处的切线方程，函数零点个数的判断，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．。