2020-2021初三数学直角三角形的边角关系的专项培优 易错 难题练习题(含答案)含答案

2020-2021初三数学直角三角形的边角关系的专项培优易错难题练习题(含答案)
含答案
一、直角三角形的边角关系
1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG
＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______
分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上
的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．
【答案】553
【解析】
【分析】
如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．
【详解】
解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．
∵AM⊥CD，
∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，
∴四边形OQMP是矩形，
∴QM＝OP，
∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∵OP⊥CD，
∠COD＝30°，
∴∠COP＝1
2
∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3
∵∠AOC＝∠QOP＝90°，
∴∠AOQ＝∠COP＝30°，
∴AQ＝1
OA＝5（分米），
2
∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3
∵OB∥CD，
∴∠BOD ＝∠ODC ＝60°
在Rt △OFK 中，KO ＝OF•co s60°＝2（分米），FK ＝OF•sin60°＝23（分米）， 在Rt △PKE 中，EK ＝22EF FK -＝26（分米），
∴BE ＝10−2−26＝（8−26）（分米），
在Rt △OFJ 中，OJ ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ ＝23（分米），
在Rt △FJE′中，E′J ＝2263-（2）
＝26， ∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，
∴B′E′−BE ＝4．
故答案为：5＋53，4．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.
（1）求之间的距离
（2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.
【答案】（1）120米；（2）
35
. 【解析】
【分析】
（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==，
'30CE AA ==3，在Rt △ABC 中，求得DC=
33
AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，
在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ︒=6012
=120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，
则'60A E AC ==， '30
CE AA ==3，
在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=33
AC=203 ∴DE=503
∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE =60503=235
答：从无人机'A 上看目标D 的俯角的正切值是
235．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.
3．如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP ．
（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线．
（2）若BC=2，sin ∠BCP=，求点B 到AC 的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP 的周长．
【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20
【解析】
试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；
（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．
试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，
∵点D在⊙O上，
∴直线CP是⊙O的切线；
（2）如图，作BF⊥AC
∵AB=AC，∠ANC=90°，
∴CN=CB=，
∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，
∴sin∠CAN=，
∴
∴AC=5，
∴AB=AC=5，
设AF=x，则CF=5﹣x，
在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，
在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，
∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，
∴x=3，
∴BF2=25﹣32=16，
∴BF=4，
即点B到AC的距离为4．
考点：切线的判定
4．在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，
∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：
（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；
（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM=，CF=．
【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或1﹣
【解析】
【分析】
(1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME≌△NMF，可得BE=NF，
NC=NM=BM进而得出结论；
（2）①如图②时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得BE﹣CF=BM，
②如图③时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得CF﹣BE=BM；
(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中，，
可得Rt△ABM≌Rt△ANM，后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长，结合（1）（2）的结论对图①②③进行讨论可得CF的长.
【详解】
（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠C=45°，
∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，
∴BM=MN，
在四边形ABMN中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，
∵∠ENF=135°，，
∴∠BME=∠NMF，
∴△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵CN=CF+NF，
∴BE+CF=BM；
（2）针对图2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵NC=NF﹣CF，
∴BE﹣CF=BM；
针对图3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵NC=CF﹣NF，
∴CF﹣BE=BM；
（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，
∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），
∴AB=AN=+1，
在Rt△ABC中，AC=AB=+1，
∴AC=AB=2+，
∴CN=AC﹣AN=2+﹣（+1）=1，
在Rt△CMN中，CM=CN=，
∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1，
在Rt△BME中，tan∠BEM===，
∴BE=，
∴①由（1）知，如图1，BE+CF=BM，
∴CF=BM﹣BE=1﹣
②由（2）知，如图2，由tan∠BEM=，
∴此种情况不成立；
③由（2）知，如图3，CF﹣BE=BM，
∴CF=BM+BE=1+，
故答案为1，1+或1﹣．
【点睛】
本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解.
5．问题背景:
如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.
（1）实践运用：
如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．
（2）知识拓展：
如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
【答案】解：（1）2．
（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′．
∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE．
则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ．
在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10，
∴．
∴BE+EF的最小值为
【解析】
试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：
如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A．作直径AC′，连接C′E，
根据垂径定理得弧BD=弧DE．
∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°．∴∠AOE=90°．
∴∠C′AE=45°．
又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°．
∴∠C′=∠C′AE=45°．∴C′E=AE=AC′=2．
∴AP+BP的最小值是22
（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．
6．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶
端A 的仰角为60°，已知测角器CD 的高度为1.6米，请计算主教学楼AB 的高度．（3≈1.73，结果精确到0.1米） 【答案】22.4m
【解析】
【分析】
首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解．
【详解】
解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG =3，
∴FG =tan 3
AG AG AFG =∠， 在Rt △ACG 中，tan ∠ACG =
AG CG ， ∴CG =tan AG ACG
∠=3AG ． 又∵CG ﹣FG =24m ，
即3AG ﹣3
AG =24m ， ∴AG =123m ，
∴AB =123+1.6≈22.4m ．
7．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 、PC 与⊙O 分别相切于点A ，C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E ．
(1)求证：∠EPD=∠EDO ；
(2)若PC=3，tan∠PDA=3
4
，求OE的长．
【答案】（1）见解析；（25.【解析】
【分析】
（1）由切线的性质即可得证.（2）连接OC，利用tan∠PDA=3
4
，可求出CD=2,进而求得
OC=3
2
，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长.
【详解】
（1）证明：∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO=∠CPO, PA⊥AO，
∵DE⊥PO，
∴∠PAO=∠E=90°，
∵∠AOP=∠EOD，
∴∠APO=∠EDO，
∴∠EPD=∠EDO.
（2）连接OC，
∴PA=PC=3，
∵tan∠PDA=3
4
，
∴在Rt△PAD中，
AD=4，22
PA AD
+，∴CD=PD-PC=5-3=2，
∵tan∠PDA=3
4
，
∴在Rt△OCD中，
OC=3
2
，
22
OC CD
+
5
2
，
∵∠EPD=∠ODE，∠OCP=∠E=90°，∴△OED∽△DEP，
∴PD
DO =
PE
DE
=
DE
OE
=2，
∴DE=2OE,
在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=
2
5
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=
25
4
，
∴OE=5
2
．
【点睛】
本题考查了切线的性质；锐角三角函数；勾股定理和相似三角形的判定与性质，充分利用
tan∠PDA=3
4
，得线段的长是解题关键.
8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．
（1）如图1，求证：KE＝GE；
（2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝1
2
∠ACH，求证：CA∥FE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sin E＝3
5
，AK＝10，求CN
的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD是等腰三角形．证明见解析；（320
10 13
【解析】
试题分析：
（1）连接OG，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA可得∠AGO=∠OAG，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG，这样即可得到KE=GE；
（2）设∠FGB=α，由AB是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE可得
∠EKG=90°-α，这样在△GKE 中可得∠E=2α，由∠FGB=12∠ACH 可得∠ACH=2α，这样可得∠E=∠ACH ，由此即可得到CA ∥EF ；
（3）如下图2，作NP ⊥AC 于P ，
由（2）可知∠ACH=∠E ，由此可得sinE=sin ∠ACH=
35AH AC =，设AH=3a ，可得AC=5a ，CH=4a ，则tan ∠CAH=43
CH AH =，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC ，从而可得CK=AC=5a ，由此可得HK=a ，tan ∠AKH=
3AH HK =，AK=10a ，结合AK=10可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH 中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG 可得∠ACG=∠AKH ，
在Rt △APN 中，由tan ∠CAH=
43PN AP =，可设PN=12b ，AP=9b ，由tan ∠ACG=PN CP =tan ∠AKH=3可得CP=4b ，由此可得AC=AP+CP=13b =5，则可得b=513，由此即可在Rt △CPN 中由勾股定理解出CN 的长.
试题解析：
（1）如图1，连接OG ．
∵EF 切⊙O 于G ，
∴OG ⊥EF ，
∴∠AGO+∠AGE=90°，
∵CD ⊥AB 于H ，
∴∠AHD=90°，
∴∠OAG=∠AKH=90°，
∵OA=OG ，
∴∠AGO=∠OAG ，
∴∠AGE=∠AKH ，
∵∠EKG=∠AKH ，
∴∠EKG=∠AGE ，
∴KE=GE ．
（2）设∠FGB=α，
∵AB 是直径，
∴∠AGB=90°，
∴∠AGE =∠EKG=90°﹣α，
∴∠E=180°﹣∠AGE ﹣∠EKG=2α，
∵∠FGB=
12
∠ACH ， ∴∠ACH=2α，
∴∠ACH=∠E ，
∴CA ∥FE ． （3）作NP ⊥AC 于P ．
∵∠ACH=∠E ，
∴sin ∠E=sin ∠ACH=
35AH AC =，设AH=3a ，AC=5a ， 则224AC CH a -=，tan ∠CAH=43
CH AH =， ∵CA ∥FE ，
∴∠CAK=∠AGE ，
∵∠AGE=∠AKH ，
∴∠CAK=∠AKH ，
∴AC=CK=5a ，HK=CK ﹣CH=4a ，tan ∠AKH=
AH HK =3，2210AH HK a +=， ∵10 ∴1010a =
∴a=1．AC=5，
∵∠BHD=∠AGB=90°，
∴∠BHD+∠AGB=180°，
在四边形BGKH 中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，
∴∠ABG+∠HKG=180°，
∵∠AKH+∠HKG=180°，
∴∠AKH=∠ABG ，
∵∠ACN=∠ABG ，
∴∠AKH=∠ACN ，
∴tan ∠AKH=tan ∠ACN=3，
∵NP ⊥AC 于P ，
∴∠APN=∠CPN=90°，
在Rt △APN 中，tan ∠CAH=
43PN AP =，设PN=12b ，则AP=9b ， 在Rt △CPN 中，tan ∠ACN=
PN CP
=3， ∴CP=4b ，
∴AC=AP+CP=13b ，
∵AC=5，∴13b=5，
∴b=5
13
，
∴CN=22
PN CP
+=410b⋅=20
10 13
．
9．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，CG是⊙O的弦∠PCA＝∠ABC，CG⊥AB，垂足为D
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)求证：PA AD PC CD
=；
(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若sin∠P＝3
5
，CF＝5，求BE
的长．
【答案】（1）见解析；（2）BE=12．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB为⊙O的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC，于是得到结论；（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG，于是得到
∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的性质得到
CF=AF，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=3
5
，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R t△OCD中，
设OC=r，根据勾股定理得到方程r2=（r-4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB为
⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在R t△ABE中，由sin∠EAD=3
5，得到
BE
AB
＝
3
5
，于是求得
结论．【详解】
（1）证明：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠OCA=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠ABC；（2）解：∵AE∥PC，∴∠PCA=∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴弧AC=弧AG，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAF，
∴CF=AF，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD=∠P，
∵sin∠P=3
5
，
∴sin∠FAD=3
5
，
在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=3
5
，
∴FD=3，AD=4，∴CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，∴r2=（r﹣4）2+82，
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，在R t△ABE中，
∵sin∠EAD=3
5，∴
3
5
BE
AB
，
∵AB=20，
∴BE=12．
【点睛】
本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形．
10．已知：如图，直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．
(1)求AE的长及sin∠BEC的值；
(2)求△CDE的面积．
【答案】（1）2，sin∠BEC=3
5
；（2）
75
4
【解析】
【分析】
（1）如图，作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B，点A坐标，继而可得
∠A=∠B=45°，再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6，
2，
设AE=CE=x，则222-x，在Rt△CEF中，利用勾股定理求出x 的值即可求得答案；
（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，根据三角形面积公式则可得
S△CDE=S△AED=
2
4
AD×AE，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，利用勾股定理求
出y，继而可求得答案.
【详解】
（1）如图，作CF⊥BE于F点，
由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，
又∵点C是OB中点，
∴OC=BC=6，CF=BF=32，
设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，
在Rt△CEF中，CE2=CF2+EF2，即x2=（92-x）2+（32）2，解得：x=52，
故可得sin∠BEC=
3
5
CF
CE
，AE=52；
（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，
则S△CDE=S△AED=1
2
AD•EM=
1
2
AD×AEsin∠EAM=
1
2
AD•AE×sin45°=
2
4
AD×AE，
设AD=y，则CD=y，OD=12-y，
在Rt△OCD中，OC2+OD2=CD2，即62+（12-y）2=y2，
解得：y=15
2
，即AD=
15
2
，
故S△CDE=S△AED=
2
4
AD×AE=
75
4
．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.
11．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BE：AB=3：5，若2，
cos∠ACD= 4
5
，求tan∠AEC的值及CD的长．
【答案】tan ∠AEC=3, CD=12125 【解析】 解：在RT △ACD 与RT △ABC 中
∵∠ABC+∠CAD=90°, ∠ACD+∠CAD=90°∴∠ABC=∠ACD, ∴cos ∠ABC=cos ∠ACD=45 在RT △ABC 中，45
BC AB = 令BC=4k,AB=5k 则AC=3k 由35
BE AB = ,BE=3k 则CE=k,且CE=2 则k=2，AC=32 ∴RT △ACE 中，tan ∠AEC=
AC EC =3 ∵RT △ACD 中cos ∠ACD=45CD AC = ,，CD=12125
.
12．如图，Rt △ABC ，CA ⊥BC ，AC ＝4，在AB 边上取一点D ，使AD ＝BC ，作AD 的垂直平分线，交AC 边于点F ，交以AB 为直径的⊙O 于G ，H ，设BC ＝x ．
（1）求证：四边形AGDH 为菱形；
（2）若EF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式；
（3）连结OF ，CG ．
①若△AOF 为等腰三角形，求⊙O 的面积；
②若BC ＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．
【答案】（1）证明见解析；（2）y ＝
18x 2（x ＞0）；（3）①163
π或8π或（17+2）π；21．
【解析】
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；
（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得AE EF
AC BC
=解决问题；
（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；
②只要证明△CFG∽△HFA，可得GF
AF
=
CG
AH
，求出相应的线段即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，
∵AB是直径，AB⊥GH，
∴EG＝EH，
∴DG＝DH，
∴AG＝DG＝DH＝AH，
∴四边形AGDH是菱形．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°，
∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴AE EF
AC BC
=，
∴1
2
4
x y
x
=，
∴y＝1
8
x2（x＞0）．
（3）①解：如图1中，连接DF．
∵GH垂直平分线段AD，
∴FA＝FD，
∴当点D 与O 重合时，△AOF 是等腰三角形，此时AB ＝2BC ，∠CAB ＝30°， ∴AB ＝833， ∴⊙O 的面积为163
π． 如图2中，当AF ＝AO 时，
∵AB ＝22AC BC +＝216x +，
∴OA ＝2162
x +， ∵AF ＝22EF AE +＝2221182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴2162x +＝22
21182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得x ＝4（负根已经舍弃），
∴AB ＝42，
∴⊙O 的面积为8π．
如图2﹣1中，当点C 与点F 重合时，设AE ＝x ，则BC ＝AD ＝2x ，AB ＝2164x +，
∵△ACE ∽△ABC ，
∴AC 2＝AE•AB ，
∴16＝2164x +
解得x2＝217﹣2（负根已经舍弃），∴AB2＝16+4x2＝817+8，
∴⊙O的面积＝π•1
4
•AB2＝（217+2）π
综上所述，满足条件的⊙O的面积为16
3
π或8π或（217+2）π；
②如图3中，连接CG．
∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝5，
∴OH＝OA＝5
2
，
∴AE＝3
2
，
∴OE＝OA﹣AE＝1，
∴EG＝EH
2
5
1
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
21
2
，
∵EF＝1
8x2＝
9
8
，
∴FG＝21
2﹣
9
8
，AF22
AE EF
+
15
8
，AH22
AE EH
+
30
，
∵∠CFG＝∠AFH，∠FCG＝∠AHF，∴△CFG∽△HFA，
∴GF CG
AF AH
=，
∴219
28
1530 8
-
=
∴CG ＝
5﹣10， ∴
＝．
故答案为
【点睛】
本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。