高中数学选修1-1__01变化率与导数
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２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗 略 的刻画
作业：预习导数的概 念，体会怎样由函数 的平均变化率过渡到 瞬时变化率（即导数）
的？
❖ 当V从1增加到2时,气球半径增加了
显然 0.62>0.16
r(2) r(1) 0.16(dm)
气球的平均膨胀率为
r(2) r(1) 0.16(dm / L) 2 1
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小
思考 当空气容量从V1 增加到 V2时，气球的
平均膨胀率是多少？ 气球平均膨胀率= r(V2 ) r(V1)
第三章 导数及其应用
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等;
• 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
当自变量 x 从x1 变化到 x2时，函数值就从 y1变
化到 y2 ，
则 f (x2 ) f (x1)
x2 x1
称为函数 f (x) 从x1到x2的平均变化率. 若设 x x2 x1, y f (x2) f (x1) ,则平均变化率为
y f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
2
述其运动状态?
o
-20
-15
-10
-5
t5
平均速度：物体的运动位移与所用-2时间的比
称为平均速度。 -4
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
请计算0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
回答P73之探究
将两个具体问题抽 象到一般函数的平 均变化率。
平均变化率定义: 对于函数 y f (x)
高中数学选修1-1__01变化率与导数
例3：y f (x)从x x到x x的平均变化率 为3,那么f (x x) f (x - x) mx,则m ____
例1
2、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如 图所示，试分别计算从出生到第3个月与第 6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率
直线AB的 斜率
y f(x2)
f(x1) O
B f(x2)-f(x1)=△y
A x2-x1=△xx
x1
x2
平均变化率的 计算与应用
例1: 求函数 y sin x在0到 和 到 之间的平均变化率
632
例2: 求y x2在x x0附近的平均变化率
练习：若点 P（-1, y0）在函数 f (x) x2 x 图象上，求 f (x)在该点附近的平均变化 率
V2 V1
3 3V2 3 3V1
4 4
V2 V1
问：平均膨胀率能否精确描述膨 胀情况？
14
h
问题2 高台跳水
12
在高台跳水运动中,运
10
动员相对于水面的高度
h(单位：米)与起跳后的时
8
间t（单位：秒）存在函数
关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
6
4
如何用运动员在某些时
间段内的平均速度粗略地描
W(kg) 11
8.6 6.5
3.5
3
6
解 : 前3个月体重平均变化率为:
6.5 3.5 1(kg /月); 30
第6个月到第12个月体重平均变化率为:
11 8.6 0.4(kg /月) 12 6
9
12 T(月)
2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器
乙，t s后容器甲中水的体积V (t) 5 20.1t （单位：cm3 ），计算第一个10s内V的平 均变化率。
x
x2 x1
x
△x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
高中数学选修1-1__01变化率与导数
若设 x x2 x1, y f (x2) f (x1) ,则平均变化率为
y f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
x
x2 x1
x
它的几何意义是什么呢？观察函数 y f (x) 图象
从数学角度,如何描述这种现象呢?
体会实际问题数学化
气球体积: V (r) 4 r3
3 r(V ) 3 3V
4
半径的增量
气球平均膨胀率=
体积的增加量
❖ 当V从0增加到1时,气球半径增加了
r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为
r(1) r(0) 0.62(dm / L) 1 0
解 : 在时时[0,10]内的平均
变化率为: 5 20.110 5 20.10 13
/ s)
10 4
3、已知函数 f (x) 2x 1, g(x) 2x, 分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]
上 f (x)及 g(x) 的平均变化率。
由本例得到什么结论?
一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的 平均变化率就等于k.
5、已知函数 f (x) x2 ，分别
计算 f (x) 在下列区间上的平均变
化率：
（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]； 3
（3）[1，1.1] 2.1
（4）[1，1.001] 2.001
y
1
3
x
1、平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1，x 2 ]的平均变化率为
f (x1) f (x2 ) x1 x2
第一课时 函数的平均变化率
研究某个变量相对于另一个变量 变化在一个范围内的快慢程度．
一、研究课本问题1及问 题2，体会平均变化率及 其意义，思考怎样抽象到 一般函数？
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球.
思考:这一过程中， 哪些量在改变？
从吹气球的过程,可以发现,随着气球内 空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.
作业：预习导数的概 念，体会怎样由函数 的平均变化率过渡到 瞬时变化率（即导数）
的？
❖ 当V从1增加到2时,气球半径增加了
显然 0.62>0.16
r(2) r(1) 0.16(dm)
气球的平均膨胀率为
r(2) r(1) 0.16(dm / L) 2 1
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小
思考 当空气容量从V1 增加到 V2时，气球的
平均膨胀率是多少？ 气球平均膨胀率= r(V2 ) r(V1)
第三章 导数及其应用
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等;
• 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
当自变量 x 从x1 变化到 x2时，函数值就从 y1变
化到 y2 ，
则 f (x2 ) f (x1)
x2 x1
称为函数 f (x) 从x1到x2的平均变化率. 若设 x x2 x1, y f (x2) f (x1) ,则平均变化率为
y f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
2
述其运动状态?
o
-20
-15
-10
-5
t5
平均速度：物体的运动位移与所用-2时间的比
称为平均速度。 -4
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
请计算0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
回答P73之探究
将两个具体问题抽 象到一般函数的平 均变化率。
平均变化率定义: 对于函数 y f (x)
高中数学选修1-1__01变化率与导数
例3：y f (x)从x x到x x的平均变化率 为3,那么f (x x) f (x - x) mx,则m ____
例1
2、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如 图所示，试分别计算从出生到第3个月与第 6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率
直线AB的 斜率
y f(x2)
f(x1) O
B f(x2)-f(x1)=△y
A x2-x1=△xx
x1
x2
平均变化率的 计算与应用
例1: 求函数 y sin x在0到 和 到 之间的平均变化率
632
例2: 求y x2在x x0附近的平均变化率
练习：若点 P（-1, y0）在函数 f (x) x2 x 图象上，求 f (x)在该点附近的平均变化 率
V2 V1
3 3V2 3 3V1
4 4
V2 V1
问：平均膨胀率能否精确描述膨 胀情况？
14
h
问题2 高台跳水
12
在高台跳水运动中,运
10
动员相对于水面的高度
h(单位：米)与起跳后的时
8
间t（单位：秒）存在函数
关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
6
4
如何用运动员在某些时
间段内的平均速度粗略地描
W(kg) 11
8.6 6.5
3.5
3
6
解 : 前3个月体重平均变化率为:
6.5 3.5 1(kg /月); 30
第6个月到第12个月体重平均变化率为:
11 8.6 0.4(kg /月) 12 6
9
12 T(月)
2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器
乙，t s后容器甲中水的体积V (t) 5 20.1t （单位：cm3 ），计算第一个10s内V的平 均变化率。
x
x2 x1
x
△x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
高中数学选修1-1__01变化率与导数
若设 x x2 x1, y f (x2) f (x1) ,则平均变化率为
y f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
x
x2 x1
x
它的几何意义是什么呢？观察函数 y f (x) 图象
从数学角度,如何描述这种现象呢?
体会实际问题数学化
气球体积: V (r) 4 r3
3 r(V ) 3 3V
4
半径的增量
气球平均膨胀率=
体积的增加量
❖ 当V从0增加到1时,气球半径增加了
r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为
r(1) r(0) 0.62(dm / L) 1 0
解 : 在时时[0,10]内的平均
变化率为: 5 20.110 5 20.10 13
/ s)
10 4
3、已知函数 f (x) 2x 1, g(x) 2x, 分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]
上 f (x)及 g(x) 的平均变化率。
由本例得到什么结论?
一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的 平均变化率就等于k.
5、已知函数 f (x) x2 ，分别
计算 f (x) 在下列区间上的平均变
化率：
（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]； 3
（3）[1，1.1] 2.1
（4）[1，1.001] 2.001
y
1
3
x
1、平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1，x 2 ]的平均变化率为
f (x1) f (x2 ) x1 x2
第一课时 函数的平均变化率
研究某个变量相对于另一个变量 变化在一个范围内的快慢程度．
一、研究课本问题1及问 题2，体会平均变化率及 其意义，思考怎样抽象到 一般函数？
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球.
思考:这一过程中， 哪些量在改变？
从吹气球的过程,可以发现,随着气球内 空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.