【九校联考】2016年豫南九校联盟高三理科第一次联考数学试卷

【九校联考】2016年豫南九校联盟高三理科第一次联考数学试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知集合A=x x2≥16，B=m，若A∪B=A，则实数m的取值范围是
A. −∞,−4
B. 4,+∞
C. −4,4
D. −∞,−4∪4,+∞
2. 已知复数z的共扼复数z=1−i
1+2i
，则复数z的虚部是
A. 3
5B. 3
5
i C. −3
5
D. −3
5
i
3. 若f x=
1
3
x
,x≤0
log3x,x>0
，则f f1
9
=
A. −2
B. −3
C. 9
D. 1
9
4. 若a n为等差数列，S n是其前n项和，且S11=22π
3，b n为等比数列，b5⋅b7=π2
4
，则
tan a6+b6的值为
A. 3
B. ±3
C. 3
3D. ±3
3
5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是
A. 19
20B. 20
21
C. 21
22
D. 22
23
6. 已知点P是抛物线x2=4y上的动点，点P在x轴上的射影是Q，点A的坐标是8,7，则 PA +PQ 的最小值为
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
7. 已知x−y+1≥0,
7x−y−7≤0,
x≥0,y≥0
表示的平面区域为D，若任意x,y∈D，2x+y≤a为真命题，则实数a
的取值范围是
A. 5,+∞
B. 2,+∞
C. 1,+∞
D. 0,+∞
8. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积是
A. 3+ 2+ 3
B. 2
3
C. 2+ 2+ 3
D. 5+ 2
9. 已知双曲线 M :
x 2a
−
y 2b =1 a >0,b >0 的一个焦点到一条渐近线的距离为
2
3
c （c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率 e 为 A. 7
3
B. 3 72
C. 3 77
D. 3 7
10. 四面体的一条棱长为 x ，其余棱长为 3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球
的表面积为 A.
27π2
B. 9π
2
C.
15π2
D. 15π
11. 设 x ,y ∈R ，则 3−4y −cos x 2+ 4+3y +sin x 2 的最小值为
A. 4
B. 16
C. 5
D. 25
12. 若函数 f x 的导数是 fʹ x =−x ax +1 a <0 ，则函数 f x 的单调减区间是
A. 1
a
,0
B. −∞,0 , 1
a
,+∞
C. 0,−1
a
D. −∞,0 , −1
a ,+∞
二、填空题（共4小题；共20分） 13. 设命题 p ：∃x 0∈ 0,+∞ ，3x 0<x 03
，则命题 ¬p 为 ．
14. 已知 a =
∫0π
sin x
+cos x d x ，则二项式 a x x
6
的展开式中含 x 2
项的系数是 ． 15. 已知直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90∘，AD =2，BC =1，P 是腰 DC 上的动点，则 PA +3PB 的最小值为 ．
16. 已知函数 f x = ln −x ,x <0x 2−4x +3,x ≥0
，若 H x = f x 2−2bf x +3 有 8 个不同的零点，则
实数 b 的取值范围为 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 如图，在 △ABC 中，点 D 在 BC 边上，∠CAD =π
4
，AC =7
2
，cos ∠ADB =−
210
．
（1）求sin C的值；
（2）若BD=5，求△ABD的面积．
18. 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N800,502的随机变量．记一天中从甲地
去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0．
参考数据：若X−Nμ,σ2，则Pμ−σ<X≤μ+σ=0.6826，Pμ−2σ<X≤μ+2σ=
0.9544，Pμ−3σ<X≤μ+3σ=0.9974．
（1）求p0的值；
（2）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、 B型车各多少辆?
19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，
BC=42，PA=2，点M在PD上．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）若二面角M−AC−D的大小为45∘，求BM与平面PAC所成角的正弦值．
20. 如图，已知椭圆W:x2
a +y2
b
=1a>b>0的离心率为3
2
，其左顶点A在圆O:x2+y2=16上．
（1）求椭圆W的方程；
（2）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q是否存在点P，使得PQ
AP
=3 ?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
21. 已知函数f x=2x−1− x+2．
（1）求不等式f x>0的解集；
（2）若存在x0∈R，使得f x0+2a2<4a，求实数a的取值范围．
22. 在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l:x=2+t cosα,
y=3+t sinα（t为参数）与曲线
C:x=2cosθ,
y=sinθ（θ为参数）相交于不同的两点A，B．
（1）若α=π
3
，求线段AB的中点M的坐标；
（2）若PA ⋅ PB=OP2，其中P 2,3，求直线l的斜率．
23. 已知函数f x= x−3．
（1）若不等式f x−1+f x<a的解集为空集，求实数a的取值范围；
（2）若 a <1， b <3，且a≠0，判断f ab
a 与f b
a
的大小，并说明理由．
答案
第一部分
1. D 【解析】A∪B=A⇔B⊆A，集合A=−∞,−4∪4,+∞，所以m≤−4或者m≥4，
即m的取值范围是−∞,−4∪4,+∞．
2. A 【解析】z=1−i
1+2i =1−i1−2i
1+2i1−2i
=−1−3i
5
=−1
5
−3
5
i，
所以复数z=−1
5+3
5
i，z的虚部是3
5
．
3. C 【解析】f1
9=log31
9
=−2，f f1
9
=f−2=1
3
−2
=9．
4. C 【解析】因为a n为等差数列，
所以S11=11a1+a11
2=11a6=22π
3
，
所以a6=2π
3
．
因为b n为等比数列，
所以b5⋅b7=b62=π2
4
，
即b6=±π
2
．
所以tan a6+b6=tanπ
6=3
3
或tan a6+b6=tan7π
6
=3
3
．
5. C
【解析】根据程序框图执行程序，
第一次执行循环体，S=1
1×2
，n=1≤20，n=2；
第二次执行循环体，S=1
1×2+1
2×3
，n=2≤20，n=3；
⋯；
以此类推，可知该程序框图的输出结果为数列1
n n+1
的前21项和，即
S=
1
1×2
+
1
2×3
+⋯+
1
21×22
=1−1
+
1
−
1
+⋯+
1
−
1
=21
.
6. C 【解析】根据抛物线的方程和点A的坐标可知，点A在抛物线外．根据抛物线的定义，可得抛物线的准线为y=−1，抛物线的焦点为F0,1，PQ = PF −1，所以 PA +PQ = PA + PF −
1≥ AF −1=10−1=9．
7. A 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图，
设z=2x+y作直线y=−2x并平移．
当直线y=−2x+z经过点A4
3,7
3
时，z取得最大值5．
结合图形可知，对于任意x,y∈D，2x+y≤a均成立时，
所以a的取值范围是5,+∞．
8. C 【解析】根据三视图可知该几何体为如图所示的三棱锥P−ABC，
其中PA⊥平面ABC，三角形ABC为等腰直角三角形，且PA=AC=2，AB=BC=2，边AC上的高为1．
在Rt△PAB中，PB=6，S△PAB=1
2
×2×2=2；
在Rt△PAC中，PC=2S△PAC=1
2
×2×2=2；
在△PBC中，PB2+BC2−PC2=0，
所以△PBC为直角三角形，S△PBC=1
2
×2×6=3．
所以该几何体的侧面积是2+2+3．
9. C 【解析】因为双曲线x2
a2−y2
b2
=1的焦点坐标为±c,0，渐近线方程为y=±b
a
x，
所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
b2+a2=b=2
3
c，
所以a= c2−b2=7
3
c，
所以双曲线的离心率e=c
a =37
7
．
10. D
【解析】设题中的四面体为ABCD，其外接球半径为R，四面体ABCD在平面BCD上的高为ℎ．如图所示，
在四面体 ABCD 中，BC =x ，AB =AC =AD =BD =CD =3．取 BC 的中点 E ，连接 AE ，DE ，则 AE =DE = 32− x 2 2
，AE ⊥BC ，DE ⊥BC ， 所以 BC ⊥平面ADE ．
V ABCD
=1
S △ADE ⋅ BE +EC =1
3
S △ADE ⋅BC =1× 1×3× 32− x 2− 3
2 x =1
x 27−x 2≤1×x 2+27−x 2=27,
当且仅当 x = 27−x 2 时取等号，即四面体 ABCD 的体积的最大值是 27
8，此时 BC 2=272
，
cos ∠BDC =1
4，sin ∠BDC =
15
4
， △BDC 的外接圆的半径是 r =
BC 2sin ∠BDC =
2 5
由 1
3× 1
2×3×3sin ∠BDC ℎ=27
8
，得 ℎ=15
=3 155
．
作 AF ⊥平面BCD 于点 F ，注意到 AB =AC =AD ，
所以点 F 为 △BCD 的外心．
易知四面体 ABCD 外接球的球心 O 在平面 BCD 上的射影是 F ． 在 Rt △BOF 中，OB 2=OF 2+BF 2， 即 R 2= ℎ−R 2+r 2， 所以 R =
15
2
，因此四面体 ABCD 外接球的表面积等于 15π． 11. B 【解析】因为 3−4y −cos x 2+ 4+3y +sin x 2= 3−4y −cos x 2+ 4+3y +sin x 2 2
，类比两点间的距离公式，可知 3−4y −cos x 2+ 4+3y +sin x 2 表示直线 3x +4y −25=0 上的点到圆 x 2+y 2=1 上点的距离的平方．
如图，过原点 O 作直线 3x +4y −25
=0 的垂线段，垂足为 P ，
则 OP =
32+42
=5，直线 OP 与圆的交点分别为 M ，N ，显然 3−4y −cos x 2+ 4+3y +
sin x 2 的最小值为 PM 2= OP − OM 2= OP −1 2=16． 12. C 第二部分
13. ∀x ∈ 0,+∞ ，3x ≥x 3 14. −192
【解析】因为 ∫0π
sin x +cos x d x = −cos x +sin x 0π=2，所以 a =2．
所以 T r +1=C 6r
2 x
6−r ⋅ x
r
=
C 6
r
⋅26−r −1 r
x 6−r −r
，
令
6−r 2
−r 2
=2，所以 r =1，所以 x 2 项的系数为 C 61
⋅25⋅ −1 1=−192．
15. 5
【解析】建立如图所示的坐标系，设 DC =ℎ，则 A 2,0 ，B 1,ℎ ．
设 P 0,y 0≤y ≤ℎ ，则 PA = 2,−y ，PB = 1,ℎ−y ，所以 PA +3PB = 25+ 3ℎ−4y 2≥ 25=5．
16. 3,2
【解析】作出函数 f x 的图象如图所示．
可知当 f x 的取值在 0,3 上时，都有 4 个不同的 x 值与之对应．
再结合题目要求“H x = f x 2−2bf x +3 有 8 个不同的零点”，可知方程 m 2−2bm +3=0 有两个不同的实数根 m 1，m 2，且满足 m 1,m 2∈ 0,3 ．
所以
−2b2−4×3>0,
0<b<3,
0−2b×0+3>0,
9−2b×3+3≥0,
解得3<b≤2．
第三部分
17. （1）因为cos∠ADB=−2
10
，
所以sin∠ADB=72
10
．
又因为∠CAD=π
4
，
所以∠C=∠ADB−π
4
．
所以
sin C=sin ∠ADB−
π
=sin∠ADB⋅cos π
−cos∠ADB⋅sin
π
=72
10
×
2
2
+
2
10
×
2
2
=4 5 .
（2）在△ACD中，由AD
sin C =AC
sin∠ADC
，得AD=AC⋅sin C
sin∠ADC
=
7
2
×4
5
72
=22．
所以
S△ABD=1
2
AD⋅BD⋅sin∠ADB
=1
×22×5×
72
=7.
18. （1）由于随机变量X服从正态分布N800,502，故μ=800，σ=50，P700<X≤900=0.9544，
由正态分布的对称性，得p0=P X≤900=P X≤800+P800<X≤900=1
2+1
2
P700<X≤
900=0.9772．
（2）设 A型车、 B 型车的数量分别为x，y，
则相应的营运成本为1600x+2400y．
依题意，x，y还需满足x+y≤21，y≤x+7及P X≤36x+60y≥p0．由（1）知，p0=P X≤900，
故P X≤36x+60y≥p0等价于36x+60y≥900．
于是问题等价于求满足约束条件
x+y≤21,
y≤x+7,
36x+60y≥900, x,y≥0,x,y∈N,
使目标函数z=1600x+2400y达到最小的x，y．作可行域如图所示，
可行域的三个顶点坐标分别为P5,12，Q7,14，R15,6．
最小，即z取得最小值．故应配备由图可知，当直线z=1600x+2400y过点P时在y轴上截距z
2400
A型车5辆，B型车12辆．
19. （1）取BC的中点E，连接AE，
则AD=EC，AD∥EC，
所以四边形AECD为平行四边形，
因为AD⊥CD，
所以AE⊥BC，
又AE=BE=EC=22，
所以∠ABC=∠ACB=45∘，
所以AB⊥AC，
又AB⊥PA，AC∩PA=A，
所以AB⊥平面PAC，
所以AB⊥PC．
（2）如图，建立空间直角坐标系，
则A0,0,0，B 2−20，C 220，P0,0,2，D 0,20，
设PM=λPD=0,22λ,−2λ 0<λ<1，易得M 0,22λ,2−2λ ，
设平面AMC的一个法向量为n1=x,y,z，
则n1⋅AC=22x+22y=0,
n1⋅AM=22λy+2−2λz=0,
令y=2，得x=−2，z=2λ
λ−1
，
即平面AMC的一个法向量为n1= − 2,2,2λ
λ−1
，又平面ACD的一个法向量为n2=0,0,1，
所以cos n1,n2=n1 ⋅n2
n1⋅ n2=
2λ
λ−1
4+
λ−1
2
=cos45∘，
解得λ=1
2
，即M 0,2,1，BM= −22,32,1，而AB=22,−22,0是平面PAC的一个法向量，设直线BM与平面PAC所成的角为θ，
则sinθ=cos BM,AB=
4×33=53
9
，
故直线BM与平面PAC所成的角的正弦值为53
9
．
20. （1）因为椭圆W的左顶点A在圆O:x2+y2=16上，令y=0，得x±4，
所以a=4，又离心率为3
2
，
所以e=c
a =3
2
，
所以c=23，
所以b2=a2−c2=4，
所以椭圆W的方程为x 2
16+y2
4
=1．
（2）方法一：设点P x1,x2，Q x2,y2，设直线AP的方程为y=k x+4，
与椭圆方程联立，得y=k x+4, x2
16
+y2
4
=1.
化简得1+4k2x2+32k2x+64k2−16=0，因为−4为上面方程得一个根，
所以x1+−4=−32k2
1+4k
，
所以x1=4+−32k2
1+4k =4−16k2
1+4k
，
所以AP=81+k2
1+4k2
．
因为圆心到直线AP的距离d=
k2+1
，
所以AQ=22=216
1+k2=
1+k2
，
因为 PQ
AP = AQ − AP
AP
= AQ
AP
−1，
所以 PQ
AP =
8
1+k2
81+k2
2
1=1+4k2
1+k2
−1=3k2
1+k2
=3−3
1+k2
，
显然3−3
1+k2
≠3，
所以不存在点P，使得 PQ
AP
=3．
方法二：设点P x1,y1，Q x2,y2，设直线AP的方程为x=my−4，
与椭圆方程联立得x=my−4, x2
16
+y2
4
=1.，
化简得到m2+4y2−8my=0，
由Δ=64m2>0得m≠0，
显然y1=0和y2=8m
m2+4
是上面方程得两个根，
因为AP=2y2−0=81+m2 m
m+4
，
圆心到直线AP的距离d=
1+m2
，
所以AQ=22=216m2
1+m2=
1+m2
，
因为 PQ
AP = AQ − AP
AP
= AQ
AP
−1，
代入得到 PQ
AP =1+m2
81+m2 m
2
1=m2+4
1+m2
−1=3
1+m2
，
若3
1+m2
=3，
则m=0，与m≠0矛盾，
所以不存在点P，使得 PQ
AP
=3．
方法三：假设存在点P，使得 PQ
AP
=3，
则 AQ
AP =4，得 y Q
y P
=4，
显然，直线AP的斜率不为0，
设直线AP的方程为x=my−4，由x=my−4, x2
16
+y2
4
=1.
得m2+4y2−8my=0，由Δ=64m2>0得m≠0，所以y P=8m
m2+4
，
同理可得y Q=8m
m2+1
，
由 y Q
y P =4得m2+4
m2+1
=4，
则m=0，与m≠0矛盾，
所以不存在点P，使得 PQ
AP
=3．
21. （1）函数f x=2x−1− x+2=−x+3,x<−2
−3x−1,−2≤x≤1
2
x−3,x>1
2
，
令f x=0，求得x=−1
3
或x=3，
故不等式f x>0的解集为 x x<−1
3
,或x>3．
（2）若存在x0∈R，使得f x0+2a2<4a，即f x0<4a−2a2有解，
由（1）可得f x的最小值为f1
2=−3×1
2
−1=−5
2
，故−5
2
<4a−2a2，
求得−1
2<a<5
2
．
22. （1）将曲线C的参数方程化为普通方程是x2
4
+y2=1．
当α=π
3时，直线l的方程为
x=2+1
2
t,
y=3+3
2
t
（t为参数），
代入曲线C的普通方程x 2
4
+y2=1，得13t2+56t+48=0．
设直线l上的点A，B对应的参数分别为t1，t2，点M对应的参数为t0，
则t0=t1+t2
2=−28
13
，所以点M的坐标为12
13
,−3
13
．
（2）将x=2+t cosα,
y=3+t sinα代入曲线C的普通方程
x2
4
+y2=1，得cos2α+4sin2αt2+
83sinα+4cosα t+12=0．
因为PA ⋅ PB=t1t2=12
cosα+4sinα
，OP2=7，
所以12
cosα+4sinα=7，得tan2α=5
16
．
由于Δ=32cosα 23sinα−cosα >0，故tanα=5
4
．
所以直线l的斜率为5
4
．
23. （1）因为f x−1+f x= x−4+ x−3≥ x−4+3−x =1，不等式f x−1+f x<a 的解集为空集，
所以1≥a，
所以实数a的取值范围是−∞,1．
（2）f ab
a >f b
a
，理由如下：
要证f ab
a >f b
a
，只需证 ab−3> b−3a ，即证ab−32>b−3a2．
又
ab−32−b−3a2=a2b2−9a2−b2+9
=a2−1b2−9.
因为 a <1， b <3，
所以ab−32−b−3a2>0，
所以原不等式成立．。