湖南省娄底市涟源办事处中学2019年高三数学文模拟试题含解析

湖南省娄底市涟源办事处中学2019年高三数学文模拟
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知、，是坐标原点，动点满足＝,并且
，则实数的取值范围是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
答案：B
2. 在区间上的最大值是（）
A. B.0 C.2 D.4
参考答案：
C
略
3. 已知点A（1，0），若曲线G上存在四个点B，C，D，E．使△ABC与△ADE都是正三角形，则称曲线G为“双正曲线”．给定下列四条曲线：
①4x+3y2=0；②4x2+4y2=1；③x2+2y2=2；④x2－3y2=3
其中，“双正曲线”的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
B
4. 椭圆的左焦点为F，右顶点为A，以FA为直径的圆经过
椭圆的上顶点，则椭圆的离心率为（）
B. C. D.
参考答案：
B
5. 将函数的图像向右平移个单位，得到函数g(x)的图像，则下列说法不正确的是
A．g(x)的周期为πB．
C．的一条对称轴D．g(x)为奇函数
参考答案：
C
6. 向量，，若，的夹角为钝角，则t的范围是（）
A. B. C. 且 D.
参考答案：
C
【分析】
若，的夹角为钝角，则且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.
【详解】若，的夹角为钝角，则且不反向共线，
，得.
向量，共线时，，得.此时.
所以且.
故选C.
【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽
视反向共线时，属于易错题.
7. 已知为的外心，。

若
，则的最小值为（）
A、1
B、
C、
D、2
参考答案：
D
略
8. 直线与圆相交于、两点，为坐标原点，则
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
9. 已知集合，，则
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
【命题意图】本小题主要考查解不等式、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．
【试题简析】因为，，所以，故选D.
【错选原因】错选A：误求成；
错选B：集合解错，解成；
错选C：集合解错，解成.
10. 设，若函数，有大于零的极值点，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即
有正根。

当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为.
答案：B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列满足：，若，则．
参考答案：
320
12. 过点M（m，0）（m＞0）作直线l，与抛物线y2=4x有两交点A，B，F是抛物线的焦点，若，则m的取值范围是．
参考答案：
（3﹣2，3+2）
【考点】9V：向量在几何中的应用．
【分析】设AB方程为x=ay+m，代入抛物线方程，利用根与系数的关系得出A，B的坐标关系，根据恒成立得出关于m的不等式，从而解出m的范围．
【解答】解：设直线AB的方程为x=ay+m，
代入抛物线方程得y2﹣4ay﹣4m=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），又F（1，0），
∴=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2）
由根与系数的关系得：y1y2=﹣4m，y1+y2=4a，
∴x1x2=（ay1+m）（ay2+m）=a2y1y2+am（y1+y2）+m2=﹣4a2m+4a2m+m2=m2，
x1+x2=a（y1+y2）+2m=4a2+2m，
∴=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2=m2﹣6m﹣4a2+1＜0，
∴m2﹣6m+1＜4a2恒成立，
∴m2﹣6m+1＜0，
解得3﹣2＜m＜3+2．
故答案为（3﹣2，3+2）．
13. 已知圆（x－2）2+ y2=1经过椭圆（a>b>0）的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e=____．
参考答案：
【知识点】椭圆的几何性质H5
解析：因为圆（x－2）2+ y2=1与x轴的交点坐标为(1,0)、(3,0)，所以
c=1,a=3,.
【思路点拨】由椭圆的标准方程可知椭圆的焦点在x轴，即可得到a,c值，利用公式求离心率即可.
14. 若x，y满足约束条件则的最小值为__________．
参考答案：
2
【分析】
先由约束条件作出可行域，再由目标函数可化为，因此当直线在轴上截距最小时，取最小，结合图像即可求出结果.
【详解】由约束条件作出可行域如下：
因为目标函数可化为，
因此当直线在轴上截距最小时，取最小.
由图像易得，当直线过点时，在轴上截距最小，
即.
故答案为2
【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.
15. 设奇函数在（0，）上为增函数，且＝0，则不等式的解集为 .
参考答案：
(－1，0)（0，1）
16. 若正四棱锥的底面边长为2cm，体积为8cm3，则它的侧面积为．参考答案：
4cm2
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据体积公式求出高h=3，利用其性质求出侧面的高h′==，再利用三角形的面积公式即可．
【解答】解：∵正四棱锥的底面边长为2cm，
∴底面面积为8cm2，
∵体积为8cm3，
∴高h=3，
∴侧面的高h′==，
∴它的侧面积为4×2×=4
故答案为：cm2
【点评】本题考察了空间几何体的体积，面积问题，属于计算题，难度不大．
17. P是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠PF1 F2=60°，∠PF2F1=30°，则椭圆的离心率为．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知某企业的近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：
（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？
（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；
（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．
相关公式： ==， =﹣x．
参考答案：
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】（1）结合图象读出结论即可；（2）根据图象累加判断结论即可；（3）分别求出对应的系数，的值，代入回归方程即可．
【解答】解：（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高．…
（2）第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28（百万元），…
第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31（百万元），…
第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41百万元），…
所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．…
（3）∵，，1×4+2×4+3×6+4×6=54，
∴，…
∴，…
∴，…
当x=8时，（百万元），
∴估计8月份的利润为940万元．…
19. 已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且=m，求证：a+2b+3c≥9．
参考答案：
【考点】带绝对值的函数；不等式的证明．
【分析】（Ⅰ）由条件可得 f（x+2）=m﹣|x|，故有m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即
|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．
（Ⅱ）根据a+2b+3c=（a+2b+3c）（）=1++++1++++1，利用基本不等式证明它大于或等于9．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，故 f（x+2）=m﹣|x|，由题意可得m ﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，
即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．
（Ⅱ）由a，b，c∈R，且=1，
∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（）
=1++++1++++1
=3++++++≥3+6=9，当且仅当======1时，等号成立．
所以a+2b+3c≥9
20. 如图,两点有5条连线并联,它们在单位时间能通过的信息量依次为.现从
中任取三条线且记在单位时间内通过的信息总量为. (1)写出信息总量的分布列; (2)求信息总量的数学期望.
参考答案：
18.(1)由已知,的取值为
. 2分
, ,
,
8分
的分布列为:
9分
(2) 11分
12分
略
21. （本小题满分1５分）已知抛物线C:
上横坐标为4
的点到焦点的距离
为5.
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线C交于两点，，且
（，且为常数）.过弦AB的中点M作平行于轴的直线交抛物线于点D，连结AD、BD得到.
（1）求证：；
（2）求证：的面积为定值.
参考答案：
22. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
在△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，且A, B, C成等差数列．
（1）若，且，求的值；
（2）若，求的取值范围．
参考答案：
解：（1）A、B、C成等差数列，∴
又，∴， (2)
分
由得，，
∴①………………………4分
又由余弦定理得
∴，
∴②………………………6分
由①、②得，
……………………………………8分
（2）
……………………………………11分
由（1）得，∴，
由且，可得故，
所以，
即的取值范围为
．…………………………14分略。