甘肃省天水一中高三数学普通高校招生网上阅卷模拟考试(理)试卷

2009年普通高校招生网上阅卷模拟考试试题
理 科 数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题用黑色墨水的签字笔或铅笔直接答在答题卡上。

答在试题上无效。

3．考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率P n （k ）=k n k k n P P C --)1(
一、选择题：本大题共12小题，每小5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若)(,1)(23i f x x x x f 则-+-== （ ）
A ．i 2
B ．0
C ．—i 2
D ．—2 2．已知3
cos ,(,)5
2
a π
απ=-∈，则tan α等于
（ ）
A ．
4
3 B ．4
3-
C ．
3
4 D ．3
4-
3.在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD = （ ）
A ．
2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c
D ．1
233
+b c 4．函数()ln |1|f x x =-的单调递减区间为 （ ） A ．[)+∞,1 B ．),1(+∞ C ．（0，1）
D ．)1,(-∞
5．6
221⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+x x 的二项展开式中的常数项为
（ ）
A ．
16
15 B ．
16
3 C ．
2
15 D ．
4
15
6．已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）
A ．最小正周期为π的偶函数
B ． 最小正周期为
2π
的奇函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ． 最小正周期为2
π
的偶函
数
7．若P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动 一周，O 、P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的 函数关系如图，那么点P 所走的图形是 （ ）
A B C D
8．．设1+（1+x ）2
+（1+2x ）2
+（1+3x ）2
+…+（1+nx ）2
=a 0+a 1x +a 2x 2
，则1
2
0lim a a
n ∞→的值是（ ）
A ．0
B ．2
1
C ．2
D ．1
9. 已知直线l 、m,平面α、β，则下列命题中假命题是 （ ）
A ．若α∥β，l ⊂α，则l ∥β
B ．若α∥β，l ⊥α，则l ⊥β
C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m
D ．若α⊥β，α⋂β=l ，m ⊂α,m ⊥l ,则m ⊥β 10．从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个位数上数字相同的四位数，
这样的四位数的个数共有 （ ）
A ．27
B ．36
C ．45
D ．54
11．已知函数)2008(,4)2008
1
(,2log log )(32f f x b x a x f 则且=++=的值为 （ ）
A ．2
B ．0
C ．—2
D ．—4
12．设抛物线2
4y x =的焦点为F ，过点M (1,0)-的直线在第一象限交抛物线与A B 、，使
0AF BF ⋅=,则直线AB 的斜率k =
（ ）
A ．2±
B ．2
2±
C ．3±
D ．3±
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中横线上。

13．在等比数列5142{},15,6,1,n a a a a a q -=-=>中若且公比则q = 。

14
2
1x +≥的解集为 ．
15.若圆22:()(1)1()C x a y a y -+-=为正常数被轴截得弦所对圆心角为
2
π
，则正实数a = 。

16．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意,a b R ∈满足下列关系式：
()()(),(2)2f a b af b bf a f ⋅=+=，(2)()n n f a n N n +=∈，(2)()2
n n n f b n N +
=∈，考察下列结论：①(0)(1)f f = ②()f x 为偶函数 ③数列{}n a 为等比数列 ④数列{}n b 为等差数列，其中正确的结论是：___________
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分） 在ABC ∆中，边a ﹑b ﹑c 的对角为A ﹑B ﹑C;且4,,3
b A π
==
面积s =（1）求a 边的长度； （2）求
2sin (
)cos 244cot tan
22
A B C C π
+++的值
18．（本小题满分12分）
如图，在边长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中M N P Q 、、、分别为
111,,,AD CD BB C D 的中点。

（1）求点P 到平面MNQ 的距离；
（2）求直线PN 与平面MPQ 所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
某工厂在试验阶段大量生产一种零件。

这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各
项技术指标达标与否互不影响。

若有且仅有一项技术指标达标的概率为5
12
，至少一项技
术指标达标的概率为11
12
．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.
（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？
（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？ （Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求E ξ与D ξ. 20．（本小题满分12分）
{}项和，
的前为数列已知n a S n n a →=()1,n S , b →
=(
)1
22,1++-n n a ,a b →→
⊥
（1）求证：⎭⎬⎫
⎩⎨
⎧n n a 2为等差数列； （2）若n n a n n b 1
2011
+-=,问是否存在0n , 对于任意k （k N *∈），不等式0n k b b ≤成立.
21．（本小题满分12分） 已知x e a x x f )()(2-=
（1）若a =3,求f (x )的单调区间和极值；
（2）若的两个不同的极值点，为)(,21x f x x 且211222121212()()4x x x x e f x e f x e x x x x +-≥-， 若3b a a a a f +-+
<32
3)(2
3
恒成立，求.的取值范围实数b 22．（本小题满分12分）
如图，已知点(1
0)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点， 过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且⋅=⋅
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，
交直线l 于点M ．
（1）已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求证:12λλ+=0； （2）求||||MB MA ⋅的最小值．
理科数学参考答案
一、选择题1—5 BDADA 6—12 ACDCB BB 二、填空题13．2 14．}1|{≥x x 15．2
2
16．①③④ 三、17.解：在ABC ∆中
1
1sin 42
2S bc A c =
=⨯⨯ 2c =
2分
a === 4分
4
sin 1sin sin sin a b
B A B
B =
=
= 0B π<< 2
B π
=
6
C π
=
….6分
（2）2sin ()cos 244cot tan 22A B C C π+++=2sin cos 3113(1)sin 4216cos sin 22
sin cos
22
C C C C C π
π
+=-=-+……..10分
18．解：（1）在正方体1111ABCD A BC D -中，
M 、N 、P 、Q 分别为AD 、DC 、1BB 、11C D 中点
//PB QN 即//PB 平面MNQ
∴P 到平面MNQ 的距离即B 到平面MNQ 的距离． 在平面ABCD 中，连结BD 则BD MN ⊥
故B 到MN 之距为423243a a =⋅, 因此P 到平面MNQ 的距离为4
23a
………6分
（2）在四面体N MPQ -
中，3
11()328
p MNQ a V a -=⋅⋅=
又底面三角形MPQ
是正三角形，MQ PQ MP ===
22
)MPQ S ∆==：
设N 到MPQ 之距为d
3
21
13
38n M P Q M P Q
a V S d a d -∆
=⋅⋅=⋅-
d ∴=
PN = 故PN 与平面MPQ 所成角θ的正弦值 322
33sin ==
a a
θ …………12分
19．解：（Ⅰ）设A 、B 两项技术指标达标的概率分别为1P 、2P
由题意得：121212
5(1)(1)1211
1(1)(1)12
P P P P P P ⎧
⋅-+-⋅=⎪⎪⎨
⎪--⋅-⋅=⎪⎩ ……………………2分 解得：1232,43P P ==或1223
,34
P P =
=，∴1212P PP ==. 即，一个零件经过检测为合格品的概率为1
2
……………………………….. 3分
（Ⅱ）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为
5
5
4
55
5111312216
C C ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ ……………………………….8分 （Ⅲ）依题意知ξ～B(4,1
2
)，1422E ξ=⨯=，114122D ξ=⨯⨯= …………12分
20．解（1） a b →→
⊥∴0221=++-+n n n a S
022211=++-+++n n n a S 。

…………………………………………………2分 1122++-=∴n n n a a 1221
1-=∴++n n n n a a …………………………………………………………….4分 ∴⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n n a 2为等差数列
6分 （2）)1()1(22+-=---=n n a
n
n ()()()1120102009
02011220102201122009
20092010......................................12n n n n
n n
n b n b b n n n b b b n ++∴=-≥-≥-≤=∴=令的最大值为或分
………………10分
21．解：（1）x x e x e a x x f )3()()(22-=-=
x x 2'
2分 (3)6(1)2f e f e -==-
6分 （2）的两个极值点，为)(,21x f x x
的两个根，
）（为02)(,221=-+='x e a x x x f x x 12122x x x x a +=-=- 211222121212()()4x x x x e f x e f x e x x x x +-≥- 2112122222121221()()4x x x x x x e x a e e x a e e x x x x +---≥-
12121212()()4()x x x x x x x x -+≥-
24a -≥- 1
2a ∴≤
9分 3b a a a a f +-+<32
3
)(23恒成立
∴3()b a a a e a a a +-+<-32
3
232恒成立
∴()⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-->a a a e a a b a 3233232恒成立…………………………..10分
∴()⎪⎭
⎫
⎝⎛-+--=a a a e a a a h a 3233)(232令
()()()()11333313)(222--+=-+--+='a a e a a a a e a a a h
为减函数时，为增函数，当时，当)(,0)(02
1
)(,0)(021x h x h a x h x h a <'>>>'<<-
0,
0)(0>==∴b a h a 时，当 12分
22.解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =得： (10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．……………….3分 （Ⅱ）（1）设直线AB 的方程为： 1(0)x my m =+≠．
设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，，
联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，
，
，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，
1212
44y y m y y +=⎧⎨
=-⎩，
．……………………………………6分 由1MA AF λ=，2MB BF λ=得：
1112y y m λ+=-，2222
y y m
λ+=-，整理得：
1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫
∴+=--
+ ⎪⎝⎭
12
1222y y m y y +=--
2424
m m =---
0=．……………………………………………………………9分 解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =得：()0FQ PQ PF +=， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+=，
22
0PQ PF ∴-=，PQ PF ∴=．
所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：2
4y x =． （Ⅱ）（1）由已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，得1
20λλ<．
则：
12MA AF MB
BF
λλ=-
．…………①
过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ， 则有：
11
MA AA AF MB
BB BF
=
=．…………②
2
2
0PQ PF ∴-=，PQ PF ∴=．
所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =． （Ⅱ）（1）由已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，得1
20λλ<．
则：
12MA AF MB
BF
λλ=-
．…………①
过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ， 则有：
11
MA AA AF MB
BB BF
=
=
．…………②
由①②得：12AF AF BF BF
λλ-=
，即120λλ+=． （Ⅱ）（2）解：由解法一，(
2
121M M MA MB y y y y =
--
22
1212(1)()M M m y y y y y y =+-++2224
(1)44m m m m
=+-+
⨯+ 2
24(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22214(2)4216m m m ⎛=+++= ⎪ ⎪⎝⎭
≥． 当且仅当2
21m m
=，即1m =±时等号成立，所以MA MB 最小值为16．…………..12分。