黑龙江省大庆实验中学2011年高考(数学理)考前得分训练五

大庆实验中学2011年数学科考前得分训练（五）
命题：杜山 审校：姜本超 谢莉莎
本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷(非选择题）两部分．第II 卷第22-—24题为选考题，其他题为必考题．考生作答时,将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数11i z i
-=+，z 是z 的共轭复数,则z 等于( ）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．12
2．下列命题中正确的是( ）
(A ） 命题“∀x∈R ,2
x x -≤0”的否定是“∃x∈R ,2x x -≥0”；
(B)命题“p∧q 为真”是命题“p∨q 为真”的必要不充分条件;
（C)若“2
2am
bm ≤，则a ≤b"的否命题为真;
（D ）若实数x ，y∈[－1，1］,则满足2
21x
y +≥的
概率为4
π.
3。

已知向量(cos ,2),(sin ,1),//tan()4
a b a b πααα=-=-且，则等
于（ )
A ．3 B.
3-
C 。

3
1 D 。

3
1- 4．如果运行如右图的程序框图，那么输出的结果是（ ） （A ） 1，8,16 (B) 1，7,15
(C) 2，10，18 （D)1，9，17 5．已知1
tan()42
π
α+=
,且0
2
π
α-
<<，则
22sin sin 2cos()
4ααπ
α+=
-( )
A.
255
- B.3510- C 。

31010
- D 。

25
5
6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ) A ．9π
B ．10π
C ．11π
7．数列{a n }的前n 项和S n = n 2 + n + 1;b n = (—1)n a n (n ∈N *）；则数列
｛b n ｝的前50项和为（ ）
A 49
B 50
C 99
D 100
8．右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录 的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应 数据．根据右表提供的数据,求出y 关于x 的线性回归方程 为0.70.35y x ∧
=+，那么表中t 的值为
（ )
A ．3
B ．3．15
C ．3． 5
D ．4．5
9．设函数()sin cos =+f x x x x 的图像在点()(),t f t 处切线的斜率为k ，则函数
()=k g t 的部分图像为(
)
10．等比数列{n
a }的前n 项和为n
S ，若2132112364(...),27,n
n S
a a a a a a a -=+++==
则（ ）
俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
2 3
2 2
（A)27 (B)81 （C ） 243 （D) 729
11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(4)()f x f x -=-,在［0，2]上()f x 是增函
数,则下列结论:①若1
212044x
x x <<<+=且x ，则12()()0f x f x +>；②若
1204,x x <<<且12125,()()x x f x f x +=>则③若方程()f x m =在[—8，8]内恰有四
个不同的角1
2
3
4
,,,x x x x ,则1
2
348x x
x x +++=±，其中正确的有 （ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
12．已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是 （ ） A ．1(,1)2
B ．2(,1)3
C ．3(1,)2
D ．（1，2）
第Ⅱ卷(非选择题 共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答
题卡的相应位置．
13．实数,x y 满足不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，那么目标函数24z x y =+的最小值
是______.
14。

某班有50名学生,一次考试的成绩()N ξξ∈服从正态分布2
(100,10)N 。

已知(90100)0.3P ξ≤≤=，估计该班数学成绩在110分以上的人数为______________.
15．函数x y sin =，x y cos =在区间)4
5,4(π
π内围成图形的面积为 16．给出下列命题：
①若a ，b ，c 分别是方程x + log 3x = 3，x + log 4x = 3和x + log 3x = 1的解，则a ＞b ＞c ;
②定义域为R 的奇函数f （x )满足 f (3 + x ）+ f （1 — x ）= 2，则f （2010）= 2010;
③方程2sin θ = cos θ在 [0，2π）上有2个根；
④已知S n 是等差数列｛a n }（n ∈N ＊）的前n 项和,若S 7＞S 5，则S 9＞S 3；
其中真命题的序号是
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、
证明过程和演算步骤．
17．(本小题满分12分）
甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p 1()2
p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．
（1）求p 的值;
（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量ξ的分布列和
数学期望E ξ． 18。

（本小题共12分）
在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥，//AD EF ，//EF BC , 24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==， G 是BC 的中点．
(Ⅰ) 求证://AB 平面DEG ； （Ⅱ） 求证：BD EG ⊥； (Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.
19。

（本小题满分12分）
已知数列{}n
a 满足1*
1
14, 324 . ()n n n
a a
a n n N -+==+-∈ A D F
E
B G C
（1）李四同学欲求{}n
a 的通项公式，他想，如能找到一个函数
1
()2 n f n A B n C -=⋅+⋅+,(A B C 、、是常数)把递推关系变成
1(1)n a f n +-+3[()]n a f n =-后，
就容易求出{}n
a 的通项了.请问：他设想的()f n 存在吗？{}n
a 的通项公式是什么？
（2)记123n n S a a a a =++++，若不等式23n n
S n p ->⨯对任意*
n N ∈都成立，求
实数p 的取值范围。

20．(本小题12分)
过x 轴上动点(,0)A a 引抛物线2
1y x =+的两条切线AP 、AQ ，P 、Q 为切点． （1)若切线AP ，AQ 的斜率分别为1k 和2k ，求证: 12
k k ⋅为定值,并求出定值；
（2）求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标； （3）当||
APQ
S
PQ ∆最小时，求AQ AP ⋅的值．
20．过x 轴上动点(,0)A a 引抛物线2
1y x
=+的两条切线
AP 、AQ ，P 、Q 为切点．
(1)若切线AP ,AQ 的斜率分别为1
k 和2
k ，求证：1
2k k
⋅
为定值，并求出定值； (3）当
||
APQ S PQ ∆最小时，求AQ AP ⋅的值．
21．（本小题满分12分
)
已知定义在（0,+∞）上的三个函数2
()ln ,()(),()f x x g x x
af x h x x ==-=-且()1g x x =在处取得极值。

(1)求a 的值及函数()h x 的单凋区间； （2）求证：当2
4
1,12()
x e x f x <<+<
-时恒有成立；
（3）把()h x 对应的曲线C 1向上平移6个单位后得到曲线C 2，求
C 2与()g x 对应曲线C 3的交点个数,并说明理由.
（22)（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲
F
A
B
C
如图,在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .
（Ⅰ)求FC
BF 的值；
（Ⅱ）若△BEF 的面积为1
S ，四边
形CDEF 的面积为2
S ，求21
:S S
的值．
(23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l 经过点P(1,1），倾斜角6
a π=．
（I ）写出直线l 的参数方程；
（II ）设l 与圆2ρ=相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．
(24)(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数.|32||12|)(-++=x x x f （I)求不等式6)(≤x f 的解集;
（II)若关于x 的不等式a x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围。

参考答案:
6-22
16
17．解：（Ⅰ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结
束时比赛结束．
∴有2
2
5(1)9p p +-=． 解得23p =或1
3
p =． 1
2p >
, 23
p ∴=． ………………………………5分
（Ⅱ
）依题意知，依题意知，ξ的所有可能值为2，4,6．………………6分
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为5
9．若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有5(2)9P ξ==, 5520(4)(1)()9981P ξ==-=, 5516
(6)(1)(1)19981P ξ==--⋅=．
………………………………………………10分
∴随机变量ξ的分布列为：
P5
920
81
16
81
则52016266
246.
9818181
Eξ=⨯+⨯+⨯=……………………12分
18。

（共14分）
解：（Ⅰ）证明：∵//,//
AD EF EF BC，
∴//
AD BC。

又∵2
BC AD
=,G是BC的中点，
∴//
AD BG，
∴四边形ADGB是平行四边形，
∴//
AB DG. ……………2分
∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，
∴//
AB平面DEG.
…………………4分
∴四边形BGHE为正方形，
∴
BH EG
⊥, ………………………7分
又,
BH DH H BH
=⊂平面BHD，DH⊂平面BHD,
学必求其心得，业必贵于专精
∴
EG
⊥平面
BHD .
(8)
分
∵BD ⊂平面BHD ， ∴
BD EG ⊥。

………………………9分
解法2
∵EF ⊥平面AEB ,AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥， 又AE EB ⊥，
∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分
以点E 为坐标原点,,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系。

由已知得，A （0，0，2）,B （2，0,0），
C （2，4,0）,F
（0，3，0）,D （0，2，2）,［来源：学#科＃网Z#X ＃X ＃K ］
G （2，2，0）.
…………………………6分
∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，………7分 ∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………8分
∴BD EG ⊥. …………………………9分
x z
y
A
D
F E
B
G C
学必求其心得，业必贵于专精
A O
x
y
P
Q
17。

(共13
分)
19．解（1）1
(1)3[()]n n
a f n a f n +-+=- 1
3(1)3()n n
a a f n f n +∴=++-,
所以只需1
(1)3()24n f n f n n -+-=-,
1
(1)3()22(2)n f n f n A Bn B C -+-=-⋅-+-，1,24,20A B B C ∴-=-=--=,
1,2,1A B C ∴=-==.故李四设想的()f n 存在，1
()221n f n n -=-++. 111
1
()3[(1)]3(42)23n n n n a f n a f ---∴-=-=-=⨯,
123()n n
a f n -∴=⨯+=11
2322 1.n n n --⨯-++…………………5分 (2）211
2(1333)(122)n n n
S --=++++-+++
2[35(21)]322.n n n n n +++++=-++ 2322n n
n
S n n ∴-=-+，………7分
由23n
n
S n p ->⨯，得 32222133
n n n
n n
n n
p -+-<=-。

设
3223
n n n n
n
b -+=，则
11122(1)221133n n n n n n n n b b +++-+--=--+1
1
24222(21)
33n n n n n n ++-+--==，………9分
当4n ≥时
11012
21
111112(11)22(1)221n n n n n n n n n C C C C C n n n ---------=+≥+++
++≥+-=>-
（也可用数学归纳法证明）
4n ∴≥时， 1
n n
b b +>。

容易验证 ，当13n ≤≤时,|1
n n b
b +,
min ()n p b ∴<47381
b ==
,
p
∴的取值范围为
73(,
)81
-∞。

………………………… 12分
20．解（1)'2y x =，:2()AP
p
l y x x a =-，
即2()p
p p y
x x a =-，即22p p y x a =+，
同理22Q
Q y
x a =+，所以:22QP l y xa =+。

联立
PQ 的直线方程和抛物线方程
可得：
2210x xa --=，所以1,2p Q p Q x x x x a =-+=，所以12k k ⋅224p Q x x =⨯=- (5)
分
（2）因为:22QP
l y xa =+，所以直线PQ 恒过定点(0,2)…………9分
(3）
2
APQ
d
S PQ ∆=⨯
,所以
||APQ
S PQ ∆2222221224141
d a a a a ++===
++,设2411
t a =+≥,所以
||
APQ
S PQ ∆233
42t t +=≥
，当且仅当3t =取等号，即22a =±。

因为
AQ AP ⋅2
(,)(,)()p p Q Q p Q p Q p Q x a y x a y x x a x x a y y =-•-=-+++ 因为22
(22)(22)444()44p Q p Q p Q p Q
y
y x a x a a x x a x x a =++=+++=+ 所以AQ AP ⋅2
9
332
a
=+=
…………15分
G
F E D A
B
C
（22)证明：（Ⅰ)过D 点作DG ∥BC ，并交AF 于G 点, ∵E 是BD 的中点，∴BE=DE ，
又∵∠EBF=∠EDG ，∠BEF=∠DEG ， ∴△BEF ≌△DEG ，则BF=DG ， ∴BF ：FC=DG ：FC, 又∵D 是AC 的中点,则DG ：FC=1：
2,
则BF ：FC=1：2；
即1
2
BF
FC
= —-—-—--———（5分)
（Ⅱ）若△BEF 以BF 为底,△BDC 以BC 为底， 则由（1）知BF ：BC=1：3，
又由BE ：BD=1:2可知1
h ：2
h =1：2，其中1
h 、2
h 分别为
△BEF 和△BDC 的高，
则6
1
2131=⨯=∆∆BDC
BEF
S S
，则21:S S =1：5． ----—---—--—-———
—--————（10分)
（23）解：（I ）直线的参数方程是()31,11.2
x t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩是参数． -—--——
———--—-—--—（5分)
(II ）因为点A ，B 都在直线l 上,所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，
则点A,B 的坐标分别为),211,231(11t t A ++
)211,231(22t t B ++．
圆2ρ=化为直角坐标系的方程422
=+y x
．
以直线l
的参数方程代入圆的方程
42
2=+y x 整理得到 02)13(2=-++t t
①
因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2．
所以|PA ｜·｜PB|= |t1t2|＝｜－2|＝2． --——-——-—————----（12分)
（24）解：(I ）原不等式等价于
⎪⎩⎪⎨⎧≤--+≤
≤-⎪⎩⎪⎨
⎧≤-++>6
)32()12(2321
6)32()12(23x x x x x x 或或
⎪⎩⎪⎨
⎧
≤--+--
<6
)32()12(21x x x
解得
2
112321223-<≤-≤≤-≤<x x x 或或即不等式的解集为}21|{≤≤-x x -—--—
—-—-—（5分)
（II ）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x 4<∴a —---—-—--——-（10分）
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