2024年甘肃省天水市秦安县刘坪中学联片教研中考三模数学试题(含答案)

2023-2024学年第二学期甘肃省秦安县刘坪中学联片教研九年级数学
第三次模拟考试试卷
一、选择题(共30分)
1．（3分）有理数的相反数是（）
A．B．C．D．
2．（3分）计算的结果是（）
A．B．1C．D．3
3．（3分）当时，与互为相反数，则（）
A．B．C．D．
4．（3分）已知点在直线上，点，在抛物线上，若，，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，是等腰直角三角形，.若，则的度数是（）
A．30°B．35°C．40°D．45°
6．（3分）如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD＝3cm，则BE的长为（）
A．cm B．4cm C．3 cm D．6cm
7．（3分）如图，，，，均在上，，若，则的长最大为()
A．B．C．D．
8．（3分）如图，在中，点D，E分别在边和上，连接，若是的中位线，则的值为（）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（）
A．4B．C．D．2
10．（3分）如图，已知A(1，y1)、B(4，y2)为反比例函数图象上的两点，连接OA，OB，AB，则三角形OAB的面积是（）
A．4B．C．D．
二、填空题(共24分)
11．（3分）若实数、满足，则.
12．（3分）分解因式：.
13．（3分）关于的分式方程无解，则．
14．（3分）如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，若，则度
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，，，点E为射线DC上一个动点，把沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为．
16．（3分）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD等于.
17．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，在同一水平线上，
和均为直角，与相交于点．测得，则树高
m．
18．（3分）如图，在中，，，为边上一动点点除外），以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为．
三、计算题(共8分)
19．（8分）
（1）（4分）计算
（2）（4分），其中．
四、作图题(共4分)
20．（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，
与的顶点都在格点上.
（1）（2分）作，使与关于原点成中心对称.
（2）（2分）已知与关于点成中心对称，请在图中画出点的位置，并写出
该点的坐标.
五、解答题(共54分)
21．（6分）如图，在中，，点关于的对称点为，连接，．
（1）（3分）求证：四边形是菱形；
（2）（3分）过点作于，且交于点，若，，求
的长．
22．（6分）如图，，分别与相切于，两点，是的直径．
（1）（3分）求证：；
（2）（3分）连接交于点，若，，求的长．23．（8分）如图，在平行四边形中，，相交于点，，，求证：四边形是矩形．
24．（8分）某地对一段长达米的河堤进行加固，要求天完成，在加固米后，必须提高工作效率的才能按期完成，工程成本核算中，若加工效率高于米天，就需要提高人力成本，那么完成这项工程过程中，是否需要提高人力成本？请说明理由．
25．（8分）如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，点C、D、E在同一直线上，且，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，且．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计）
（1）（4分）求点B距水平地面AE的高度；
（2）（4分）若市政规定广告牌的高度不得大于9米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．
26．（8分）如图，在等腰中，，是的中线，平分，交于点.为上一点，作过，两点.
（1）（4分）试判断直线与的位置关系，并说明理由.
（2）（4分）当，时，求的半径.
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，抛物线y=x2的顶点在直线AO上运动，与直线x=2交于点P，设平移后的抛物线顶点M的横坐标为m．
（1）（3分）如图1，若m=﹣1，求点P的坐标；
（2）（3分）在抛物线平移的过程中，当△PMA是等腰三角形时，求m的值；
（3）（4分）如图2，当线段BP最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA 的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1-5 ABADB 6-10 ACBAD
11．12．13．0 14．18 15．或10
16．34°17．7 18．8
19．（1）；
（2）；当时，原式．
20．（1）如图所示：
即为所求作的三角形.
（2）如图所示：
点P（-3，-1）.
21．（1）连接交于，
关于的对称点为，
垂直平分，
，，
，
，
四边形是菱形；
（2），
，
，
，，
，，∽，
，
，
．
22．（1）连接，
，分别与相切于，两点，
，，，
，
平分，
，，
，
．
（2），
，
，
令，，
，
，
，
，
，
，
．
23．，，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形．
24．不需要提高人力成本，理由如下：
设原来每天加固河堤米，则采用新的加固模式后每天加固河堤米，由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
即采用新的加固模式后每天加固河堤米，
，
不需要提高人力成本．
25．（1）如图，过点B作，，垂足分别为M、N，
由题意可知，在中，AB的坡度，．∵，
∴，
∴，
即点B距水平地面AE的高度为5米；
（2）由（1）可知，在中，，
∴，
∵由作图可得四边形BMEN是矩形，
∴，
在中，∵，
∴，
∴
在中，，，
∴，
∴
∵
∴
∴符合要求．
26．（1）与相切.
理由：如图，连接.
∵平分，∴.
∵，
∴，∴，
∴.
∵，是的中线，
∴
∴
∴
∵是的半径，
∴与相切.
（2）∵，∴，
设，则.
在中，.
在中，，
∴
解得
∴的半径为（解法不唯一）
27．（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，∵A（2，4），∴2k=4，∴k=2，∴OA所在直线的函数
解析式为y=2x．由题意，把x=﹣1，代入得，y=﹣2，∴抛物线的顶点M（﹣1，﹣2），∴抛物线解析式为：y=（x+1）2﹣2=x2+2x﹣1，当x=2时，y=7，∴点P（2，7）；
（2）如图1，在抛物线平移的过程中，设顶点坐标（m，2m）当△PMA是等腰三角形时，∴有PA=PM，由点A（2，4），可求：tan∠A=，cos∠A=，过点M作MN垂直于直线x=2，过点P作PH⊥AM，连接MP，抛物线解析式为：y=（x﹣m）2+2m，当x=2时，y=m2﹣2m+4，此时，MN=2﹣m，AN=4﹣2m，AP=4﹣（m2﹣2m+4）=﹣m2+2m，∴AH=AP×=，AM=2AH=，∴=，代入解得：m=，或m=2（舍去）∴m=；
（3）如图2，∵顶点M的横坐标为m，且在直线OA上移动，∴y=2m．∴顶点M的坐标为（m，2m）．∴
抛物线函数解析式为y=（x﹣m）2+2m．∴当x=2时，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4．∴点P的坐标是（2，m2﹣2m+4）．∵PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3，∴当m=1时，PB最短．当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=（x﹣1）2+2即y=x2﹣2x+3．假设在抛物线上存在点Q，使S△QMA=S△PMA．设点Q的坐标为（x，x2﹣2x+3）．①点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC∥AO，交y轴于点C，∵PB=3，AB=4，∴AP=1，∴OC=1，∴C点的坐标是（0，﹣1），∵点P的坐标是（2，3），∴直线PC的函数解析式为y=2x ﹣1，∵S△QMA=S△PMA，∴点Q落在直线y=2x﹣1上，∴x2﹣2x+3=2x﹣1，解得x1=2，x2=2，即点Q（2，3），∴点Q与点P重合，∴此时抛物线上存在点Q（2，3），使△QMA与△APM的面积相等，②当点Q落在直线OA的上方时，作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE∥AO，交y轴于点E，∵AP=1，∴EO=DA=1，∴E、D的坐标分别是（0，1），（2，5），∴直线DE函数解析式为y=2x+1，∵S△QMA=S△PMA，∴点Q落在直线y=2x+1上，∴x2﹣2x+3=2x+1，解得：x=2+，或x=2-，代入y=2x+1，得：y=5+2
或y=5-2，∴△QMA的面积与△PMA的面积相等时，点Q的坐标为：（2+，5+2），（2-，5-2）．。