2019-2020学年安徽省黄山市屯溪第一中学高二下学期期中数学(文)试题(解析版)

2019-2020学年安徽省黄山市屯溪第一中学高二下学期期中
数学（文）试题
一、单选题 1．复数
5
2i
-的共轭复数是( ) A ．i 2+ B ．i 2-
C ．2i --
D ．2i -
【答案】D
【解析】
55(2)22(2)(2)
i i i i i +==+--+,2i +的共轭复数为2i -，选D. 2．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ）
x
3 4 5 6 y
2.5
t
4
4.5
A ．产品的生产能耗与产量呈正相关
B ．回归直线一定过
4.5,3.5（） C ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨 D ．t 的值是3.15 【答案】D
【解析】由题意，x =
3456
4
+++=4.5，
∵ˆy
=0.7x+0.35， ∴y =0.7×4.5+0.35=3.5， ∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3， 故选D ．
3．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a 的值为（ ）
A ．23
B ．75
C ．77
D ．139
【答案】B
【解析】根据图形可归纳品字形上方数字为1，3，5，7，9，11，品字形下方第一个数为，2，4，8，⋯，第2个数字与第一个数字的差为品字形上方的数字，即可求解. 【详解】 由图形可知，
品字形上方数字为1，3，5，7，9，11可知，所求为第6个图形， 观察品字形下方第一个数字，可知规律为：2
3
6
2,2,2,2K ， 即6264b ==， 由规律可知11a b -=， 所以641175a =+=， 故选：B 【点睛】
本题主要考查了合情推理中的不完全归纳法，属于容易题. 4．若三角形的周长为L ，面积为S ，内切圆半径为r ，则有2S
r L
=
，类比此结论，在四面体中，设其表面积为S ，体积为V ，内切球半径为R ，则有（ ） A ．3V R S
=
B ．4V R S
=
C ．9V R S
=
D ．8V R S
=
【答案】A
【解析】类比三角形中用等面积法推导出的结论,利用等体积法分析四面体中的结论即可. 【详解】
设四面体的内切球球心为O ,则球心O 到四个面的距离都为R ,所以四面体的体积等于以O 为顶点,分别以四个面为底面的四个三棱锥体积的和.设四个底面面积分别为
1234,,,S S S S
则四面体的体积()123413
V S S S S R =+++,即133V V SR R S =⇒=.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了根据等体积法求解三棱锥内切球半径的方法,属于基础题.
5．命题结论为：“实数a b c d ,,,中存在负数”，则用反证法证明时的假设为（ ） A ．a b c d ,,,
中存在正数 B ．a b c d ,,,
中全为正数
C ．a b c d ,,,
中存在非负数 D ．a b c d ,,,
全为非负数 【答案】D
【解析】根据“存在负数”的对立面为“全为非负数”判定即可. 【详解】
“实数a b c d ,,,
中存在负数”为特称命题,用反证法证明则应该设其对立面,即全称命题“a b c d ,,,
全为非负数”. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了反证法中假设的命题的辨析.属于基础题.
6．已知复数z 满足：121z i z ++=-，则z 的最小值是（ ）
A ．1
B
C ．
2
D
【答案】C
【解析】设(),,z x yi x y R =+∈,再根据121z i z ++=-求出,x y 满足的方程,根据复数的几何意义求解z 的最小值即可. 【详解】
设(),,z x yi x y R =+∈,因为121z i z ++=-,故
()121x y i x yi +++=-+,故
()()()
222
2121x y x y +++=-+,即10x y ++=.故z 在复平面内的轨迹是直线
10x y ++=.又z 的几何意义为z 到复平面原点的距离,故其最小值为原点到
10x y ++=的距离2
d =
=
. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义运用,需要根据题意设(),,z x yi x y R =+∈再列式求解对应的轨迹方程.属于中档题. 7．关于x 方程11
x x
x x =--的解集为( ) A ．{}0 B ．{}
0,1x x x ≤或 C ．{}|01x x ≤<
D ．(,1)(1,)-∞⋃+∞
【答案】B 【解析】
11x x x x =-- ，则01x
x ≥- ，(1)01
x x x -≥⎧⎨≠⎩ ，则0x ≤或1x >，选B. 8．若不等式147x x ++-≥的解集是（ ） A ．](
),3[4,-∞-⋃+∞ B ．[]
3,4
-
C ．](
[),25,-∞-⋃+∞
D ．[]2,5-
【答案】C 【解析】【详解】
当1x <-时，147,2x x x ---+≥≤-，则2x -≤， 当14x -≤<时，147,x x +-+≥ 不成立， 当4x ≥时，147,5x x x ++-≥≥，则5x ≥， 综上：不等式的解集为{}
25x x x ≤-≥或，选C.
9．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2
y x =，且与椭
圆22
1123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ） A ．22
1810
x y -=
B ．22
145
x y -=
C ．22
154x y -=
D ．22
143
x y -
= 【答案】B
【解析】根据渐近线的方程可求得,a b 的关系,再根据与椭圆22
1123
x y +=有公共焦点求
得c 即可. 【详解】
双曲线C 的渐近线方程为2
y x =,可知2b a =
①,椭圆221123x y +=的焦点坐标为(－3,0)和(3,0),所以a 2＋b 2＝9②,根据①②可知a 2＝4,b 2＝5. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了双曲线与椭圆的基本量求法,属于基础题型. 10．已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a= A ．–4 B ．–2 C ．4 D ．2
【答案】D
【解析】试题分析：()()()2
312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或
2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值
点为2，即2a =，故选D. 【考点】函数的导数与极值点
【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在
0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0
x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点.
11．已知函数32()1f x x x mx =+++在区间（﹣1，2）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．1
(,16)(,)3
-∞-⋃+∞
B ．1[16,]3
-
C ．1(16,)
3
-
D ．1
(,)3
+∞
【答案】C 【解析】【详解】
函数()32
1f x x x mx +++=在区间（﹣1，2）上不是单调函数，2
()32f x x x m '=++,
则方程2320x x m ++=在(1,2)-上有解，即4120,m ∆=-> 13
m < ，
(2)160f m ='+>，16m >- ，所以1
163
m -<<
,选C. 12．已知函数()f x 满足()()f x f x =-，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，
若()()0.60.6
22a f =⋅，(ln 2)(ln 2)b f =⋅，2211log log 88c f ⎛⎫⎛
⎫=⋅
⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，则a ，b ，c 的
大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >>
C ．a c b >>
D ．c a b >>
【答案】B
【解析】构造函数()()g x x f x =⋅，利用奇函数的定义得函数()g x 是奇函数，再利用导数研究函数的单调性，结合0.621
log 0ln 2128
<<<<，再利用单调性比较大小得结论. 【详解】
因为函数()f x 满足()()f x f x =-，且在R 上是连续函数， 所以函数()f x 是偶函数，
不妨令()()g x x f x =⋅，则()g x 是奇函数，且在R 上是连续函数， 则()()()g x f x x f x =+⋅''，
因为当(,0)x ∈-∞时，()'()0f x xf x +<成立， 所以()g x 在(,0)x ∈-∞上单调递减，
又因为()g x 在R 上是连续函数，且是奇函数，所以()g x 在R 上单调递减， 则()
0.6
2
a g =，(ln 2)
b g =，2
1log 8c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 因为0.621>，0ln 21<<，21
log 308
=-<， 所以0.62
1
log 0ln 2128
<<<<， 所以c b a >>， 故选：B. 【点睛】
本题考查的是比较大小问题，涉及到的知识点包括函数的奇偶性以及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数()g x ，属于中档题.
二、填空题
13．在复平面内，复数1z 与2z 对应的点关于虚轴对称，且11i z =-+，则12z z =____. 【答案】2-
【解析】试题分析：因为复数1z 与2z 对应的点关于虚轴对称，且11z i =--，所以
21z i =-，所以12(1)(1)2z z i i =---=-.
【考点】复数相关的概念与运算.
14．若抛物线22y px =(0)p >的准线经过双曲线221x y -=的左顶点，则p =_____. 【答案】2
【解析】试题分析：双曲线221x y -=的左顶点坐标为()1,0-，抛物线
22y px =(0)p >的准线为2p x =-
，故12
p
-=-，即2p =． 【考点】抛物线与双曲线的几何性质．
15．已知函数32()391f x x x x =-+++，则()f x 在点()()
2,2f --处的切线方程是____________________ 【答案】15270x y ++=
【解析】求出()f x 的导数，进而可得切线斜率，然后利用直线的点斜式方程求解出切线方程. 【详解】
由题意知，切点为()2,3-，
由3
2
()391f x x x x =-+++得2
'()369f x x x =-++，
可得()f x 在点()()2,2f --处的切线斜率为3412915k =-⨯-+=-，
所以()f x 在点()(
)
2,2f --处的切线方程为()3152y x -=-+，即15270x y ++=. 故答案为：15270x y ++=. 【点睛】
本题考查曲线在切点处的切线方程的求解，属于基础题.求解曲线在切点处的切线方程，先根据函数的导函数求解出切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求解出切线方程. 16．若函数2
()(3)ln f x x a x x =+++在区间(1,2)上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为________. 【答案】15
(,6)2
-
- 【解析】求出导函数()f x '
，'()0f x =在区间(1,2)上有一个解（不是相等的实根）．
【详解】
212(3)1
()2(3)x a x f x x a x x
+++'=+++=
， 函数()f x 在区间(1,2)上存在唯一的极值点，则2
()2(3)10g x x a x =+++=在区间
(1,2)上有一个解，
∴(1)(2)(6)(215)0g g a a =++<，解得15
62
a -<<-． 故答案为：15
(,6)2
--． 【点睛】
本题考查导数与函数的极值，函数在某个区间上存在唯一极值点，则()0f x '=在此区间上有唯一解，利用函数零点存在定理求解可得． 17．将正数作如下排列：()1,1
()1,2 ()2,1
()1,3 ()2,2 ()3,1
…………………………
则第30组第16个数对为_________． 【答案】()1615,
【解析】观察规律可知第30组第1个数对为()1,30,该组每下一个数对第一数加1,第二个数减1,再分析第16个数对即可. 【详解】
由题可知, 第30组的数对为()1,30,()2,29,()3,28….易得每对数的两数之和为31 故第16个数对为()1615,. 故答案为：()1615, 【点睛】
本题主要考查了根据所给的规律推导的问题.属于基础题. 18．已知0a b >>，且()211
,m n a a a b ab
==+-，则m n +的最小值是_________.
【答案】4
【解析】由已知可得，()
22
22
1111m n a a ab ab a ab ab a ab ab
+=
++=+-++--，满足均值不等式成立的条件，使用均值不等式求最值即可. 【详解】
由已知可得，()
222211114m n a a ab ab a ab ab a ab ab
+=
++=+-++≥--，
当且仅当
2
2,
2
a b
==时，等号成立.
【点睛】
本题主要考查了均值不等式求最值，属于中档题.
三、解答题
19．已知复数12
z i
=-+,
12
55
z z i
=-+（其中为虚数单位）
（1）求复数2z；
（2）若复数()()()
2
32
3231
z z m m m i
⎡⎤
=---+-
⎣⎦所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）
2
3
z i
=-；（2）11
m
-<<
【解析】试题分析：（1）根据复数的四则运算即可求得；（2）将23
Z i
=-代入得()()
2
3
123
Z m m m i
=--+--，由复数的概念和几何意义得
()
2
10
230
m
m m
⎧-->
⎨
--<
⎩
，解得11
m
-<<.
试题解析：（1）1255
z z i
=-+，2
1
5555
3
2
i i
z i
z i
-+-+
===-
-+
（2）()()()
2
32
3231
z z m m m i
⎡⎤
=---+-
⎣⎦
()()
2231
i m m m i
⎡⎤
=--+-
⎣⎦
()()
2
123
m m m i
=--+--
由于3z所对应的点在第四象限，，所以实数m的取值范围是
20．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目，选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40(单位：岁).其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.
（1）写出2×2列联表；判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系，说明你的理由.(下面的临界值表供参考)
P(K2≥k0)0.100.050.0100.005
k0 2.706 3.841 6.6357.879
（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，求20～30岁与30～40岁各有几人.
参考公式：K2＝
2
()
()
()()()
n ad bc
b d
a b c d a c
-
+
+++
，其中n＝a＋b＋c＋d.
【答案】（1）列联表见解析，能，理由见解析；（2）20～30岁有2人，30～40岁有4人
【解析】（1）根据所给的二维条形图得到22
⨯列联表，计算2
K值，再与临界值表进行比较，即可得出结论；
（2）根据分层抽样各层按比例分配，即可得解.
【详解】
（1）根据所给的二维条形图得到列联表：
分类正确错误总计
20～30岁10 30 40
30～40岁10 70 80
总计20 100 120
根据列联表所给的数据代入观测值的公式，
得2
2120(10701030)3201004080K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯. 因为3>2.706，
所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系.
(2)按照分层抽样方法可知，
20~30岁年龄段抽取：4062120
⨯=（人）； 30~40岁年龄段抽取：8064120⨯=（人）. 在上述抽取的6名选手中，年龄在20~30岁的有2人，年龄在30~40岁的有4人.
【点睛】
本题考查独立性检验和分层抽样中样本的抽取个数问题，考查学生对这些知识的掌握能力，准确计算是本题的解题关键，属于基础题.
21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD .
（1）求证：EF P 平面PAD ；
（2）若EF PC ⊥，求证：平面PAB ⊥平面PCD .
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】【详解】
分析：（1）连结，则是的中点，220(1)0y x a x y ay a =⎧
⎨-++-+=⎩为的
中点，得220(1)0y x a x y ay a =⎧⎨-++-+=⎩
，利用线面平行的判定定理，即可证得//EF 平面PAD ；
(2)由（1）可得，PA PC ⊥，又由220
(1)0y x a x y ay a =⎧⎨-++-+=⎩，平面ABCD 为正
方形，得CD ⊥平面PAD ，所以CD ⊥PA ，从而得到PA ⊥平面PDC ，利用面面垂直
的判定定理，即可证得平面PAB ⊥平面PCD ．
详解：（1）连结，则是的中点，E 为的中点，
故在CPA V 中，EF //PA ，
因为PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF //平面PAD
(2)由（1）可得，EF//PA ，又EF⊥PC ，
所以PA⊥PC
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为正方形
所以，CD ⊥平面PAD ，所以CD⊥PA ，
又CD PC C ⋂=，所以PA⊥平面PDC
又PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD
点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中平行、垂直关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
22．已知函数()2f x x =-，()()2g x f x x =-．
（1）求()g x 的最大值m ；
（2）若0a >，0b >，且22m a b
+=，求证：()()314f a f b +++≥． 【答案】（1）2；（2）证明见解析．
【解析】（1）分类讨论去掉()()2g x f x x =-中的绝对值号，写成分段函数求最大值；
（2）由（1）得222a b
+=，即111a b +=，由题意知,()()311111f a f b a b a b a b +++=++-=++-=+，利用1的代换和均值定理可求.
【详解】
解：（1）()2,22223,022,0x x g x x x x x x x --≥⎧⎪=--=-<<⎨⎪+≤⎩
，
所以()()max 02m g x g ===
故2m =
（2）由（1）得
222a b
+=，即111a b +=， 因为0a >，0b >，101a <<，101b <<， 所以1a >，1b >，
由题意知()()311111f a f b a b a b a b +++=++-=++-=+，因为
111a b +=， 所以()1124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥
⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即2a b ==时等号成立，
所以()()314f a f b +++≥．
【点睛】
考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题. 23．已知椭圆()22
22:10x y a b
C a b =>>+的实轴长为4
，焦距为 （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设直线l 经过点()2,1P -且与椭圆C 交于不同的两点M ，N （异于椭圆的左顶点），
设点Q 是x 轴上的一个动点．直线QM ，QN 的斜率分别为1k ，2k ，试问：是否存在点
Q ，使得12
11k k +为定值？若存在．求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2
214x y +=；（2）在x 轴上存在点()2,0Q -，使得12
11k k +为定值4-． 【解析】（1）根据实轴长为4
，焦距为 （2）当直线l 与x 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意；所以直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为()12y k x +=-，把它和椭圆方程联立，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，代入到12
11k k +中，令对应项系数成比例即可.
【详解】
解：（1）设椭圆C 的半焦距为c ．
因为椭圆C 的长轴长为4
，焦距为
所以242a c =⎧⎪⎨=⎪⎩
解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩
．则1b ==． 故椭圆C 的标准方程为2
214
x y += 故答案为：2
214
x y +=． （2）假设存在满足条件的点(),0Q t ，
当直线l 与x 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意；所以直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为()12y k x +=-．
联立()221214
y k x x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩， 得()()22221416816160k x k k x k k +-+++=，>0∆．
设点()11,M x y ，()22,N x y ， 则212216814k k x x k ++=+，2122161614k k x x k
+=+ 12
121212
12121211y y k k x t x t y y k k k k x t x t
++--+==⋅-- ()()
()()()()
()()1221121221121212y x t y x t x t x t y x t y x t y y y y x t x t -+----+-==--()()()()()()
12211221212121kx k x t kx k x t kx k kx k ---+---=----
()()()()()121222212122212212441kx x k kt x x k t k x x k k x x k k -+++++=-+++++
()48241
t k t k -+=+， 要使1211k k +为定值．则需满足48241
t t -=， 解得2t =-． 此时1211164441
k k k k --+==-+． 所以在x 轴上存在点()2,0Q -，使得
12
11k k +为定值4- 【点睛】
考查椭圆求法，直线和椭圆位置关系中的定值问题；难题.。