江苏省包场高级中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学理试题 Word版含答案

江苏省包场高级中学2017-2018学年第一学期
高二期中理科数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 抛物线2
14
y x =
的焦点坐标是 ▲ 2. 曲线cos y x x =-在点⎪⎭
⎫
⎝⎛22ππ，处的切线方程为 ▲ ． 3. 若椭圆15
92
2=+y x 上点P 到其右焦点的距离为,2则点P 到其左准线的距离为 ▲ ． 4. 函数2()2ln f x x x =-的单调减区间为 ▲
5. 已知双曲线C 的一条渐近线方程为x y 2=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
6. 已知函数f （x ）=lnx ．若直线y=2x+p （p ∈R ）是函数y=f （x ）图象的一条切线，则实数p 的值为 ▲
7. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆与双曲线y 2
﹣3x 2
=3共焦点，且经过点)2,2(，则该
椭圆的离心率为 ▲
8. 双曲线22
916144x y -=上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，
O 是坐标原点，则ON ＝ ▲
9. 若抛物线2
8y x =的焦点F 与双曲线
22
13x y n
-=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ ．
10. 已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点为,2F 左准线是,l 若该双曲线右支上存
在点P ，使2PF 等于P 到直线l 的距离，则该双曲线离心率的取值范围是 ▲ 11. 设函数3
2
2
()3(1)1f x kx k x k =+--+在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是 ▲
12. 椭圆22:194
x y C +=和圆22:5O x y +=，动点P 在椭圆C 上动点，当点P 落在圆O 内部时，点P 横坐标的取值范围是 ▲
13. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122
22>>=+b a b
y a x ，右焦点为
F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .
若126d d =
，则椭圆的离心率为 ▲
14. 已知点A （﹣3，﹣2）在抛物线C ：x 2=2py 的准线上，过点A 的直线与抛物线C 在第二
象限相切于点B ，记抛物线C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率是 ▲
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请
把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 15．（本小题满分14分） 已知函数f （x ）=
13
x 3
﹣3x 2+ax （a ∈R ）的所有切线中，有且仅有一条切线L 与直线y=x 垂直．
（1）求a 的值和切线L 的方程；
（2）设曲线y=f （x ）在任一点处的切线倾斜角为α，求α的取值范围． 16．（本小题满分14分）
设12,F F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右焦点，M 是C 上一点，且2MF 与x
轴垂直，直线1MF 与
C 的另一个交点为N ．
（1）若直线MN 的斜率为
3
4
，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1
5M N F N
=，
求椭圆C 的方程．
17. （本小题满分15分） 已知函数f （x ）=
3
1x 3+x 2
+ax+1，曲线y=f （x ）在点（0，1）处的切线为L （Ⅰ）若直线L 的斜率为﹣3，求函数f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f （x ）是区间[﹣2，a]上的单调增函数，求实数a 的取值范围．
18．（本小题满分15分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1(
0)，F 20)，且经过点12
)．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设
直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2k 3k 4． ①求k 1k 2的值； ②求OB 2+OC 2的值．
19．（本小题满分16分）
已知,,A B C 是椭圆22
22:1x y E a b
+=的左、右、上顶点，点P 是椭圆E 上不同于,,A B C
的一动点，若椭圆E 的长轴长为4，且直线,CA CB 的斜率满足14
CA CB k k ⋅=-. （1）求椭圆E 的方程；
（2）直线AC 与PB 交于点M ，直线CP 交x 轴于点N .
①当点M 在以AB 为直径的圆上时，求点P 的横坐标；
②试问：
11
MN
CP
k k -
（,MN CP k k 表示直线,MN CP 的斜率）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
20. （本小题满分16分）
已知点)2,1(A 是离心率为2
2
的椭圆C ：)0(12222>>=+b a a y b x 上的一点．斜率为2
的
直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）ABD ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
（3）求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．
江苏省包场高级中学2016－2017学年第一学期
高二理科数学（附加卷）
21. （本小题满分10分） 已知圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧+=+=θ
θsin 23cos 21y x （θ为参数），若P 是圆C 与x 轴正半轴的交
点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C 的切线为,l 求直线l 的极坐标方程
22. （本小题满分10分）
已知曲线:
C 14
9
2
2
=+
y x ，直线:l 12)sin 3cos 2=-θθρ（．
（1）将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 的距离的最小值．
23. （本小题满分10分）
已知直线l
：512
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点M
的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|•|MB|的值．
24. （本小题满分10分）
设动点P 在y 轴与直线l ：8x =之间的区域（含边界）上运动，且到点(20)F ,
和直线l 的距离之和为10，设动点P 的轨迹为曲线C ，过点(24)S ,
作两条直线SA SB 、分别交曲线C 于A B 、两点，斜率分别为12k k 、． （1）求曲线C 的方程；
（2）若121k k ⋅=，求证：直线AB 恒过定点．
高二数学期中考试参考答案
1.（0,1）
2. 024=--πy x
3. 6
4. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
5.5 或
2
5 6. 121ln
- 7. 2
2 8. 5 9. 1 10.（1，]12+ 11. 31≤k
12. ⎛ ⎝⎭
13.33
14. 43- 15．解：（1）∵f （x ）=
13
x 3﹣3x 2
+ax （a ∈R ）， ∴f′（x ）=x 2
﹣6x+a ．
∵在曲线y=f （x ）的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y=x 垂直， ∴x 2
﹣6x+a=﹣1有且只有一个实数根． ∴△=36﹣4（a+1）=0，∴a=8． ∴x=3，f （3）=6．即切点（3，6）．∴切线l ：y ﹣6=﹣（x ﹣3），即x+y ﹣9=0．
（2）∵f′（x ）=x 2﹣6x+8=（x ﹣3）2
﹣1≥﹣1． ∴tanα≥﹣1， ∵α∈[0，π）， ∴α的取值范围是
．
16、解：（1）
记c =，则()()12,0,,0F c F c -，由题设可知2,
b M
c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则12
23
2324
MN F M b a k k b ac c ===⇒=，……………………………… [4分]
2213,2()2c c
a c ac e e a a
∴-=⇒====-或舍去；……………………………… [6分]
（2）记直线MN 与y 轴的交点为()D 0,2，则2
2||44b MF a =⇒=①，……… [8分] 11135,2,12c MN F N DF F N N ⎛⎫
=∴=⇒-- ⎪⎝⎭
，……………………………… [10分]
将N 的坐标代入椭圆方程得22291
14c a b
+=②……………………………… [12分]
由①②及222c a b =-得22
49,28a b ==，……………………………… [13分]
故所求椭圆C 的方程为
22
14928
x y +=．……………………………… [14分]
17.解：（Ⅰ）因为f （0）=1，所以曲线y=f （x ）经过点（0，1）， 又f′（x ）=x 2
+2x+a ，
曲线y=f （x ）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3， 所以f′（0）=a=﹣3，
所以f′（x ）=x 2
+2x ﹣3．
单调递减区间为（﹣3，1）；
（Ⅱ）因为函数f （x ）在区间[﹣2，a]
上单调递增， 所以f′（
x ）≥0对x ∈[﹣2，a]成立，
只要f′（x ）=x 2
+2x+a 在[﹣2，a]上的最小值大于等于0即可．
因为函数f′（x ）=x 2
+2x+a≥0的对称轴为x=﹣1，
当﹣2≤a≤﹣1时，f′（x ）在[﹣2，a]上的最小值为f′（a ）， 解f′（a ）
=a 2+3a≥0，得a≥0或a≤﹣3，所以此种情形不成立； 当a ＞﹣1时，f′（x ）在[﹣2，a]上的最小值为f′（﹣1），
解f′（﹣1）=1﹣2+a≥0得a≥1，所以a≥1， 综上，实数a
的取值范围是a≥1． 18．解：（1）方法一
依题意，c
a 2
b 2+3，
由2
2
13
413b b
+=+，解得
b 2b 2
3
4
-，不合，舍去)，从而a 2．
故所求椭圆方程为：2
214
x y +=．
……………………………………………………4分
离心率e ．…………………………………………………………………… 5分
方法二
由椭圆的定义知，2a ，
即a ．……………………………………………………………………………
2分
又因c b
2
．故所求椭圆方程为：2
214
x y +=．……………………………4分
离心率e ．…………………………………………………………………… 5分
（2）①设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则D x 1，y 1)，
于是k 1k 2
2121
2121
y y y y x x x x -+⋅
-+122
22221
y y x x
--22212221
(1)(1)
44x x x x ----1
4
-．………………… 10分
②由①知，k 3k 4k 1k 21
4
-，故x 1x 2124y y -．
所以，(x 1x 2)
2
(4y 1y 2)2
，即(x 1x 2)
2
22
12
16(1)(1)
44
x x --2222
1212
164()x x x x -++， 所以，22
12
x x +4．……………………………………………………………………
13分
又2
22
221212()()44
x x y y +++22
2212124
x x y y +++，故22
121y y +=．
所以，OB 2+OC 2
2222
1122
x y x y +++5．………………………………………… 16分
19．解：（1）由题意可得A （﹣a ，0），B （a ，0），C （0，b ），
（2）①由椭圆方程可得A （﹣2，0），B （2，0），C （0，1）， 可得k AC =
1
2
， 由点M 在以AB 为直径的圆上，可得AM ⊥BM ， 可得k AC •k BP =﹣1，即k BP =﹣2，
为定值2．20．
高二数学期中考试附加卷参考答案
21. 解 由题设知, 圆C 的参数方程化为普通方程为4)3()1(22=-+-y x 圆C 与x 轴正半轴的交点为)0,2(P 又3-=CP k 所以3
3=l k
所以直线l 的方程为)2(33-=x y ，即023=--y x
直线l 的极坐标方程为02sin 3cos =--θρθρ
22. ⑴ 01232=--y x ……5分
⑵ 设P (3cos ,2sin )θθ，
12
d ∴=
=
∴ 当1)4cos(=+π
θ
时，min d =
……10分 23. 解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x 2+y 2=2x ，故它的直角坐标方程为（x ﹣1）2+y 2=1；
（2）直线l ：（t 为参数），普通方程为，（5
l 上，
过点M 作圆的切线，切点为T ，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，
由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．
24. （1）设P (x ，y )
810 (08)x x -=≤≤，
移项平方并化简得，28y x = (08)x ≤≤．(4分)
（2）设()()1122 A x y B x y ，
，，， 则111221121448824428
y y k k x y y y --====-++-, 同理, (6分) 所以()()
1212641+44k k y y ⋅==+，即1212484()y y y y =-+ （※） 因为直线AB 的方程为()()2111121128y y y y x x x x x x y y --=
-=--+， 所以121212
8y y y x y y y y =+++， 代人（※）得，()12864y x y y =
+-+， 故直线AB 必过点()6 4--，
．(10分)。