【鲁教版】高中数学必修一期末模拟试题(带答案)(2)

一、选择题
1．关于x 的方程x x a a -=有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(0,4)
B ．(4,0)-
C ．(4,4)-
D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞
2．已知定义在R .上的偶函数f (x )， 对任意x ∈R ，都有f (2-x ) =f (x +2)，且当[2,0]x ∈-时
()21x f x -=-.若在a > 1时，关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有三个不同的实数
根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1，2)
B ．(
23
2，
2) C ．23
(,2)
-∞(2， +∞) D ．(2，+∞)
3．已知函数()()f x x R ∈是奇函数且当(0,)x ∈+∞时是减函数，若(1)0f =，则函数
2(2||)y f x x =-的零点共有（ ）
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
4．已知函数2()log x f x =，在[1
16
，m ]上的值域为[0，4]，2m f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的取值范围是（ ） A ．[1,2]
B ．[0,2]
C ．[1,3]
D ．[0,3]
5．设函数()21x
f x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（ ） A ．222a c +> B ．222a c +≥ C ．222a c +≤ D ．222a c +<
6．已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14
a f <，则a 的取值范围为（ ）
A ．34
a >
B ．304
a <<
或43a >
C ．3
04
a <<或1a >
D ．1a > 7．函数()(3)()f x x ax b =--为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则(2)0f x ->的解
集为（ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|5x x >或1}x <- C ．{|04}x x <<
D ．{|4x x >或0}x <
8．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ） A ．5-
B ．7-
C ．5
D ．7
9．若函数()28,12
,1a
x x x f x a x x
⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()4,+∞
B ．[)4,+∞
C ．[]4,6
D ．()0,∞+
10．设集合2{|}A x x x =<，2}6{|0B x x x =+-<，则A B =（ ）
A ．（0，1）
B ．()()3,01,2-⋃
C ．（－3，1）
D ．()()2,01,3-⋃
11．设所有被4除余数为()0,1,2,3k k =的整数组成的集合为k A ，即
{}4,k A x x n k n Z ==+∈，则下列结论中错误的是（ ）
A ．02020A ∈
B ．3a b A +∈，则1a A ∈，2b A ∈
C ．31A -∈
D ．k a A ∈，k b A ∈，则0a b A -∈
12．如果集合{
}
2
210A x ax x =--=只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0
B ．0或1
C ．1-
D ．0或1-
二、填空题
13．设方程240x mx -+=的两根为α，β，其中[1,3]α∈，则实数m 的取值范围是________. 14．已知()1
4f x x
=-
，若存在区间[]()0a b ⊆+∞，
，，使得()[]{}[]|y y f x x a b ma mb =∈=，，，．则实数m 的取值范围是__________．
15．已知(5)3,1
()log ,1a
a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则a 的取值范围为
_________
16．函数
()
2
13
log 253y x x =--的单调递增区间为_______. 17．已知二次函数()()2
2,f x x ax b a b R =++∈，,M m 分别是函数()f x 在区间[]
0,2的最大值和最小值，则M m -的最小值是________ 18．
若y =
y 的取值范围是________
19．若集合(){}
2
220A x Z x a x a =∈-++-<中有且只有一个元素，则正实数a 的取
值范围是_____.
20．已知集合{}{}
2
|21,|20x
A y y
B x x x ==+=--<，则()
R C A B =__________．
三、解答题
21．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本()f x （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系
可近似地表示为()2
1100400004
f x x x =
-+． （1）写出自变量x 的取值范围；
（2）为使每吨平均处理成本最低（如处理400吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为
()
400400
f ），该厂每月处理量垃圾应为多少吨？ 22．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足
60万箱时，()2
1502
p x x x =+；当产量不小于60万箱时，()6400
1011860p x x x
=+
-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.
（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
23．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，()121
x
a
f x =++. （1）求实数a 的值及()f x 的解析式； （2）求方程4
|(1)|5
f x -=
的解. 24．已知函数
2
14
()log (238)f x mx x m =-+. （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 在1
[,2]2
上的值域；
（Ⅱ）若函数()f x 在(4,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围.
25．已知函数()y f u =的定义域为A ，值域为B .如果存在函数()u g x =，使得函数
[]()y f g x =的值域仍为B ，则称()u g x =是函数()y f u =的一个“等值域变换”.
（1）若函数2
()1y f u u ==+，1
()u g x x x
==+
(x >0)，请判断()u g x =是不是函数()y f u =的一个“等值域变换”？并说明理由；
（2）已知单调函数()y f u =的定义域为{}12A u u =≤≤，若221
()1
x ax u g x x x ++==++是
函数函数()y f u =的一个“等值域变换”，求实数a 的取值范围.
26．设集合{
}2
|320A x x x =++=，{
}
2
|2(1)30B x x a x a =++++=. (1)若{1}A B ⋂=-，求实数a 的值； (2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.
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一、选择题
1．D 解析：D 【分析】
画出函数()22,()
,()
x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得
【详解】
数形结合法：画出函数()22,()
,()
x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得
由图可得：204a a <<解得4a > 或2
04
a a >>-解得4a
故选：D 【点睛】
数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.
2．B
解析：B 【分析】
由函数的奇偶性和周期性作()f x 的图象，将方程的根的问题转化为两函数图象交点的问
题，从而得log (22)3
log (62)3a a
+<⎧⎨+>⎩，进而可求出实数a 的取值范围.
【详解】
依题意函数()f x 的图象关于y 轴及直线2x =对称，所以()f x 的周期为4， 作出[]2,0x ∈-时()f x 的图象，由()f x 的奇偶性和周期性作出()f x 的图象， 关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根， 可转化为函数()f x 与log (2)a y x =+的图象有三个不同的交点， 由数形结合可知log (22)3log (62)3
a a +<⎧⎨+>⎩，解得
2
322a <<，
故选:B ．
【点睛】
本题考查了数形结合的思想，考查了函数的奇偶性和周期性，考查了函数的零点与方程的根，考查了对数不等式的求解，属于中档题.画出函数的图象是本题的关键.
3．D
解析：D 【解析】
根据题意，函数y=f （x ）是定义域为R 的奇函数，则f （0）=0，
当x ∈（0，+∞）时是减函数，且f （1）=0，则函数在（0，+∞）上只有一个零点， 若函数y=f （x ）是奇函数且当x ∈（0，+∞）时是减函数，则f （x ）在（-∞，0）为减函数，
又由f （1）=0，则f （-1）=-f （1）=0，则函数在（-∞，0）上只有一个零点， 故函数y=f （x ）共有3个零点，依次为-1、0、1， 对于函数(
)
2
2y f x x =-， 当2
21x x -=-时，解得1x =±， 当220x x -=时，解得2x =±或0x =，
当221x x -=时，解得12x =+12x =--故函数(
)
2
2y f x x =-的零点共有7
个. 故选D
点睛：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的奇偶性与单调性的综合运用，关键是分析得到函数y=f （x ）的零点，注意计算的准确性.
4．D
解析：D 【分析】
由对数函数的单调性可得[]1,16m ∈，再结合对数函数的性质即可得解. 【详解】
由题意，函数2()log x f x =在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增， 且()116416f f ⎛⎫
==
⎪⎝⎭
，()10f =， 结合该函数在1,16m ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域为[0,4]可得[]1,16m ∈， 所以
1,822m ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，[]2lo 2g 0,32m m f ⎛⎫
= ⎪⎝∈⎭
.
故选：D. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定[]1,16m ∈，即可得解.
5．D
解析：D 【分析】
运用分段函数的形式写出()f x 的解析式，作出()21x
f x =-的图象，由数形结合可得
0c <且0a >，21c <且21a >，且()()0f c f a ->，去掉绝对值，化简即可得到结论．
【详解】
()21,02112,0
x x
x
x f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩， 作出()21x
f x =-的图象如图所示，
由图可知，要使c b a <<且()()()f c f a f b >>成立， 则有0c <且0a >，
故必有21c <且21a >，
又()()0f c f a ->，即为()12210c a
--->，
∴222a c +<． 故选：D ． 【点睛】
本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．
6．C
解析：C 【分析】 先判断
1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，原不等式等价于3log 14
a <，分类讨论，利
用对数函数的单调性求解即可. 【详解】 因为1
x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数，
所以
1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，
又因为11
(1)441f e -=+-=
所以()3(log )114a
f f <=等价于3
log 14
a <， 由1log a a =，知3
log log 4
a a a <,
当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故3
4a <
，从而304
a <<； 当1a >时，log a
y x =在()0,∞+上单调递增，故3
4
a >
，从而1a >， 综上所述， a 的取值范围是3
04
a <<或1a >，故选C. 【点睛】
解决抽象不等式()()f a f b <时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数()f x 的单调性．若函数()f x 为增函数，则a b <；若函数()f x 为减函数，则a b >．
7．B
解析：B 【分析】
根据函数是偶函数，求出a ，b 关系，结合单调性确定a 的符号即可得到结论． 【详解】
2()(3)()(3)3f x x ax b ax a b x b =--=-++为偶函数， 所以22()(3)3(3)3f x ax a b x b ax a b x b -=+++-=++ 30a b ∴+=，即3b a =-，
则2()(3)(3)(3)(3)9f x x ax a a x x ax a =-+=-+=-， 在(0,)+∞上单调递增，0a ∴>，
则由(2)(1)(5)0f x a x x -=--->，得(1)(5)0x x +->， 解得1x <-或5x >，
故不等式的解集为{|1x x <-或5}x >． 故选：B 【点睛】
思路点睛：解答本题只要按部就班化简转化函数为偶函数和单调性即可得解.由函数的奇偶性得到3b a =-，由函数的单调性得到0a >.
8．A
解析：A 【解析】
()()53531,1f x ax bx f x ax bx =++∴-=--+，
()()()()2,552f x f x f f +-=∴+-=，()5275f -=-=-，故选A. 9．C
解析：C 【分析】
由题意可知二次函数2
82
a y x x =-+在区间(],1-∞上为减函数，函数a
y x =在区间()
1,+∞上为减函数，且有92
a
a -≥，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】
由于函数()28,12
,1a
x x x f x a x x
⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为R 上的减函数，
则二次函数2
82
a
y x x =-
+在区间(],1-∞上为减函数，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线4a
x =，所以，14
a ≥；
函数a
y x =在区间()1,+∞上为减函数，则0a >，且有92
a a -≥.
所以，14092
a a a a ⎧≥⎪⎪
>⎨⎪⎪-≥⎩，解得46a ≤≤.
因此，实数a 的取值范围是[]4,6. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，要注意分析每支函数的单调性以及分界点处函数值的大小关系，考查计算能力，属于中等题.
10．B
解析：B 【分析】
化简集合A ，B ，根据交集运算即可求值. 【详解】
因为2
{|}A x x x =<(,0)(1,)=-∞⋃+∞，
26{|}(32)0,B x x x =+-<=-
所以()()3,01,2A B ⋂=-⋃. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题.
11．B
解析：B 【分析】
首先根据题意，利用k A 的意义，再根据选项判断. 【详解】
A.202045050=⨯+，所以02020A ∈，正确；
B.若3a b A +∈，则12,a A b A ∈∈，或21,a A b A ∈∈或03,a A b A ∈∈或30,a A b A ∈∈，故B 不正确；
C.()1413-=⨯-+，所以31A -∈，故C 正确；
D.4a n k =+，4b m k =+，,m n Z ∈，则()40,a b n m -=-+()n m Z -∈，故
0a b A -∈，故D 正确.
故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是理解k A 的意义，再将选项中的数写出k A 中的形式，就容易判断选项了.
12．D
解析：D 【分析】
由题意得知关于x 的方程2210ax x --=只有一个实数解，分0a =和00a ≠⎧⎨∆=⎩
两种情况讨论，可得出实数a 的值. 【详解】
由题意得知关于x 的方程2210ax x --=只有一个实数解.
当0a =，{}
12102A x x ⎧⎫=--==-⎨⎬⎩⎭
，合乎题意； 当0a ≠时，则440a ∆=+=，解得1a =-. 综上所述：0a =或1-，故选D. 【点睛】
本题考查集合的元素个数，本质上考查变系数的二次方程的根的个数，解题要注意对首项系数为零和非零两种情况讨论，考查分类讨论思想，属于中等题.
二、填空题
13．【分析】由题意利用韦达定理不等式的性质求出实数的取值范围【详解】解：方程的两根其中故即解得或令①解得；②解得综上可得故答案为：【点睛】本题考查二次函数根的分布问题属于中档题 解析：[]4,5
【分析】
由题意利用韦达定理，不等式的性质，求出实数m 的取值范围． 【详解】 解：
方程240x mx -+=的两根α，β，其中[1,3]α∈， 故0∆，即
()2
440m --⨯≥，解得4m ≥或4m ≤-，令
()24f x x mx =-+
①()()0130f f ∆⎧⎨≤⎩
，解得
13
53m ≤≤； ②()()01030132f f m ∆⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪
⎪≤≤⎪⎩
解得134,3m ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
综上可得[]4,5m ∈ 故答案为：[]4,5． 【点睛】
本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.
14．【分析】依题意在上单调增则（a ）（b ）从而可得必须有两个不相等的正根利用该方程有二异正根的条件即可求得实数的取值范围【详解】在是增函数在上值域为（a ）（b ）所以（a ）且（b ）即且所以且所以必须有两个 解析：(0,4)
【分析】 依题意，1
()4f x x
=-
在[a ，]b 上单调增，则f （a ）ma =，f （b ）mb =，从而可得210mx x -+=必须有两个不相等的正根，利用该方程有二异正根的条件即可求得实数m 的取值范围．
【详解】 1
()4f x x
=-
在(0,)+∞是增函数， ()f x ∴在[x a ∈，]b 上值域为[f （a ），f （b ）]
所以f （a ）ma =且f （b ）mb =， 即1
4ma a
-
=且14mb b -=，
所以2410ma a -+=且2410mb b -+=，
所以2410mx x -+=必须有两个不相等的正根，故0m ≠，
∴4
0101640m m m ⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪
=->⎪⎪⎩，解得04m <<．
∴实数m 的取值范围是(0,4)．
故答案为：(0,4)． 【点睛】
本题主要考查函数单调性的性质，着重考查二次函数根的分布问题，将所求的问题转化为
210mx x -+=必须有两个不相等的正根是关键，属于中档题．
15．【分析】根据在上单调递增列出不等式组求解即可【详解】解：在上单调递增即解得：即故答案为：【点睛】易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时要注意上下段端点值的问题
解析：5,54⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【分析】
根据()f x 在R 上单调递增，列出不等式组，求解即可.
【详解】 解：
(5)3,1()log ,1a
a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上单调递增，
即50153log 1
a a a a a ->⎧
⎪
>⎨
⎪--≤⎩
， 解得：
5
54
a ≤<， 即5,54
a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
， 故答案为：5,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时，要注意上下段端点值的问题.
16．【分析】先由求得函数的定义域然后令由复合函数的单调性求解【详解】由解得或所以函数的定义域为或因为在上递减在递减所以函数的单调递增区间为故答案为：【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的求法：对于复合函数
解析：1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
【分析】
先由22530x x -->，求得函数的定义域，然后令2253t x x =--，由复合函数的单调性求解. 【详解】
由22530x x -->，解得 1
2
x <-
或 3x >， 所以函数
()
2
13log 253y x x =--的定义域为{1|2
x x <-或 }3x >， 因为2253t x x =--在1,2⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭
上递减，13log y t =在()0,∞+递减， 所以函数()
2
13log 253y x x =--的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪
⎝
⎭. 故答案为：1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
【点睛】
方法点睛：复合函数的单调性的求法： 对于复合函数y ＝f [g (x )]，先求定义域，
若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；
若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．
17．【分析】求出函数的对称轴通过讨论的范围求出函数的单调区间求出的最小值即可【详解】由题意二次函数其对称轴为当即时在区间上为增函数当即时在区间上为减函数当即时在区间上为减函数在区间上为增函数；当即时在区 解析：2
【分析】
求出函数的对称轴，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出M m -的最小值即可. 【详解】
由题意，二次函数()2
22
2248a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝
⎭，其对称轴为4a x =-， 当04
a
-
≤，即0a ≥时，()f x 在区间[]0,2上为增函数， ∴()228M f a b ==++，()0m f b ==， ∴288M m a -=+≥，
当24
a
-
≥，即8a ≤-时，()f x 在区间[]0,2上为减函数， ∴()0M f b ==，()282m f a b ==++，
∴828M m a -=--≥，
当014a <-
≤，即40a -≤<时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上
为增函数，
∴()228M f a b ==++，248a a m f b ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
，∴()21828M m a -=+≥；
当124a <-
<，即84a -<<-时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
上为增函数，
∴()0M f b ==，248a a m f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，∴2
28a M m -=>.
综上所述：M m -的最小值是2. 故答案为：2. 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，函数的单调性，最值问题，分类讨论思想，转化思想，属于中档题．
18．【分析】首先求出的取值范围令将函数转化为三角函数再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得；【详解】解：因为所以解得令则所以因为所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查函数的值域的计算换元法的应用三角
解析：
【分析】
首先求出x 的取值范围，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
将函数转化为三角函数，再根据三
角恒等变换及三角函数的性质计算可得； 【详解】
解：因为y =所以401830
x x -≥⎧⎨
-≥⎩解得46x ≤≤，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
则y t t ==
3t π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
所以3y t π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭， 因为0,
2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336t πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，所以1sin ,132t π⎛⎫⎡⎤
+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
所以y ∈
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的值域的计算，换元法的应用，三角函数及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.
19．【分析】因为集合A 中的条件是含参数的一元二次不等式首先想到的是十字相乘法但此题行不通;应该把此不等式等价转化为的形式然后数形结合来解答需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数【详解】解:且∴令∴∴是
解析：12,23⎛⎤
⎥⎝⎦
【分析】
因为集合A 中的条件是含参数的一元二次不等式,首先想到的是十字相乘法,但此题行不通;应该把此不等式等价转化为()()f x g x ＜的形式,然后数形结合来解答,需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数． 【详解】 解:
()2220x a x a -++-<且0a >
∴()2
221x x a x -+<+
令()()()2
22;1f x x x g x a x =-+=+
∴()()},{|A x f x g x x Z =∈＜
∴()y f x =是一个二次函数,图象是确定的一条抛物线; 而()y g x =一次函数,图象是过一定点()1,0-的动直线． 又∵,0x Z a ∈>．数形结合,可得:1223
a <≤ 故答案为:12,23⎛⎤
⎥⎝⎦
【点睛】
此题主要考查集合A 的几何意义的灵活运用，利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题．
20．【分析】求函数的值域求得集合解一元二次不等式求得集合由此求得【详解】根据指数函数的性质可知所以有解得即所以故答案为【点睛】本小题主要考查集合交集补集的运算考查指数型函数值域的求法考查一元二次不等式的 解析：(]1,1-
【分析】
求函数的值域求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ，由此求得()R C A B ⋂. 【详解】
根据指数函数的性质可知，211x
y =+>，所以()1,A =+∞，有
()()22210x x x x --=-+<解得12x -<<，即()1,2B =-，所以()R C A B =(]1,1-.
故答案为(]1,1-. 【点睛】
本小题主要考查集合交集、补集的运算，考查指数型函数值域的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
三、解答题
21．（Ⅰ）300600x ≤≤；（Ⅱ）400吨．
【分析】
（1）根据已知可得答案；
（2）根据已知可得每吨平均处理成本
()()140000
1003006004f x y x x x x =
=+-≤≤，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】 （1）300600x ≤≤
（2）依题意，每吨平均处理成本
()()140000
1003006004f x y x x x x =
=+-≤≤元，
因为
1400002004x x +≥=， 当且仅当
140000
4x x
=即400x =时，等号成立 所以200100100y ≥-=，
所以该厂每月处理量垃圾为400吨时，每吨平均处理成本最低为100元. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
22．（1）2
150400,0602
64001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
；（2）80万箱.
【分析】
（1）分060x <<和60x ≥两种情况分析，利用利润等于销售收入减去成本可得出口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；
（2）分060x <<和60x ≥两种情况分析，利用二次函数和基本不等式求出口罩销售利润y 的最大值及其对应的x 值，综合可得出结论. 【详解】
（1）当060x <<时，2211100504005040022y x x x x x ⎛⎫
=-+-=-+- ⎪⎝⎭
；
当60x ≥时，6400640010010118604001460y x x x x x ⎛
⎫⎛
⎫=-+
--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
所以，2
150400,0602
64001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
；
（2）当060x <<时，2211
50400(50)85022
y x x x =-+-=--+， 当50x =时，y 取得最大值，最大值为850万元；
当60x ≥
时，6400146014601300y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当6400
x x
=
时，即80x =时，y 取得最大值，最大值为1300万元. 综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元. 【点睛】
思路点睛：解函数应用题的一般程序：
第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．
23．(1) 2a =-,()21
21
x x f x -=+;(2) 212log 3x =+或212log 3x =-
【分析】
(1)根据奇函数(0)0f =求解a ,再根据奇函数的性质求解()f x 的解析式即可.
(2)根据(1)可得()21
21
x x f x -=+为奇函数,可先求解4|()|5f t =的根,再求解4|(1)|5f x -=即可.
【详解】
(1)因为()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()121x
a
f x =+
+,故0(0)1021
a f =+=+,即102a +=,解得2a =-.故当0x ≥时,()221
12121x
x x f x -=-=++. 所以当0x < 时, ()()211221
211221
x x x x x
x
f x f x -----=--=-=-=+++. 故()21
21
x x f x -=+
(2) 先求解4|()|5f t =,此时()214
215
t t f t -==±+.
当()()214421521215
t t t t -=⇒+=-+,即29t =解得22log 92log 3t ==. 因为()2121x x f x -=+为奇函数,故当214
215
t t -=-+时, 22log 3t =-.
故4
|(1)|5
f x -=
的解为212log 3x -=或212log 3x -=-, 解得212log 3x =+或212log 3x =- 【点睛】
本题主要考查了根据奇函数求解参数的值以及解析式的方法,同时也考查了根据函数性质求解绝对值方程的问题,属于中档题. 24．（Ⅰ）11
44
55log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣
⎦（Ⅱ）3,10⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】
（Ⅰ）把1m =代入，可得(
)
12
2
()log 238f x x x =-+，令2
238y x x =-+，求出其在
1
[,2]2
上的值域，利用对数函数的单调性即可求解. （Ⅱ）根据对数函数的单调性可得2
()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，再利用
二次函数的图像与性质可得0,34,4(4)0,
m m g >⎧⎪⎪
≤⎨⎪≥⎪⎩解不等式组即可求解. 【详解】
（Ⅰ）当1m =时，(
)
12
2
()log 238f x x x =-+，
此时函数()f x 的定义域为1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 因为函数2
238y x x =-+的最小值为2428355
88
⨯⨯-=
. 最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦； （Ⅱ）因为函数
14
log y x =在(0,)+∞上单调递减，
故2
()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，则0,
34,4(4)0,
m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩
解得310m ≥
，综上所述，实数m 的取值范围3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题. 25．（1）不是；证明见详解.（2）∅ 【分析】
（1）求出2()1y f u u ==+的值域以及[]
()y f g x =的值域，根据题中定义即可判断.
（2）根据题意可得221
()1
x ax g x x x ++=++的值域与u 的取值范围相同，转化为
()2211x ax u x x ++=++，从而可得0∆≥，再由12u ≤≤，利用韦达定理即可求解.
【详解】
（1）1
()u g x x x
==+(x >0) 不是函数()y f u =的一个“等值域变换”， 证明如下：
2()11y f u u ==+≥，
()f u ∴的值域为[)1,+∞，
又[]2
2211()13y f g x x x x x ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭，
2212x x +
≥=，当且仅当1x =时取等号， []221
()35y f g x x x
+
∴==+≥， 即[]
()y f g x =的值域为[)5,+∞， 两函数的值域不同，
∴1
()u g x x x
==+
(x >0) 不是函数()y f u =的一个“等值域变换”. （2）
()y f u =在定义域[]1,2上为单调函数，
∴()y f u =在两端点处取得最值，
又
2
2
1
()1
x ax u g x x x ++==++是函数函数()y f u =的一个“等值域变换”， ∴[]()y f g x =与()y f u =值域相同，
()12g x ∴≤≤，即()g x 的值域与u 的取值范围相同，
由2211
x ax u x x ++=++得()22
11x ax u x x ++=++，
()()2110u x a u x u ∴-+-+-=有根，
()()22
410a u u ∴∆=---≥，
即()2
2
32840u a u a +-+-≤，
又12u ≤≤，1,2∴是方程()2
2
32840u a u a +-+-=的两个根，
2
28121324123a a a a a -⎧
+=-⎧⎪=-⎪⎪∴⇒⇒∈∅⎨⎨-⎪⎪∈∅⨯=⎩⎪⎩
， 所以实数a 的取值范围是∅. 【点睛】
方法点睛：本题考查了函数的值域求法，常见方法如下： （1）利用函数的单调性求值域. （2）对于分式型的值域利用分离常数法. （3）换元法. （4）数形结合法. （5）判别式法.
26．（1）2（2）21a -<≤ 【分析】
（1）先化简{}
{}2
|3202,1=++==--A x x x ，再由{1}A B ⋂=-，则1B -∈，代入
求解.
（2）将A B A ⋃=转化为B A ⊆，再分B 是空集和不是空集两种情况讨论求解. 【详解】
（1）因为{}
{}2
|3202,1=++==--A x x x
又因为{1}A B ⋂=- 所以1B -∈
所以()12(1)130++⨯-++=a a 解得：2a = （2）因为A B A ⋃= 所以B A ⊆
当()2
[2(1)]430∆=+-+<a a 时
解得21a -<<，B =∅ 成立 当()2
[2(1)]430∆=+-+=a a 时
解得：2a =-或1a =
当2a =-时， {}1B =，不成立， 当1a =时，{}2B =-，成立，
当()2
[2(1)]43>0∆=+-+a a 时 解得：2a <-或>1a ，此时{}2,1==--B A 才成立，
而2(a+1)=-332a ⎧⎨+=⎩ ，解得 5=-21
a a ⎧⎪⎨⎪=-⎩无解. 综上：实数a 的取值范围21a -<≤
【点睛】
本题主要考查了集合的基本运算和已知集合关系求参数的问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。