高二数学人教B版选修1-1全册课件3-1-1平均变化率、瞬时速度与导数

导数的方法．
3．情感、态度与价值观
经历由平均速度到瞬时速度刻画现实问题的过程，感
受导数在实际问题中的应用，初步认识导数的应用价值，
树立学好数学的信心．
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
本节重点：函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、
导数的概念．
四则运算法则，通过具体实例，认识导数的工具性及其与
实际问题的联系，感受导数在解题中的作用，充分体会数
形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想及理论联系实
际的思想方法．
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
人
教
B
3．1 导 数
版 数 学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
的平均速度为
v ＝ΔΔyx＝f(22)－－f1(1)＝[－2×22＋12]－－[1－2×12＋1] ＝－6，故选 D.
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
[例 2] 以初速度 v0(v0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度
为 s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 处的瞬时速度．
人 教
B
4．如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导
数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定函数f′(x)，称这个函数f′(x)为函
教 B
版
数y＝f(x)在开区间(a，b)内的
导函数 ，简称 导数 ．
数 学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
人 教 B 版 数 学
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
1．知识与技能
了解函数的平均变化率的概念，会求函数的平均变化
率，知道函数的瞬时速度的概念，理解导数的概念，能利
用导数的定义求导数．
人
2．过程与方法
教 B
经历从实例中抽象出导数概念的过程，体会由特殊到
版 数
一般的思维方法，通过例题的学习和体会，掌握用定义求 学
[解析]
∵Δs
＝
v0(t0
＋Δt)－
1 2
g(t0＋
Δt)2
－(v0t0
－
1 2
gt02＝
版 数 学
(v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，当 Δt→0 时，ΔΔst→v0－gt0.
故物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v0－gt0.
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
二、填空题
4．已知函数 f(x)在 x＝1 处可导，且 f′(1)＝1，则lxi→m0
f(1＋xx)－f(1)＝________.
人 教 B
[答案] 1
版 数
学
[解析] 根据导数的定义，
lxi→m0 f(1＋xx)－f(1)＝f′(1)＝1.
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
＝Δx2＋3Δx＋3.
设当 Δx＝0.1 时割线的斜率为 k1，则 k1＝0.12＋3×0.1
＋3＝3.31.
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
[说明] 一般地，设曲线 C 是函数 y＝f(x)的图象，P(x0，
y0)是曲线上的定点，点 Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是曲线上与点 P 人
教
邻近的点，则有 y0＝f(x0)，y0＋Δy＝f(x0＋Δx)，割线 PQ 的斜
人 教
B
均变化率，即求ΔΔyx.第三步：求极限，即求 liΔxm→0 ΔΔyx，可简
版 数 学
记为“一差二化三极限”．
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
[例4] 已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x)，f′(0)，f′(2)． [分析] 求导数的步骤一般是先求导函数，再求导函 数在各点的导数．
[误解] f′(x)＝liΔxm→0
2(x＋Δx)＋1－ Δx
2x＋1，分母
人 教 B 版
数
趋近于 0，所以此函数无导数．
学
[辨析] 求导数要与代数式的变形结合起来，利用分
子有理化的方法，最终约去分子上的根号．
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
[正解] f′(x)＝liΔxm→0
2(x＋Δx)＋1－ 2x＋1 Δx
版 数 学
＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2＝－(Δx)2－Δx，于是 f′(2)
＝liΔxm→0
－(Δx)2－Δx Δx
＝liΔxm→0 (－Δx－1)＝－1.
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
[例 5] 求函数 f(x)＝ 2x＋1的导数．
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
●课程目标
1．双基目标
(1)理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此变
人
化率．
教
B
版
(2)理解运动物体的速度在某时刻的瞬时变化率(瞬时速
数 学
[解析] 因为Δf＝(x＋Δx－1)2－(x－1)2＝2xΔx－2Δx＋ 人
教
(Δx)2，
B 版
数
所以ΔΔxf ＝2xΔx－2ΔΔxx＋(Δx)2＝2x－2＋Δx，
学
所以 f′(x)＝liΔxm→0 ΔΔxf＝liΔxm→0 (2x－2＋Δx)＝2x－2，
所以 f′(0)＝2·0－2＝－2，f′(2)＝2·2－2＝2，
＝liΔxm→0
2(x＋Δx)＋1－2x－1 Δx( 2(Δx＋x)＋1＋ 2x＋1)
人 教 B 版 数
学
＝liΔxm→0
2 2(x＋Δx)＋1＋
2x＋1＝
1 2x＋1 .
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
一、选择题
1．在曲线 y＝x2＋1 的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1
人
＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，
教 B
版
数
所以ΔΔyx＝2Δx＋Δx(Δx)2＝2＋Δx，
学
所以 liΔxm→0 ΔΔyx＝liΔxm→0 (2＋Δx)＝2.
所以 y′|x＝1＝2.
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
[说明] 用导数的定义求一个函数的导数的步骤：第一
步：求函数的增量，即求 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)．第二步：求平
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
●重点难点
本章重点：导数的运算和利用导数解决实际问题．
本章难点：导数概念的理解．
●学法探究
人
导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问
教 B
题的有力工具．学习本章要认真理解平均变化率、瞬时速
版 数
学
度的概念，进一步理解导数的概念和导函数的定义，掌握
导数的几何意义，掌握基本初等函数的导数公式和导数的
人
教
本节难点：导数的概念．
B 版
数
学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
本节学习的有关概念比较抽象，学习时应通过实例理
解相关概念，深刻体会数学源于生活，又应用于生活．
人
对导数的定义要注意两点：第一：Δx是自变量x在x0处
教 B
版
的改变量，所以Δx可正可负，但Δx≠0；第二：函数在某点
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
3．f(x)在 x＝x0 处可导，则Δlit→ m0 f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)(
)
A．与x0，Δx有关
人
B．仅与x0有关，而与Δx无关
教 B 版
C．仅与Δx有关，而与x0无关
数 学
D．与x0，Δx均无关
[答案] B
[解析] f(x)在x0处的导数与x0有关，与Δx无关．
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
[例1] 过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋
Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
人
[解析] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1
教
B
＝Δx3＋3Δx2＋3Δx，
版 数
学
∴割线 PQ 的斜率 k＝ΔΔyx＝Δx3＋3ΔΔxx2＋3Δx
数 学
的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比
的极限值．因此它是一个常数而不是变数．
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
人
教
(5)能根据导数定义求出函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝
B 版
数
x3，y＝1x，y＝ x的导数．
学
(6)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四
则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限
于形如)f(ax＋b)的导数．
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
(7)了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究
因此 f′(x)＝2x－2，f′(0)＝－2，f′(2)＝2.
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
利用导数定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
[解析] 由导数的定义知，函数在 x＝2 处的导数
人 教
B
f′(2)＝liΔxm→0 f(2＋ΔΔxx)－f(2)，而 f(2＋Δx)－f(2)＝－(2
＋Δx,2＋Δy)，则ΔΔyx为 A．Δx＋Δ1x＋2
人
教
()
B
版
数
学
B．Δx－Δ1x－2
C．Δx＋2
D．2＋Δx－Δ1x
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
[答案] C
[解析] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－12－1 人
教
＝Δx2＋2Δx.
B 版
数
学
∴ΔΔyx＝Δx＋2.
函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区
间．
(8)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要
人 教
B
条件和充分条件；会利用导数求不超过三次的多项式函数
版 数
学
的极大值、极小值，以及在给定区间上的多项式函数的最
大值、最小值．
(9)了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，
如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体现导数在
度)，理解函数在x0处的瞬时变化率，理解导数的概念和定
义，会求函数在某点处的瞬时变化率(导数)．
(3)理解导数的几何意义，并会求出曲线在某点处的切
线方程．
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
(4)了解常数函数和幂函数的求导方法和规律，会求任
意幂函数y＝xα，α∈Q的导数，掌握基本初等函数的导数公
式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数．
B 版
数
率 k＝ΔΔyx＝f(x0Δ＋xΔx).
学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
某质点沿曲线运动的方程为y＝－2x2＋1(x表示时间，y
表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2时的平均速度为( )
A．－4
B．－8
人 教
B
C．6
D．－6
版 数
学
[解析] 令f(x)＝y＝－2x2＋1，则质点从x＝1到x＝2时
人 教
B
3Δt－4Δt－Δt2＝－Δt－Δt2，
版 数
学
∴ΔΔst＝－ΔΔt－t Δt2＝－1－Δt.
∴v＝Δlitm→0 ΔΔst＝Δlitm→0 (－1－Δt)＝－1.
∴物体在 t＝2 时的瞬时速度为－1.
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
[例3] 求y＝x2在点x＝1处的导数．
[解析] 因为Δy＝(x＋Δx)2－x2
[说明] 瞬时速度是平均速度在Δt→0时的极限值．因 人
此，要求瞬时速度应先求出平均速度．
教 B
版
数
学
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t
－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度．
[解析] 由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝
5．已知函数 y＝x3－2，当 x＝2 时，ΔΔyx＝__________.
[答案] (Δx)2＋6Δx＋12
人
[解析] Δy＝(Δx＋2)3－2－23＋2
教 B
版
＝Δx3＋6Δx2＋12Δx，
数 学
∴ΔΔyx＝Δx2＋6Δx＋12.
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
2．如果质点A按规律s＝2t3运动，则在t＝3秒时的瞬时
速度为
()
A．6
B．18
C．54
D．81
人 教
B
[答案] C
版 数
学
[解析] s(t)＝2t3，Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝2Δt3＋18Δt2＋
54Δt，
ΔΔst＝2Δt2＋18Δt＋54，在 t＝3 秒时的瞬时速度为： Δlitm→0 ΔΔst＝Δlitm→0 (2Δt2＋18Δt＋54)＝54.
解决实际问题中的作用．
第三章 导数及其应用 (选修1-1)
2．情感目标 通过具体实例，认识导数的工具性及其与实际问题的
人
联系，感受和体会导数在解决实际问题中的作用，提高学 教 B 版
生学习兴趣，感受导数在解题中的作用和威力，自觉形成 数 学
将数学理论和实际问题相结合的思想，在解题过程中，逐 步养成扎实严格、实事求是的科学态度．