用旋转迭代扫描法制作五角星Koch迭代图

用旋转迭代扫描法制作五角星Koch迭代图
重庆市万州第二高级中学向忠
下图为五角星Koch迭代图，本文介绍用旋转迭代技术扫描实现的几何画板制作方法。

一、迭代原理
4次旋转和平移
变换得到4个较小红色五角星，并连同原玫瑰色五角星，组成第一级迭代象如左图；
后，分别作旋转和平移变换，并以玫瑰色五角星分
别覆盖到四个红色五角星位置，如右图所示得到组成第二级迭代象；……；最后把所得图形的方框内的部分，复制并旋转到蓝色空心五角星位置，得到五角星Koch迭代图。

二、制作方法
1.作五角星陷阱
如下左图，作中心为B，BA为半径的五角星形的多边形，过任意点Z作射线BZ，作射线BZ与多边形第一交点C，求B、C、Z三点比m1=BZ/BC，计算S=m1*(1-sgn(trunc(m1)))，V=(1-S)^0.1*sgn(S)，新建参数H=1，若对Z进行HSV着色，可以扫描成下右图。

2.制订旋转迭代格式
2.1分区
如下图把作图区域均分为编号为0、1、2、3、4的五个区块，为判断像素点P所在的区块的编号，先用标记工具标记∠EBP，并在属性中设标记角为“逆时针”，度量∠EBP，设系统角度单位为“弧度”，计算P的区块编号loc=trunk(2.5∠EBP/π)(这里所带单位忽略)；
2.2作1~4区块小圆到大圆B的扫描变换
为了能通过一次迭代得到上图灰色部分效果图，可以将外围四个灰色小圆分别旋转到白色小圆D后，再位似变换到中心圆B。

如上图以B为比，缩放点A得点D；计算角度θ=-0.4π*loc，把每个区块1、2、3、4内的点像素点P以B为中心，顺时针方向旋转θ，得到区块0的相
应位置的点P´后，依次选中D、A、B，标记为比，标记P´为中心，缩放A得A´，则A´即为P´的位似变换点，这样变换P→A´就可以将四个灰色小圆变换成中心圆B。

为仅使灰色小圆内部的像素点P点落入中心圆B后停止迭代，先求P关于中心圆B和区块0的外部真值if1和if2。

度量距离PB和AB，计算if1=sgn(1+sgn(PB-AB))和if2=sgn(loc)，标记P为中心、if1为比缩放点A´得A´´，标记if1为比缩放点A´´得A´´´，则P→A´´´就是1~4区块小圆到大圆B的扫描变换。

2.3五角星Koch迭代图
新建参数n=7、t0=0，计算t0+(1-if1)，h=t0/n，作线段FG，在FG上值为h的点T，作深度为n、{P，t0}→{A´´´，t}的迭代，作A´´´和T的迭代像的终点Z、iT，度量iT 在线段FG是的点值，记为H。

合并两个Z点，如果以这个H和S、V对P着色，即可扫描出下左图
为补齐区块1的图形，把区块1的图形旋转到区块1。

为此再作像素点pixel，作pixel→pixel´的变换：当pixel在区块1时，以B为中心将pixel逆时针方向旋转2π/5弧度得pixel´；当pixel不在区块1时pixel´重合于pixel。

依次选中点B、A、P和if2
作自定义工具，并用此工具依次匹配点B、A、pixel得计算值m5，计算0.4π弧度*(1-m5)并标记角度，标记中心B，旋转点pixel得pixel´。

将P合并到pixel´后，对点pixel进行HSV着色，扫描得五角星Koch迭代图(上右图)。