§4.6 正弦定理和余弦定理资料

要点梳理
已知条件
一边和两角 (ASA) 两边和其中 一边的对角 (SSA) 两边和夹角 (SAS) 三边 (SSS)
忆一忆知识要点
4. 斜三角形的解法
定理选用
一般解法
由A+B+C=180˚,求出另一角, 正弦定理 再用正弦定理求出两边. 用正弦定理求出另一对角,再 正弦定理 由A+B+C=180˚,得出第三角, 然后用正弦定理求出第三边. 用余弦定理求第三边,再用 余弦定理 余弦定理求出一角,再由 A+B+C=180˚得出第三角. 用余弦定理求出两角,再由 余弦定理 A+B+C=180˚得出第三角.
步步高大一轮复习讲义
正弦定理和余弦定理
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知识网络
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要点梳理
1. 正弦定理
正弦定理
忆一忆知识要点
a b c 2 R ( R为三角形外接圆半径 ) sin A sin B sin C
正弦定理的变形 (1) a:b:c=sinA:sinB:sinC
(2) a 2 R sin A, (3)sin A a 2R
得 得 得 b ＝(a＋c) －2ac－ 2accos B， 1 ∴13 13＝ ＝16 16－ －2 2ac ac(1 ， ∴ ac ＝ 3. (1 1 ) 1) ∴ ， ∴ ac ＝ 3. ) ，∴ac＝3. 1 2 2 ∴13＝16－2ac (1 2) ，∴ac＝3. 2 1 3 3 3 1 3 3 3 ∴S S△ . △ABC＝ acsin B＝ ∴ ＝ ac sin B ＝ . 1 3 3 ＝ . 2 4 △ABC ABC 2 4 . ∴S△ABC ＝ acsin B＝ 4 2 4 探究提高
∵ a > b ， ∴ A ＝ 60° 或 A ＝ 120° ∵ a > b ， ∴ A ＝ 60° 或 A ＝ 120° ∵ a > b ， ∴ A 60° 或 A ＝ 120° ∵ a > b ， ∴ A ＝ 60° 或 A ＝ 120° .. . . . ∵ a > b ， ∴ A ＝ 60° 或 A ＝ 120°
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题 型二
利用余弦定理求解三角形
【例 2】在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 cos B b 2 2 2 2 2 ＝－ . (1)求角 B 的大小； a＋ c－ b a2 ＋b2 －c cos C 2a＋c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ＋ c － b a ＋ b － c 解:(1)由余弦定理知：cos B＝ ，cos C ＝ a ＋ c － b a ＋ b － c. a ＋ c － b a ＋ b － c 2 ac 2 ab 解 :(1) 由余弦定理知： cos B ＝ ， cos C ＝ 解 :(1) 由余弦定理知： cosB B ＝ 2ac ， ， cosC C ＝ 2ab .. 解 :(1) 由余弦定理知： cos ＝ cos ＝ 2 ac ab 2ac 22 ab cos B b cos B b 将上式代入 ＝－ cos B b 得得 cos B b 将上式代入 ＝－ cos C 2 a＋ c 将上式代入cos C＝－ ＝－2a＋ 得 将上式代入 得 c cos C 2 a ＋ c cos C 2a＋c 2 2 2 2 2 2 22 22 22 a ＋ c － b 2 ab b 2 2 2 2 2 2 a ＋ c － b 2 ab b a＋ ＋ c－ － b· 2 ab b a c b · ， 2 2ab 2 2 2＝－b ＝－ ， 2 2 2 2 2 · ＝－ ， 2 2 2 2 ac a ＋ b － c 2 a ＋ c 2 2 2 · ＝－ ， 2 ac 2＋ 2－ 2 a b c 2 a ＋ c 2 ac a ＋ b － c 2 a ＋ c 2 ac a ＋ b － c 2 a ＋ c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 整理得： a ＋ c － b ＝－ ac .. . 整理得： a ＋ c － b ＝－ ac 整理得： a＋ ＋ c － b ＝－ ac 整理得： a c － b ＝－ ac . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ＋ c － b － ac 1 a＋ ＋ c － b － － ac 1 a ＋ c － b － ac 1. 1 a c － b ac ∴ cos B ＝ ＝ ＝－ ∴ cosB ＝ 2ac ＝ ＝ ＝－ ∴ B ＝ ＝ ＝－ ∴ cos ＝ ＝－ . . 2. 2 ac 2 2 ac 2 ac 2 ac 2 ac 2 2ac 2ac 2 2 2π. 2 2 ∵ B 为三角形的内角， ∴ B ＝ ∵ B为三角形的内角， 为三角形的内角， ∴ B ＝ π. π. ∵ B ∴ B ＝ π. ∵ B 为三角形的内角， ∴ B＝ 3 3 3 3
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要点梳理
忆一忆知识要点
5. 三角形解的个数的判断(a, b, A)
A为锐角
A为钝角 或直角
图形
关系 式 解的 个数
a b sin A b sin A a b
a≥b
ab
一解
一解
两解
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一解
基础自测
题号 答案
1 2
1
2
6 3
3 4 5
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3
C
题 型一
利用正弦定理求解三角形
【例 1】在△ABC 中,a＝ 3,b＝ 2,B＝45° .求角 A,C 和边 c. b aa bb 33 3 2 22 2 33 3 a b 3 3 a b 3 2 3 解 :由正弦定理得 ＝ ＝ ， ＝ ， ∴ sin A ＝ 解 :由正弦定理得 由正弦定理得 ＝ ， ＝ ， ∴ sin A ＝ .. . 解 ＝ ， ＝ ， ∴ sin A ＝ 解 :: 由正弦定理得 ， ＝ ， ∴ sin A ＝ . 解 由正弦定理得 ＝ ， ＝ ， ∴ sin A ＝ . sin A sin B sin A sin 45° 2 sin A sin B sin A sin 45° 2 sin sin 45° 2 sin B sin A sin 2 sin A A Asin sin B B sinsin A A sin 45° 45° 2

π π ∵A A＋ ＋C C＝ ＝2 2B B且 且A A＋ ＋B B＋ ＋C C＝ ＝π π， ，∴ ∴B B＝ ＝ .. ∵ 3 3 asin sin B B 1 1 a 由正弦定理知：sin sin A A＝ ＝ ＝， ， 由正弦定理知： ＝ b 2 b 2 π π π.. 又 a < b ， ∴ A < B ， ∴ A ＝ 又 a < b ， ∴ A < B ， ∴ A ＝ 又 a<b，∴A<B，∴A＝ 6 . 6 6
(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行 变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、 方程思想在解题过程中的运用． 主页
3 2 2 b2＝ ＝( (a a＋ ＋c c) )2 2－2ac－2accos B， b ac－ －2 2ac accos cos B B， ， 2 2b2+c2-2bccosA
2 2 2 b c a 余弦定理的变形 cos A 2bc 2 2 2 2 2 2 a b c a c b cos C cos B 2ab 2ac 余弦定理的推论:在△ABC中,设边c为最长边
b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC
变式训练 2 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 A 2 5 → → cos ＝ ，AB· AC＝3. 2 5
(1)求△ABC 的面积； (2) 若 b＋c＝6，求 a 的值． A 2 5 A A 3 3 33 2 5 2A A A 2 5 2 A A 2 5 2 2 －1＝ A A 2 5 3 解 :(1) 因为 cos ＝ ，所以 cos A ＝ 2cos － 1 ＝ ， 解 :(1) 因为 cos ＝ ，所以 cos A ＝ 2cos － 1 ＝ 2 A A 2 5 3 解 :(1) 因为 cos ＝ ，所以 cos A ＝ 2cos ， 解 :(1) 因为 cos ＝ ，所以 cos A ＝ 2cos － 1 ＝ ， A A 2 2 5 2 5 2 3 5，
6 ＋ b sin CC 6 ＋ 22 2 b sin C 6 ＋ 2 b sin C 6 ＋ 6 ＋ 2 b sin b sin C 当 A ＝ 60° 时 ,＝ C ＝ 180° － 45° － 60° ＝ 75° ,c ＝ ＝ ＝ ;;; ; ; 当 A ＝ 60° 时 ,C ＝ 180° － 45° － 60° ＝ 75° ,＝ c ＝ ＝ 当 A ＝ 60° 时 ,, C ＝ 180° － 45° － 60° ＝ 75° ,, c ＝ 当 A ＝ 60° 时 C 180° － 45° － 60° ＝ 75° c ＝ ＝ 当 A ＝ 60° 时 , C ＝ 180° － 45° － 60° ＝ 75° ,sin c ＝ sin B sin BB 2 B sin B 222 2 sin 6 － b sin C 6 6 － 22 b sin C － 2 b sin C 6 － 2 b sin C 6.－ sin C 当 A ＝ 120° 时 ,C ＝ 180° － 45° － 120° ＝ 15° ,＝ c ＝ ＝ .. 当 A ＝ 120° 时 ,＝ C ＝ 180° － 45° － 120° ＝ 15° ,c ＝sinb ＝ 当 A ＝ 120° 时 , C ＝ 180° － 45° － 120° ＝ 15° , c ＝ 当 A ＝ 120° 时 , C 180° － 45° － 120° ＝ 15° , c ＝ ＝ . B 2 sin B 2 当 A＝120° 时,C＝180° －45° －120° ＝15° ,sin c ＝ ＝ sin B B 2 sin B 2 2
2 R sin A sin B sin C
R为△外接圆半径
1 (a b c )r S ABC 2
r为△内切圆半径
1 ah 1 bh 1 ch S ABC 2 a 2 b 2 c
S ABC p( p a)( p b)( p c)
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(a b c ) p 2
a b (4) , sin A sin B
b sin A a , sinA a sinB sin B b
a sinB b sinA abc a b a (5) 2 R . sin A sinA sinB sin A sin B sin C
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要点梳理
2. 余弦定理
探究提高
(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需 直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定 理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点， 应引起注意．
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变式训练 1
(典例新编)已知 a， b， c 分别是△ABC 的三个内角 A， B，C 所对的边，若 a＝1，b＝ 3，A＋C＝2B，则角 A 的大小为________ ． 6
(1) a b c △ABC是直角三角形 (2) a 2 b 2 c 2 △ABC是锐角三角形 2 2 2 (3) a b c △ABC是钝角三角形
2 2 2
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要点梳理
忆一忆知识要点
3. 三角形的面积及常用关系式
(1)
(2) (3) (4) (5)
1 ab sin C 1 ac sin B 1 bc sin A S ABC 2 2 2 2 abc S ABC 4 R
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题 型二
利用余弦定理求解三角形
【例 2】在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 cos B b 2 ＝－ .(2)若 b＝ 13，a ＋c＝4，求△ ABC 的面积． 2 2 2 2 2 cos C 2 a ＋ c 2 2 2 (2) 将b b＝ ＝ 13 13， ，a a＋ ＋c c＝ ＝4 4， ，B B＝ ＝2π π 代入 代入b b2 ＝ a2 ＋ c2 － 2 ac cosB B ， (2)将 ＝ a ＋ c － 2 ac cos ， ＝ 4 ， B ＝ π 代入 b ＝ a ＋ c － 2 ac cos B ， 3 3π 代入 b2＝a2＋c2－2accos B， (2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝3