三维设计高考数学苏教版理科一轮复习课时检测16.1绝对值不等式(含答案详析)

课时跟踪检测(七十七) 绝对值不等式
1．(2013·福建高考)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12
∉A . (1)求a 的值；
(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．
2．设函数f (x )＝|x －a |＋2x ，其中a >0.
(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥2x ＋1的解集；
(2)若x ∈(－2，＋∞)时，恒有f (x )>0，求a 的取值范围．
3．已知函数f (x )＝|x －a |－2|x －1|(a ∈R )．
(1)当a ＝3时，求函数f (x )的最大值；
(2)解关于x 的不等式f (x )≥0.
4．已知函数f (x )＝|x －1|.
(1)解关于x 的不等式f (x )＋x 2－1>0；
(2)若g (x )＝－|x ＋3|＋m ，f (x )<g (x )的解集非空，求实数m 的取值范围．
5．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|－a .
(1)当a ＝5时，求函数f (x )的定义域；
(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围．
6．已知函数f (x )＝|x －2|＋2|x －a |(a ∈R )．
(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>3；
(2)不等式f (x )≥1在区间(－∞，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．
7．(2014·郑州模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.
(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；
(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．
8．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足下列条件：
①当x ∈R 时，f (x )的最小值为0，且f (x －1)＝f (－x －1)恒成立；
②当x ∈(0,5)时，x ≤f (x )≤2|x －1|＋1恒成立．
(1)求f (1)的值；
(2)求f (x )的解析式；
(3)求最大的实数m (m >1)，使得存在实数t ，当x ∈[1，m ]时，f (x ＋t )≤x 恒成立．
答 案
1．解：(1)因为32∈A ，且12
∉A ， 所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪
⎪12－2≥a ， 解得12<a ≤32
. 又因为a ∈N *，所以a ＝1.
(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，
当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，
即－1≤x ≤2时取到等号．
所以f (x )的最小值为3.
2．解：(1)a ＝2时，|x －2|＋2x ≥2x ＋1，
∴|x －2|≥1，∴x ≥3或x ≤1.
∴不等式的解集为(－∞，1]∪[3，＋∞)．
(2)依题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －a ，x ≥a ，
x ＋a ，x <a ，
∵a >0，∴当x >－2时，f (x )≥x ＋a >－2＋a ，要使f (x )>0，只需－2＋a ≥0即可，∴a ≥2.
故a 的取值范围为[2，＋∞)．
3．解：(1)当a ＝3时，
f (x )＝|x －3|－2|x －1|
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x －1，x ≥3，
－3x ＋5，1<x <3，x ＋1，x ≤1.
当x ≤1时，f (x )＝x ＋1，
所以f (x )在(－∞，1]上单调递增；
当1<x <3时，f (x )＝－3x ＋5，
所以f (x )在(1,3)上单调递减；
当x ≥3时，f (x )＝－x －1，
所以f (x )在[3，＋∞)上单调递减．
所以当x ＝1时，函数f (x )取得最大值2.
(2)由f (x )≥0得|x －a |≥2|x －1|，
两边平方得，(x －a )2≥4(x －1)2，
即3x 2＋2(a －4)x ＋4－a 2≤0，
得[x －(2－a )][3x －(2＋a )]≤0，
故①当a >1时，不等式的解集为2－a ，2＋a 3；
②当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}；
③当a <1时，不等式的解集为[2＋a 3
，2－a ]． 4．解：(1)由题意原不等式可化为：
|x －1|>1－x 2，
即x －1>1－x 2或x －1<x 2－1，
由x －1>1－x 2得x >1或x <－2；
由x －1<x 2－1得x >1或x <0.
综上，原不等式的解为x >1或x <0.
(2)原不等式等价于|x －1|＋|x ＋3|<m 的解集非空．
令h (x )＝|x －1|＋|x ＋3|，
即h (x )min <m ，
又|x －1|＋|x ＋3|≥|x －1－x －3|＝4，
所以h (x )min ＝4，
所以m >4.
5．解：(1)当a ＝5时，
f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|－5，
由|x ＋1|＋|x ＋2|－5≥0
得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥－1，2x －2≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x <－1，
－4≥0，
或⎩
⎪⎨⎪⎧
x <－2，
－8－2x ≥0，解得x ≥1或x ≤－4. 即函数f (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－4}．
(2)由题可知|x ＋1|＋|x ＋2|－a ≥0恒成立，
即a ≤|x ＋1|＋|x ＋2|恒成立，
而|x ＋1|＋|x ＋2|≥|(x ＋1)－(x ＋2)|＝1，
所以a ≤1，即a 的取值范围为(－∞，1]．
6．解：(1)当a ＝1时，原不等式可化为
①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x －2＋2x －2>3，
解得x >73； ②⎩
⎪⎨⎪⎧ 1<x <2，
2－x ＋2x －2>3，此时无解； ③⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，2－x ＋2－2x >3，
解得x <13， ∴不等式的解集为(－∞，13)∪(73
，＋∞)． (2)当a >2时，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2＋2a ，x ≤2，－x ＋2a －2，2<x <a ，
3x －2－2a ，x ≥a ；
当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋6，x ≤2，
3x －6，x >2；
当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2＋2a ，x ≤a ，x －2a ＋2，a <x <2，
3x －2－2a ，x ≥2.
∴f (x )的最小值为f (2)或f (a )， 则⎩⎪⎨⎪⎧
f (a )≥1，
f (2)≥1，
解得a ≤1或a ≥3. 故实数a 的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．
7．解：(1)由f (x )≤3得，|x －a |≤3，
解得a －3≤x ≤a ＋3.
又已知不等式f (x )≤3的解集为
{x |－1≤x ≤5}，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，
a ＋3＝5，
解得a ＝2. (2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，
设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，
于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|
＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，
2x ＋1，x >2，
所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.
综上可得，g (x )的最小值为5.
从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．
8．解：(1)在②中令x ＝1，有1≤f (x )≤1，
故f (1)＝1.
(2)由①知二次函数的图像关于直线x ＝－1对称，且开口向上，故设此二次函数为f (x )＝a (x ＋1)2(a >0)．
因为f (1)＝1，所以a ＝14
， 所以f (x )＝14
(x ＋1)2. (3)f (x )＝14
(x ＋1)2的图像开口向上， 而y ＝f (x ＋t )的图像是由y ＝f (x )的图像向左或向右平移|t |个单位得到的，要在区间[1，
m ]上使得y ＝f (x ＋t )的图像在y ＝x 的图像下方，且m 最大，则1和m 应当是方程14
(x ＋t ＋1)2＝x 的两个根．
令x ＝1代入方程，得t ＝0或－4.
当t ＝0时，方程的解为x 1＝x 2＝1(这与m >1矛盾，舍去)； 当t ＝－4时，方程的解为x 1＝1，x 2＝9，所以m ＝9. 又当t ＝－4时，对任意x ∈[1,9]，
y ＝f (x －4)－x ＝14
(x －3)2－x ＝14(x 2－10x ＋9)＝14
(x －5)2－4≤0， 即f (x －4)≤x 恒成立．所以最大的实数m 为9.。