湖南省株洲市第二中学2016届高三上学期第四次月考理数试题 含解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1。

设集合
A ＝{x|22
+143
x y =｝，B ＝｛y|y ＝x 2｝,则
A∩B＝（ )
A ．
B ．
C ．[0,＋∞)
D ．{（－2,4）,(2，4)｝
【答案】B 【解析】
试题分析：由椭圆方程知22x -≤≤，由2
0y x ≥＝知0y ≥，所以[02]A B =，
，故选B ．
考点：集合的交集．
2。

“0<a<4”是“命题‘∀x∈R，不等式x 2+ax+a≥0成立’为真命题”的( ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件 【答案】A
考
点：充分条件、必要条件。

3.如图所示，程序框图的输出值S =（ )
A 、15
B 、22
C 、24
D 、28
【答案】C
考点：程序框图．
4.一空间几何体的三视图如图2所示， 该几何体的 体积为5123
π+，
则正视图中x 的值为( )
A 。

5
B 。

4 C. 3 D. 2
开始 i=1，S=0
i=i+2
S=S+i S ≤20
是
否
输出S 结束
第3题
图2
侧视图
俯视图
正视图
【答案】C 【解析】
试题分析：由三视图知:该几何体是由底面圆的半径为2，高为x 的圆柱上面一个正四棱锥，棱长3，底面正方形对角线4,
合体,
所以该几何体的体积是2
1V 2
8123x ππ=⨯⋅+⨯=3x =,故选C ．
考点：1、三视图；2、空间几何体的体积． 5。

二项式)()
1(*N n x n
∈+的展开式中2x 的系数为15，则=n ( )
A 、5
B 、 6
C 、8
D 、10 【答案】B 【解析】
试题分析：因为)()1(*N n x n
∈+的展开式中()
2
2C n x ⋅的项系数是15，所以
2C 15n =，解得6n =，故选B ．
考点:二项式定理．
6。

已知P 是△ABC 内一点，PB ，→＋错误!＋2错误!＝0，现将一粒黄
豆随机投入△ABC 内，则该粒黄豆落在△PAC 内的概率是（ ) A 、14
B 、13
C 、12
D 、23
【答案】A
考
点：1、向量的运算；2、几何概型． 7.在ABC ∆中，若
1tan tan )tan (tan 3-⋅=+C B C B ，则=A 2sin ( ）
A 、−12
B 、12
C 、−
3
D 3 【答案】D 【解析】 试
题
分
析
：
由
两
角
和
正
切
公
式
知
3(tan tan )tan tan 1=3)(1tan tan )
B C B C B C B C +=⋅-+-⋅，所以3tan()B C +=，即
3tanA =
,于是6A π=，所以sin 2sin 33
A π
==故选
D.
考点:1、两角和的正切公式;2、特殊角三角函数值．
8。

已知实数x 、y
满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121
，如果目标函数y x z -=的最小值为－1，
则实数m ＝（ ）
A 、 6
B 、5
C 、4
D 、3 【答案】B
考点:线性规划． 9。

已知
()
f x 是定义在R 上的函数，且对任意
x R
∈都有
(2)(2)4(2)f x f x f +=-+，若函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称,且(1)3f =,
则(2015)f =（ ）
A 、6
B 、3
C 、0
D 、3-
【答案】D 【解析】
试题分析：因为函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称，所以函数()y f x =的图象关于点
(0,0)
对称，
()
f x 是奇函数，任意
x R
∈都有(2)(2)4(2)
f x f x f +=-+，令x 0
=,
(02)(20)4(2)f f f +=-+，因此
(2)0
f =，由
(2)(2)f(x 2)f x f x +=-=--知(2015)(7)(1)(1)3f f f f ==-=-=-，进而(8)f(x)f x +=，所以
()f x 是周期为8的周期函数,(2015)(7)(1)(1)3f f f f ==-=-=-，故选D ．
考点：1、奇函数性质；2、函数对称性；3、函数周期性．
【思路点睛】本题主要考查的是函数的奇偶性、对称性和周期性，属于难题,本题需根据条件进行赋值，先求得(2)0f =，再根据函数是奇函数，进行变换推理，得出函数是周期为8的周期函数,对学生的推理要求能力较高，然后利用周期性和奇函数的性质求得(2015)f ．
10.设F 是双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的右焦点，过点F 向C 的一条渐近
线引垂线，垂足为A ,交另一条渐近线于点B ．若2FA FB =，则双曲线C 的离心率是( ）
A 、错误!
B 、2
C 、错误!
D 、错误! 【答案】B
考
点：1、双曲线的简单几何性质；2、向量的几何意义．
【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的几何意义，属于难题．本题利用三角形BOF ∆内中线、垂线重合,得到
BOA AOF ∠=∠，又利用渐近线性质得到AOF FOC ∠=∠，从而巧妙得出
3
AOF π
∠=
，由此计算椭圆的离心率．
11.已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足4)1(=f ,且()f x 导函数()3f x '<，则不等式
(ln )3ln 1f x x >+的解集为（
)
A 、(1,)+∞
B 、(,)e +∞
C 、(0,1)
D 、
(0,)e
【答案】D
【解析】
试题分析：令()()31g x f x x =--，则()()30g x f x ''=-<,所以()()31g x f x x =--是R 上的减函数,()()310(1)g x f x x g =-->=，即()31f x x >-的解为1x <,从而ln 1x <,解得0x e <<，故选D ．
考点：1、利用单调性解不等式;2、利用导数研究函数的单调性． 12.已知正项等比数列{}n
a 满足：5
67
2a a a
+=,若存在两项,m
n
a
a 使得
14m n a a a =,则
15m n
+的最小值为（ ）
A 、513
+ B 、
74
C 、2
D 、114
【答案】B
考
点：1、等比数列的通项公式；2、均值不等式求最值．
第Ⅱ卷(非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.复数z 满足()i z i +=-721，则复数z 的共轭复数=z ． 【答案】13i - 【解析】
试题分析：由()127i z i -=+得：71312i
z i i
+==+-，所以=z 13i -,所以答案应填：
13i -．
考点：1、复数的运算；2、共轭复数．
14.对于实数x ，][x 表示不超过x 的最大整数，观察下列等式：
21]15[]14[]13[]12[]11[]10[]9[10
]8[]7[]6[]5[]4[3
]3[]2[]1[=++++++=++++=++
按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为 ． 【答案】2
2n
n +
考点：合情推理．
15.如图，在平面直角坐标系中，边长为n
a 的一组正三角形1
n n n A B
B -的底
边1
n n B
B -依次排列在x 轴上（0B 与坐标原点重合)．设{}n a 是首项为a ,公差
为d 的等差数列，若所有正三角形顶点n
A 在第一象限，且均落在抛物
线2
2(0)y
px p =>上,则
a
d
的值为 。

【答案】1 【解析】
试题分析：由题意得1
3(,
)22a A a ，23(,)22
a d A a a d +++（）,1A 在22(0)y px p =>得：3p 4a =
，2A 代入22(0)y px p =>,得:2220a ad d --=，解得1a
d
=，所以答案应填:1．
考点：1、等差数列的通项公式；2、抛物线方程.
【方法点晴】本题主要考查的是等差数列、抛物线方程及计算推理能力，属于中档题，本题利用正三角形性质及等差数列性质得到1
A 、
2A 的坐标，代入抛物线方程，得关于,a d 的方程2
220a
ad d --=,解出
1a
d
=. 16.已知函数()(a f x x a x
=+∈R ),()ln g x x =，若关于x 的方程()
()2
2g x f x e x =-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根， 则a = ． 【答案】2
1e
e
+
考点：1、推理与证明；2、利用导数研究函数的极值．
【方法点晴】本题主要考查的是函数图象相交及函数的最小值问题，属于难题．解题时先分别利用导数研究两函数在定义域上的极值，然后分析其中一个极小值和另一个极大值之间的关系，由于在同一x 值取得极值,所以要只有一个交点，只需两个极值相等，从而求得a 的值．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在△ABC 中，,,a b c
分别为角A 、B 、C 的对边，若
m
=
（2
sin
2
B C
+,1),(2,cos21)n A =-+,且m ⊥n 。

(Ⅰ)求角A 的度数;
（Ⅱ)当23a =，且△ABC 的面积22243
S =
时，求边c 的值和△ABC
的面积．
π；（II）2,3．
【答案】（I）2
3
考点：1、余弦定理；2、三角形的面积公式；3、平面向量的数量积；
4、正弦定理；
5、二倍角的正弦、余弦公式．
18。

（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱
形，且2
===，060
PA PD D A
BAD
∠=．
（Ⅰ）求证：PB AD
⊥；
（Ⅱ）若6
--的余弦值．
PB=求二面角A PD C
【答案】（Ⅰ）PB AD ⊥,理由见解析；（Ⅱ）二面角A PD C --的余弦值为
5
5
-．
（Ⅱ)解：在PBE ∆中，由已知得，3PE BE ==6PB =
则2
22PB
PE BE =+,∴090PEB ∠=,
即PE BE ⊥，又PE AD ⊥，∴PE ⊥平面ABCD ；
以点E 为坐标原点，分别以EA ，EB ，EP 所在直线为x ，y ，z 轴,建立如图所示空间直角坐标系, 则E （0，0，0）， C （－2， 3），D （－1，0，0),P （0，0,
3，
则DP ＝（1，0，
3，DC ＝(－1,
3，
由题意可设平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m →
=； 设平面PDC 的一个法向量为(x,y,z)n →
=,
A
B
C
D
P
由已知得：0,
0,
x x ⎧=⎪⎨
-=⎪⎩令y ＝1
，则x =z ＝－1,
∴1)n →=-；
则1m n →→
⋅=，所以cos ,m n
m n m n
→→
→→
→→
⋅<>=
=
=
由题意知二面角A PD C --的平面角为钝角, 所
以二面角
A PD C
--的余弦值
为
...。

..。

...。

.。

.。

..。

.。

.。

..。

.12分
考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用．
【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直和空间向量法求二面角,属于中档题．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是等腰三角形的中线．求二面角，可以通过建立适当的空间直角坐标，进行公式化计算，要求点的坐标，法向量的求解一定要准确迅速，对所求角进行锐角还是钝角分析． 19.已知数列{}n
a 为等差数列，1
2a
=,其前n 和为n S ，
数列{}n b 为等比数列，且
2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立。

C
（1）求数列{}n
a 、{}n
b 的通项公式；
（2）是否存在,p q *
∈N ，使得5
2()
2016p
q a b -=成立,若存在,求出所有满足
条件的,p q ；若不存在， 说明理由。

【答案】（1)2,2n n
n a
n b ==；
（2)存在,2p =，5q =．
（2）假设存在,p q *
∈N 满足条件，因为
52()2016p q a b -=
则 52(2)22016q p -=, 化简得，5
52632q p
--=
由 p *∈N 得5263p -为奇数,
所以5
2q -为奇数,故5q =
得 55263132p p -=⇒=，
故2p =
故
2p =，5q =。

考点：1、等差数列的通项;2、等比数列的通项公式；3、解方程方程
思想；4、数列递推关系．
20。

（本小题满分13
分）如图，1F 、2F 为椭圆22
22:1x y C a b
+=的左、右焦点，
D 、
E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率3
2e =，2312
DEF S ∆=-．若0
(,)
M x y 在椭圆C 上，则点0
(,
)x
y N a b
称为点M 的一个“好点”．直线l 与椭圆交于A 、B 两点, A 、B 两点的“好点”分别为P 、Q ，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值,请说明理由．
【答案】（Ⅰ）2
214
x y +=；（Ⅱ）AOB ∆的面积为定值
1．
（Ⅱ）
设1
1
(,)A x y 、2
2
(,)B x y ，则1
1(,)2
x
P y 、2
2(
,)2
x Q y ． ①当直线AB 的斜率不存在时,即1
2x
x =,12y y =-，
由以PQ 为直径的圆经过坐标原点可得OP OQ ⊥,
即2
21211210224
x x x y y y ⨯+=-=，解得22114x y =，
又点11(,)A x y 在椭圆上，所以2
211414y y +=，解得112|||2y x ==
所
以
1121
||||12
AOB S x y y ∆=
⨯-=． ..。

...。

..。

.。

.。

..。

...。

..。

..。

.。

6分
而点O 到直线AB 的距离2
1d k
=+,
所以22222
1141||412241
1AOB
k S
AB d k m k k
∆+=⨯=+-++2222
22
2||2||4121412m m k m m m k m
=
+-=-=+． 综合①②可知
AOB
∆的面积为定值
1． ..。

.。

.。

.。

.。

.。

....。

.。

..。

...。

..。

.。

.12
分
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系3、三角形的面积公式．
【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系，属于难题．解题时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现讨论不全的情况;本题利用了垂直关系，得到
22412k m +=,然后使用弦长公式和点到直线的距离公式表示三角形面
积，对运算能力要求很高．
21。

（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线l 与直线20x y +=垂直，函数 （1）求实数a 的值;
（2)若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； （3）设1
2
12,()x x x
x <是函数()g x 的两个极值点，若，求12()()g x g x -的最小值．
【答案】（1）1a =；（2)()3,+∞；（
考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性;3、利用导数研究函数的极值；3、构造函数;4、利用导数研究函数的最小值．【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用
导数研究函数的极值、构造函数和导数的几何意义，属于难题．利
用导数求函数()
f x的最值，先求其单调性,再根据单调性确定其最值，其中要特别注意对定义域的分析;构造函数并用导数进行研究,是导数问题中的难点，要有较强的分析和运算能力。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

解答时请写清题号.
22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，A，B，C，D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED．
（1)证明：CD∥AB；
（2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G,F四点共圆．
【答案】(1）证明见解析；(2)证明见解析．
考点:1、圆的内接四边形的判定定理；2、同位角相等直线平行;3、三角形全等．
23.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程
已知曲线C 的参数方程是()cos sin x y m ααα=⎧⎨
=+⎩为参数，直线l 的参数方程为
()5152545x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数． （1)求曲线C 与直线l 的普通方程；
(2）若直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，且455
PQ =，求实数m 的值． 【答案】（1）22y x =+；(2）3=m 或1=m ．
【解析】
试题分析:(1）消参数α可得22()1x y m +-=，消参数t 得22y x =+;（2）利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角求解．
考
点:1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化;3、圆的几何性质．
24。

（本小题满分10分）选修4-5：《不等式选讲》
已知a 、b 、c 为正数．
（1）若直线2x －（b －3）y ＋6＝0与直线bx ＋ay －5＝0互相垂直，
试求b a 32+的最小值；
（2)求证：abc c bc ac ab b a ab 16))(1(2
≥++++++． 【答案】（1）25；（２）证明见解析．
【解析】
试题分析：(1）由直线垂直得：6)3)(2(=--b a ,积是定值，利用均值不等式求和b a 32+的最小值；（2）将2(1)()ab a b ab ac bc c ++++++变形为(1)(1)()()a b a c b c ++++，使用均值不等式即可证明． 试题解析：解：（1）由已知，有：0)]3([2=--+b a b 即: 023=--b a ab ∴ 6)3)(2(=--b a
a 、
b 为正数, ∴
3,2>>b a ∴13)3(3)2(232+-+-=+b a b a 2513)3(3)2(22=+-⋅-≥b a
当且仅当)3(3)2(2-=-b a 时取等号，此时：5==b a 故当5==b a 时,b a 32+的最小值是25．
（2） a 、b 、c 为正数,
∴ ))(1(2c bc ac ab b a ab ++++++
abc bc
ac b a c b c a b a 162222)
)()(1)(1(=⋅⋅⋅≥++++=
考点：1、均值不等式求最值；2、均值不等式证明．。