圆锥曲线必背法

圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-椭圆
一、椭圆定义
1、定义1:（和）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆.
定点为焦点，定值为长轴.（定值二2a）
2、定义2 :（比）到定点和到定直线的距离之比为定值的点的轨迹叫做
椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率•（定值二e）
3、定义3:（积）到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.
定点为短轴顶点，定值为负值.（定值k = e2-1）
二、椭圆的性质定理
长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a方、b方除以c② 通径等于2 e p，切线方程用代替③
焦三角形计面积，半角正切连乘b④
注解：
1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理
长轴二2a，短轴二2b，焦距二2c，则：a^ b2c2
2、|准线方程准焦距，a方、b方除以C
2
准线方程：x = a（a方除以c）
c
b2
准焦距p :焦点到准线的距离：p =—（b方除以c）
c
3、|通径等于2 e p,切线方程用代替
椭圆的通径d:过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距
过椭圆上(X 。

，y °)点的切线方程，用(X o , y o )等效代替椭圆方程得到.
4、焦三角形计面积，半角正切连乘b
焦三角形：以椭圆的两个焦点F I ,F 2为顶点，另一个顶点P 在椭圆 上的三角形称为焦三角形.半角是指v 「FfF ?的一半.
2 2
则焦三角形的面积为：b tan- 证明 I ：设 |PFj=m , |PF 2〔 = n ，贝y m + n = 2a .
由余弦定理：
m 2 n 2 - 2mn cos - 4c 2
2 2 2 2
4a - 4b = (m n) - 4b
sin-
又: 1 cos-
e e 2sin —
cos —
切线平分焦周角，称为弦切角定理①
2
等效代替后的是切线方程是:
X o X y °y
a 2
b 2
2
-2mn cos 二 2mn - 4b , 即：2b
(1 cos )mn .
mn =|PF 1||PF 2F 2"
1 cos^
1 _ 1
S A F 1
PF
2
= ^m n sin-二-
2b 2 1 cos
sin"
sin
， 1 cos^
所以：椭圆的焦点三角形的面积为S F 1PF 2
、椭圆的相关公式
离称为椭圆的通径.
(通径 d = 2ep = 2 C
• a b * 2
c
2b 2 a e
二 tan
—
切点连线求方程，极线定理须牢记②
弦与中线斜率积，准线去除准焦距③
细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④
注解：
1、切线平分焦周角，称为弦切角定理
弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.
焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.
弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦为焦点弦时(过焦点的弦)，那么切线是两个焦点弦的角平分线.
2、切点连线求方程，极线定理须牢记
2 2
若P o(x°,y o)在椭圆令％「外，则过P o作椭圆的两条切线，切点为a2 b2
P i，P2，则点P o和切点弦P i，P2分别称为椭圆的极点和极线.
切点弦P i P2的直线方程即极线方程是= 1 (称为极线定理)
a2b2
3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距
弦指椭圆内的一弦AB.中线指弦AB的中点M与原点O的连线，即
2
△OAB得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离x^ —去除
c
.2 ・・p b2
准焦距p = —，其结果是：k AB ' k OM 一—2
c x c a
4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹
中点弦AB的方程：在椭圆中，若弦AB的中点为M(x o,y o)，弦AB称
2 2
X o X 亠y°y X o , y o
为中点弦，则中点弦的方程就是 2 以二2 ' 2，是直线方程.
a b a b
弦中点M的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点P o（x0,y0）的弦AB，其
2 2
X o x y o y x y
中点M的方程就是一厂厂=弋+ 乂,仍为椭圆.
a b a b
这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.
圆锥曲线必背口诀（红字为口诀卜双曲线
一、双曲线定义
1、定义1 :（差）平面内，到两个定点F i, F2的距离之差的绝对值为定值2a （小于这两个定点间的距离|Fi F2| ）的点的轨迹称为双曲线。

定点F i, F2叫双曲线的焦点。

即：|PF i-PF2〔 = 2a
2、定义2 :（比）平面内，到给定一点及一直线的距离之比为定值e 1 的点的轨迹称为双曲线。

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。

3、定义3:（交线）一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

k
4、定义4:（反比例）在平面直角坐标系中，反比例函数y =—的图象称为双曲线I。

证明：反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到.
x2 y2
证明：因为xy=k的对称轴是y=x , y=-x，而二…」厂1的对称轴 a b
是x轴，y轴，所以应该旋转45°.设旋转的角度为:G - 0，顺时针）
（:为双曲线渐进线的倾斜角）
贝y 有：X 二xcos ysin ，Y 二xsin ycos
取」45°，则:
X 2 -Y 2 - xcos45° ysin45°
1 2 2
=2 x y - x y = 2x y
而 xy=k ，所以，X 2
-Y 2
=2xy = 2k
2 2 2 2
即: X _Y =1 ( k 0)或 Y 一 x =1( k ： 0) k 2k (-2k) (-2k)
由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只 不过是双曲 线在平面直
角坐标系内的另一种摆放形式. 、双曲线的性质定理 基本同椭圆，有所区别：
长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于2 e p ，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角余切连乘b ④ 注解： 1、 长轴短轴与焦距：形似勾股弦定理
长轴二2a ，短轴=2b ，焦距=2c ，贝y ： a 2 b^ c 2
实际上，双曲线是实轴、虚轴、与焦距，但为了方便记忆，也不 至于造成混乱，我们还是按椭圆的口诀记忆.
2、 |准线方程准焦距，a 方、b 方除以E
2
_ + a
准线方程：x 二-
（a 方除以c ）
c
b 2
2
xsin45° - ycos45°
准焦距p :焦点到准线的距离：p
（b 方除以c ）
3、通径等于2 e p ,切线方程用代替
双曲线的通径d:过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间
过双曲线上P 0(x 0, y 0)点的切线方程，用p 0(x 0, y 0)等效代替双曲线方程
x 0x %y
得到，等效代替后的是切线方程是：b ? = 1 4、焦三角形计面积，半角余切连乘 b
焦三角形：以双曲线的两个焦点F-F 2为顶点，另一个顶点P 在椭 圆上的三角形称为焦三角形.半角是指咐=/F 1PF 2的一半.
2 2
双曲线笃-書二1的左右焦点分别为F"F 2，点P 为双曲线上异于顶
a b
那么，焦点三角形的面积为:
点任意一点.RPF 2二，则双曲线的焦点三角形满足:
PF ! PF 2
2b 2 1 - cos
mn 二 2b 2
1 - cos ，即：
2b 2 1 — cos
的距离称为双曲线的通径.
(通径 d 二 2e^ 2 - a
b 2
c
2b 2 a
双曲线的焦点三角形的面积为：S.R PF 2
二b 2
cot 2 . 三、双曲线的相关公式
切线平分焦周角，称为弦切角定理① 切点连线求方程，极线定理须牢记② 弦与中线斜率积，准线去除准焦距③ 细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④ 注解：
1、切线平分焦周角，称为弦切角定理
弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角. 焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.
弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当
S. F 1PF 2
1
mn 2
sin 2b 2 1 - cos
sin
b 2
sin
b
1 - cos
Y V
2sin cos
2 2
2sin 2
—
2
二 b 2
cot —
故:
S
F 1PF 2
b 2cot
2
1
同时：S
iF 1PF 2 二？ Ff
y p = c
y p ,故:
b 2
/
y p
cot- c 2
弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线.
如图，「F1PF2是焦点三角形，• F1PF2为焦周
角，PT为双曲线的切线.则PT平分.F1PF2.
弦中点M 的轨迹方程：在双曲线中，过双曲线外一点P o （x o ，y o ）的弦
2 2
x o x y 0 y x y
AB ,其AB 中点M 的方程就是—厂—匚厂=*一K ,仍为双曲线.
a b a b
2、切点连线求方程，极线定理须牢记
2 2
若P o （X 0,y o ）在双曲线与-令=1外，以包含焦点的区域为内，不包含
焦点的区域为外，则过P o 作双曲选的两条 切线，切点为P 1、P 2，贝卩点P 0和切点弦P 1P 2 分别称为双曲线的极点和极线，切点弦
P l P 2的直线方程即极线方程是彎-辔「
a 2
b 2
（称为极线定理）
3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距 弦指双曲线内的一弦AB .中线指弦AB 的 中点M 与原点0的连线，即OAB 得中线. 这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离
2
X c = a
去除准焦距
c
b 2 P
二―
c
其结果是：
b 2 X c
4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹
中点弦AB 的方程：在双曲线中，若弦AB 的中点为M （x 0,y 0）,称弦AB 为中点弦，则中点弦的方程就是：
x o x _ y o y a 2
b 2
a 2
2 2 x
o y o
b 2,
它是直线方程.
这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.
圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-抛物线
一、抛物线定义
抛物线，有定义，定点定线等距离
1、 到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为
2、 二次函数的图象是抛物线.
二、抛物线性质
焦点准线极点线①，两臂点乘积不变② 焦弦切线成直角，切点就是两端点③ 端点投影在准线，连结焦点垂直线④ 焦弦垂直极焦线⑤，切线是角平分线⑥ 直角梯形对角线，交点就是本原点⑦ 焦弦三角计面积，半个 P 方除正弦⑧ 注解： 1、 焦点准线极点线
抛物线的焦点和准线是一对极点和极线 .
抛物线方程：
y 2 = 2 px ，焦点 F (―,0)，准线 x p 二-卫
2 2
（抛物线的顶点0（0,0）到定点F （_P ，0）和定直线x p 二-£距离相等） 焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点
A 和
B ，则AB 称为焦弦
2、两臂点乘积不变
y
M
y A y B 2
焦弦方程：
y 二 k(x-_p)， k 为斜率.
弦中点M （ X
M ，
x
M
x
A X B
2
焦点三角形两边 OA 和|OB 的点乘积为定值，且夹角是钝角 证明：焦弦AB 满足的条件
由韦达定理得：x A x B 二丄 4
3
2
OA OB =（X A ，y A ）（X B ，Y B ）二 X A X B Y A Y B P 0 .
4
3、焦弦切线成直角，切点就是两端点
即：焦弦两端点的切线互相垂直
即：AE _BE ，故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形
4、端点投影在准线，连结焦点垂直线
即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形
2
y -2px p （ p = k 2（x —舟）2 y=k （x —
f ） 2
=2 px 二
2 2
k 2x 2
_（k 2 2）px
4p =0
Y A Y B
；
2pX A -2pX B
-2 p 、X A X B
「2p_-p 2 ,
2
即: 2
"3：，yA y B 」P 2
①
且:
故: 焦点三角形两边之点乘积为定值
证明：如图, 由抛物线方程: y 2 = 2 px
得到导数:
yy
故：k AE
L y A
k BE 」 y B
于疋：k AE k BE
=_p _p =
Y A Y B Y A Y B
将①式y A y B 二-P 2代入上式得：k AE k BE
证明：坐标C (—卫,y B ), D (—卫,y A )
2 2
则：CF =(p,—y B )，DF =(p,—y A )
将①式y A y B 二-p 2代入上式得：CF DF = 0 故：C7_DF
CF DF ，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形
5、焦弦垂直极焦线
若焦弦AB 对应的极点E ，则EF 为极焦线，于是EF _ AB 用向量方法可证.
由于M 是AB 的中点， AEB 为直角三角形，计算可得 E 是
DC 的中点, 故：|ED = EF | = EC 由向量法可证 EF -0
即：焦弦AB 与极焦线EF|互相垂直. 6、 |切线是角平分线-
即:切线平分焦弦的倾角（或倾角的外角） 如图：因
为 ADE 和AFE 都是直角三角形， 且由定义知：
|AF|=AD|，|AE|=AE 故ADE 也AFE ，则对应角相等.
即：AE 是.DAF 的角平分线 同理，BE 是.CBF 的角平分线 7、 直角梯形对角线，交点就是本原点 —
于是：CF DF p ? 一 y A y B
即：焦弦端点 A,B 在准线的投影点 D,C ，则
D
A M
F B
同理：
OB / /DO .直角梯形ABCD 对角线相父于原点.
&焦弦三角计面积，半个
P 方除正弦
即：直角梯形ABCD 对角线相交于原点 即：A,O,C 三点共线； B,0, D 三点共线 用向量法证明： 0A//CO , OB//DO
2
证明：坐标A 兗,y
A ），
2
B （
2p,y B ），C （舟 y B ），D （-和A ）
向量：
0A=（护,y A ），C0=（f,—y B ） 2 p 2
2
各分量之比:
T 上
r
2 （OA ）x 2p y
A 2
（CO ）x 卫
p
2
2
（0
A ）y 目 A y （CO ）y -y
B -y A y B
将①式y A y B —P 2
代入上式得: 故:罷影0
A ，即:
（OA
）y （CO ）y 2 y
A
-y A y B
2
y
2
P
OA //
CO
即：焦弦三角形的面积为:
S.AOB
2
P 2sin
（:为焦弦的倾
角）
证明:
AB = AF + BF
g
f X B 1XA X B
P W M 呀
2
列
女口图：GF =2 OF = p 则:
于是: 故:
EF 1 GF |
P EM =-
■ :— - — -2 sin 。

sina sina
sin ct
2p AB
sin 2 :
S AO ^ 2 OF AB sin
1 p
2 p 2 2 sin 2
2
P 2sin
：
即： ep e 「COST _ ：「，即： ep _ _ e
「cos 〒，
附：圆锥曲线必背----极坐标
一、极坐标通式
圆锥曲线的极坐标以准焦距 p 和离心率e 来表示常量，以极径「和极角
，来表示变量•
、_0,二［0,360°）
以焦点F （0j ）为极点（原点0 ），以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线
点为极点（原点），而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程
如图，0为极点，L 为准线，则依据定义，到定点（极点）和到定直线（准 线）的距离之比为定值（定值e ）的点的轨迹为圆锥曲线. 所以，对极坐标系，请记住：
⑴ 极坐标系的极点 0是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点； ⑵ 曲线上的点P （T ）到焦点F 的距离是「，到准线的距离是
cos ，
P
根据定义：e =
P + Fc°
sf
即：」—ep①
1 —ecos日
这就是极坐标下，圆锥曲线的通式
⑶对应不同的e,呈现不同的曲线.对双曲线，只是右边的一支
对抛物线，开口向右
；
、极轴旋转佃0°
将极轴旋转180°，「和二分别对应变
换前后的极角，即转角为＞佃0
则极坐标方程变换前方程为:
八—ep
1 —
ecos：
变换后方程为: P= ep
1 + ecos
日
此时的极坐标系下, 此时有:
⑴极坐标系的极点O是椭圆的右焦
点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点；
⑵对应不同的e , 呈现不同的曲线.对双曲线，只是左边的一支；对抛物线，开口向左.
三、极轴旋转90°
⑴将极轴顺时针旋转90。

，即:
八—90°，贝『情况如图.
圆锥曲线的方程
为:
盯:——ep .③
1 -esin -
此时的极坐标系下:
对应于直角坐标系下，焦点在y轴的情况，且极点0对应于椭圆下方的焦点，双曲线上方的焦点，抛物线的焦点.
对双曲线，只是y轴上边的一支；对抛物线，开口向上
.
⑵如果将极轴逆时针旋转90。

，即：v -90P，则情况如图
圆锥曲线的方程为：二二ep③
4 +esina
此时的极坐标系下：
对应于直角坐标系下，焦点在y轴的情
况，且对应于椭圆上方的焦点，双曲线下方的焦点，抛物线的焦点.
对双曲线，只是y轴下边的一支；对抛物线，开口向下.
四、坐标变换
⑴在极坐标系中，圆锥曲线的通式为：
「二一①
4 — ecosf
即：：：“ -e- cos ■- ep，即：T二ep，eTcosd
即：•■■2 =（ep e「cos）2= e2 p2 e2C cos）2 2e2 p （「cos）
②
将-?2 = x2y2，，cosv - x代入②式得：
x2 y2二e2 p2 e2x2 2e2 px
即：（4-e2）x2 -2e2 px y2二e2 p2③
当e = 4时
2 2 2
有:
（2）［x2 j e2x心厲y"p2（i y）2
2 2 2 2 即：（1＜）2普）2 y-e2p2（1 七“带
2 2 o
2日 2 cos 一
2 J
其面积为；S F 1PF 2 = b cot 2 .
2
(x e p
)2
(x
--------- 2 ) 2
即: _e 2
y
訂
… e 2p 2 1 -e 2
e 2p 2
(1-e 2)2 ⑴当 e 1时，令 a 2
e 2p 2 (1 -e 2)2
b2
1
e 堂 -e 2，
c/P 1 -e 2
则：a 2
e 2p 2
而：c 2
b 2
e
p e 2p 2 b .(HTp 「口
e 2 p 2
(W
e 4 p 2
「e2)'(1-e 2)2
2
4 2
=(
啓
)2
=応字
=a 2 -b 2 代入④式得：+£ = 1
b 2
a 2
这是标准的椭圆方程
⑵当 e 1时，令a 2
e 2 p 2 (e 2
-1)2
b 2
e 2p 2
e 2 -1 '
2 “ c e
P c
2 e- 1
则: a 2
^2^2
-L_P_ e 2 e 2
而:
c 2
p 2
-1 (e 2-1)2 [1 (e 2
- 1)* (e-1)2
2 4 2
(e
P )2
e
P
2
2 2
e-1 (e-1)2
"2 b 2
代入④式得：a ;）2
_y 2 a 2
b2"
这是标准的双曲线方程
⑶当 e=1时，由③式（1-e 2）x 2 2e 2 px y 2 二 e 2 p 2 得：-2 px y 2 二 p 2
即：y 2 = 2 px p 2 = 2 p(x 卫) 2 即: y 2 =2p(x • p )⑦
2
这是标准的抛物线方程
证明I：设|p Fi| = m，PF2 =n，则m-n=2a 在F1PF2中，由余弦定理得：
2 2 11 斗 2
PF」+|PF2-2 PF1 PF2COS〜F1F2 ，
即：m2 n2 - 2mn cos = 4c2二4a2 4b2 = (m - n)2 4b2
即：m2 n2 - 2mn cos = (m - n)2 4b2
即：2mn — 2mn cos了= 4b2，即：2b2 = mn(1 — cos?)。