北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第12章 概率 第2节 古典概型与几何概型

与 b=(2,-1)的夹角为 θ,则
9
A.32
9
B.64
4
C.25
6
D.25
π
θ∈[2 ,π)的概率为(
)
6
答案:(1)
35
(2)D
解析:(1)从正方体的 8 个顶点中任选 4 个,有C84 =70(种)选法.
4 个顶点在同一平面的情况有 6 个表面和 6 个对角面,共 12 种,
12
故所求概率为
以OA为半径作大圆O,以AB为直径作小圆.在整个图形中
随机取一点,此点取自阴影部分的概率为(
π+2
A.
2π+1
π+1
C.2π-1
π+1
B.
π+2
π-1
D.2π+1
)
答案:(1)A (2)A
解析:(1)A={(x,y)|(x-1)(y-1)≥0}={(x,y)|x≥1,且y≥1或x≤1,且y≤1},集合B
5.随机模拟方法
使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事
件的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.
研考点•精准突破
考点一
古典概型的概率(多考向探究)
考向1 以生活实际为题境的古典概型
例1(1)(2022陕西榆林一模)已知某班英语兴趣小组有4名男生和3名女生,从
中任选2人参加该校组织英语演讲比赛,则恰有1名女生被选到的概率是

81>77.5+2 ,解得
a≤7,
8
∵a∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},∴所求概率为
10
=
4
.故选
5
D.
规律方法 求古典概型与统计相结合的问题的一般步骤
(1)根据概率统计的知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型;
(2)将所有基本事件列举出来(可用树状图);

(3)计算基本事件总数n,事件A包含的基本事件个数m,代入公式P(A)= ;
表法和树状图法.
4.几何概型
向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M,若点M落在子区域G1⫋G的
概率与G1的面积成正比,而与G的形状、位置无关,即P(点M落在G1)=
1 的面积
的面积
,则称这种模型为几何概型.
几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域,相应的概率是体积
之比或长度之比.
微点拨 几种常见的几何概型
P(A)=
构成事件的区域长度(或角度)
.
试验的全部结果所构成的区域长度(或角度)
2.当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度之比计算;当考察
对象为线时,一般用角度之比计算.
对点训练4(1)在区间[-1,1]内任取一个实数k,则使得直线y=kx与圆(x-2)2
+y2=1有公共点的概率是(
3
70
=
6
.
35
π
(2)由题意,∵θ∈[2 ,π),∴-1<cos
θ≤0,即-1<
2 -
2 + 2 ×
5
≤0,
所以- 5(2 + 2 )<2m-n≤0,
∵a=(m,n),m,n 为整数,且 m,n∈[1,5],
∴a 共有 25 种可能,又 2m-n≤0,即 m≤

,m,n∈[1,5],∴m=1
所以,A1 和 B1 两人组成一队参加比赛的概率为
12
P=72
=
1
.故选
6
C.
考向2 古典概型与代数、几何知识的结合
例2(1)(2022全国甲,理15)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一
个平面的概率为
.
(2)(2022 四川绵阳二模)已知 m,n 为整数,且 m,n∈[1,5],设平面向量 a=(m,n)

tan∠CAB=
=
1
3
=
3
π
,所以∠CAB=
,
3
6
直线 AP 在∠CAB 内时(包含角的两边),直线 AP 与线段 BC 有公共点,
π
6
π
2
所以所求事件的概率为 =
1
.
3
规律方法 1.与长度或角度有关的几何概型的解法:如果试验的结果构成的
区域的几何度量可用长度(或角度)表示,则其概率的计算公式为
基本事件总数 N=A25 =20,满足 a∥b 的基本事件(m,n)有(4,2),(6,3),共 2 个.
∴满足 a∥b 的概率为
2
P=20
=
1
.
10
考向3 古典概型与统计的结合
例3 (2022四川泸县五中三模)已知甲、乙两家快递公司一天内在4个居民
小区接收的快递数量如右面茎叶图所示.其中有一个数字被损坏,无法识别,
∴θ∈[ ,π)的概率为 .
2
25
规律方法 解决古典概型与代数、几何知识相结合问题的思路
将题目中代数、几何知识对概率的相关要求转化为求事件个数,列举基本
事件,求出基本事件总数和随机事件包含的基本事件的个数,然后利用古典
概型的概率公式进行计算.
对点训练2(1)若m是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素,则椭圆
所以基本事件总数为6.
2
使椭圆
+
2
=1
2
2
件.所以椭圆
+
的焦距为整数的 m 的可能取值有 1,3,11,共有 3 个基本事
2
=1
2
的焦距为整数的概率

(2)∵a=(m,n),b=(-2,-1),a∥b,∴-2
=

,解得
-1
3
P=6
=
1
.
2
m=2n.
从集合{2,3,4,5,6}中随机抽取两个数,分别记为 m,n,
假设这个数字具有随机性,现用a表示,则甲公司快递数量的中位数不低于
乙公司快递数量的中位数的概率为(
3
A.10
7
B.10
1
C.5
4
D.5
)
答案:D
解析:甲快递数量为
乙快递数量为
由
80+82
76,80,82,89,其中位数是
=81;
2
75+80+

73,75,8a,89,其中位数是 2 =77.5+2 ,
人,再从6人中随机抽取3人,则这3人中恰有2人
年人均纯收入位于[60,65)的概率是(
9
A.10
9
C.20
3
B.5
1
D.5
)
答案:D
解析:因为(0.01+0.07+0.06+a+0.02)×5=1,所以a=0.04.采用分层抽样,
从[55,60),[60,65),[65,70]这三个区间中,随机抽取6人,
|2|
1+ 2
≤1,解得-
3
3
≤k≤
3
.
3
在区间[-1,1]中随机取一个实数 k,
则事件“直线 y=kx 与圆(x-2) +y =1 有公共点”发生的概率为
2
(2)射线 OA 落在∠yOT
2
60°
内的概率为360°
=
1
.
6
3
3
-(- )
3
3
1-(-1)
=
3
.
3
考向2 与面积、体积有关的几何概型
则甲和乙不在同一路口的概率为

P=

=
2
.故选
3
C.
(2)设分为甲、乙两队,则甲队有C31 C41 =12(种)情况,
乙队有C21 C31 =6(种)情况,故共有 12×6=72(种)情况.
若 A1 和 B1 两人组成一队,在甲队时,乙队有C21 C31 =6(种)情况,
在乙队时,甲队有C21 C31 =6(种)情况,故共有 6+6=12(种)情况.
3
A.4
1
C.
3
1
0,
2
随机取 1
1
个数,则取到的数小于 的
3
)
2
B.3
1
D.
6
(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB= 3 ,BC=1,在∠DAB内任作射线AP,则射
线AP与线段BC有公共点的概率为
.
答案:(1)B
1
(2)
3
1
-0
3
1
-0
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析:(1)所求事件的概率 P=
=
2
.
3
(2)连接 AC,如图所示,
表示的区域为以(1,1)为圆心,半径为1的圆上和圆的内部,则A∩B如图所示
阴影部分,
1
所以(x,y)∈(A∩B)的概率为 2 ,故选A.
(2)设 OA=1,则 AB= 12 + 12 = 2,∴大圆 O 的面积 S1=π×12=π,
2
或 2.
①当 m=1 时,得- 5 + 52 <2-n≤0,∴n=2 或 3 或 4 或 5 满足题意;
②当 m=2 时,得- 20 + 52 <4-n≤0,∴n=4 或 5,满足题意;
故 a=(1,2)或(1,3)或(1,4)或(1,5)或(2,4)或(2,5),共 6 种情况符合题意,
π
6
相等
.
(2)如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n,随机事件A包含的可能结果

(基本事件)数为m,那么事件A的概率规定为P(A)= .
微点拨1.判断一个试验是否为古典概型,要看这个试验是否具有有限性和
等可能性;
2.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和;
3.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有:列举法、列
A.
2
3
C. 3
)
2
B.
2
1
D.2
(2)如图所示,在平面直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射
线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为
.
答案:(1)C
1
(2)
6
解析:(1)圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径为1.
要使直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1有公共点,
则圆心到直线 y=kx 的距离
1.与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关.
2.与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若已知图形
不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就
构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题.
3.与体积有关的几何概型,可借助空间几何体的体积公式解答问题.
2

2
+ 2 =1
的焦距为整数的概率为
.
(2)(2022安徽六安一中期末)设a=(m,n),b=(-2,-1),若从集合{2,3,4,5,6}中随
机抽取两个数,分别记为m,n,则满足a∥b的概率为
.
1
答案:(1)
2
1
(2)
10
解析:(1)因为m是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素,
(4)回到所求问题,规范作答.
对点训练3为了解某贫困地区实施精准扶贫后
的成果,现随机抽取了该地区部分人员,调查了
2020年其人均纯收入状况.经统计,这批人员的
年人均纯收入数据(单位:百元)全部介于45至
70之间.将数据分成5组,并得到如图所示的频
率分布直方图.现采取分层抽样的方法,从
[55,60),[60,65),[65,70]这三个区间中随机抽取6
则从[55,60)中抽取3人,从[60,65)中抽取2人,从[65,70]中抽取1人,再从6人中
抽取3人,
恰有 2 人位于[60,65)的概率为
C 22 C 14
P= 3
C6
=
1
.
5
考点二
几何概型(多考向探究)
考向1 与长度、角度有关的几何概型
例 4.(1)(2021 全国乙,文 7)在区间
概率为(
称为基本事件.
2.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是
互斥
的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 的和.
3.古典概型
(1)定义:具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概率模型,简
称古典概型.
①有限性:试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 .
②等可能性:每个基本事件出现的可能性
随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,则A1和B1两人组成一队参加比赛
的概率为(
1
A.18
1
C.
6
)
2
B.9
4
D.
9
答案:(1)C (2)C
解析:(1)将甲、乙等 4 名交警随机分配到两个不同路口疏导交通,每个路
口两人,基本事件总数 n=C42 C22 =6,甲和乙不在同一路口包含的基本事件个
数 m=C21 C21 =4,
没区别.
对点训练1(1)将甲、乙等4名交警随机分配到两个不同路口疏导交通,每个
路口两人,则甲和乙不在同一路口的概率为(
5
A.
6
2
C.3
)
1
B.
3
1
D.6
(2)学校举行羽毛球混合双打比赛,每队由一男一女两名运动员组成.某班
级从3名男生A1,A2,A3和4名女生B1,B2,B3,B4中各随机选出两名,把选出的4人
例5(1)(2022安徽马鞍山一模)已知集合A={(x,y)|(x-1)(y-1)≥0},集合
B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},在集合B中任取一个元素(x,y),则(x,y)∈(A∩B)的
概率是(
1
A.
2
)
π
B.
4
1
C.
4
π
D.
16
(2)如图,△OAB为等腰直角三角形,AO⊥BO,以O为圆心、
第十二章
第二节 古典概型与几何概型
内
容
索
引
01
强基础•固本增分
02
研考点•精准突破
课标解读
1.结合具体实例,理解古典概型,掌握古典
概型的基本特征,能计算古典概型中简单
随机事件的概率.
2.结合具体实例,了解几何概型及几何概
型的基本特征,能计算几何概型中简单随
机事件的概率.
3.根据实际问题构建概率模型,并能解决
简单的实际问题.
衍生考点
核心素养
1.直观想象
1.古典概型的概率
2.数据分析
2.几何概型的概率
3.数学建模
3.随机模拟方法
4.数学运算
强基础•固本增分
单个结果的事件
1.基本事件
在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验
中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件
(
2
A.7
3
B.7
4
C.7
5
D.7
)
(2)(2022全国乙,理13)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,
则甲、乙都入选的概率为
.
规律方法 1.求古典概型的概率的步骤