高一数学教案：复合函数

第4课时 复合函数
教学目标：
使学生掌握与复合函数有关的各类问题.
教学重点：
复合的含义.
教学难点：
复合函数的讨论.
教学过程：
[例1]已知f （x ）＝x 2－x ＋7，求f （2x －1）
解：f （2x －1）＝（2x －1）2－（2x －1）＋7
＝4x 2－6x ＋9
[例2]已知f （x ＋1）＝x 2＋3x ＋4，求f （x ）
解法一：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1
有：f （t ）＝（t －1）2＋3（t －1）＋4
＝t 2＋t ＋2
即：f （x ）＝x 2＋x ＋2
解法二：f （x ＋1）＝（x ＋1）2＋x ＋3
＝（x ＋1）2＋（x ＋1）＋2
∴ f （x ）＝x 2＋x ＋2
练习：
1．已知f （x ＋1x ）＝x 2＋1x 2 ，求f （x ） 2．已知f （x －1）＝x 2－3x ＋4，求f （2x －3）
［例3］(1)已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求f （x 2）的定义域.
(2)已知函数f （2x ＋1）的定义域为(0，1)，求f （x ）的定义域.
(3)已知函数f （x ＋1）的定义域为[－2，3]，求f （2x 2－2）的定义域.
分析：(1)求函数定义域就是求自变量x 的取值范围，求f （x 2）的定义域就是求x 的范围，而不是求x 2的范围，这里x 与x 2的地位相同，所满足的条件一样.
(2)应由0＜x ＜1确定出2x ＋1的范围，即为函数f （x ）的定义域.
(3)应由－2≤x ≤3确定出x ＋1的范围，求出函数f （x ）的定义域进而再求f （2x 2－2）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用.
解：(1)∵f （x ）的定义域为(0，1)
∴要使f （x 2）有意义，须使0＜x 2＜1，即－1＜x ＜0或0＜x ＜1∴函数f （x 2）的定义域为{x ｜－1＜x ＜0或0＜x ＜1}
(2)∵f （2x ＋1）的定义域为（0，1），即其中的函数自变量x 的取值范围是0＜x ＜1，令t ＝2x ＋1，∴1＜t ＜3，∴f （t ）的定义域为1＜x ＜3 ∴函数f （x ）的定义域为{x ｜1＜x ＜3}
(3)∵f （x ＋1）的定义域为－2≤x ≤3，∴－2≤x ≤3
令t ＝x ＋1，∴－1≤t ≤4
∴f （t ）的定义域为－1≤t ≤4
即f (x )的定义域为－1≤x ≤4，要使f （2x 2－2）有意义，须使－1≤2x 2－2≤4，
∴－ 3 ≤x ≤－22或22
≤x ≤ 3 函数f （2x 2－2）的定义域为{x ｜－ 3 ≤x ≤－
22或22≤x ≤ 3 } 评述：（1）对于复合函数f [ｇ（x ）]而言，如果函数f （x ）的定义域为A ，则f [ｇ（x ）]的定义域是使得函数ｇ（x ）∈A 的x 取值范围.
（2）如果f [ｇ（x ）]的定义域为A ，则函数f (x )的定义域是函数ｇ(x )的值域.
[例4]已知f （x ）＝⎩⎨
⎧2x －1 x ≥0－x ＋3 x ＜0 ，求f （x 2－1） 解：f （x 2－1）＝⎩⎨⎧2（x 2－1）－1 x 2－1≥0
－（x 2－1）＋3 x 2－1＜0
＝⎩⎨⎧2x 2－3 x ≥1或x ≤－1－x 2＋4 －1＜x ＜1
[例5]已知f （f （x ））＝2x －1，求一次函数f （x ）
解：设f （x ）＝k x ＋b ，则：
f （f （x ））＝k f （x ）＋b ＝k （k x ＋b ）＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝2x －1
∴⎩⎨⎧k 2＝2kb ＋b ＝－1
得：k ＝ 2 ，b ＝1－ 2 或k ＝－ 2 ，b ＝ 2 ＋1 ∴f （x ）＝ 2 x ＋1－ 2 或f （x ）＝－ 2 x ＋ 2 ＋1
[例6]已知函数满足2f （x ）＋f （ 1x
）＝x ，求f （x ） 解：令t ＝ 1x ，则有2f （ 1t ）＋f （t ）＝1t
即：2f （ 1x ）＋f （x ）＝1x
∴f （x ）＝2x 2－13x
课后作业：
1．已知f （x ＋1）＝x ＋2x ，求f (x )的解析式.
分析：此题目中的“f ”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用.
即：求出f 及其定义域.
解：设t ＝x ＋1≥1，则x ＝t －1，
∴x ＝（t －1）2
∴f （t ）＝（t －1）2＋2（t －1）＝t 2－1（t ≥1）
∴f （x ）＝x 2－1（x ≥1）
2．（1）已知函数y ＝f （x ）的定义域为[0，1]，求f （x －1）的定义域.
解：∵f （x ）中0≤x ≤1
∴0≤x －1≤1，即1≤x ≤2
（2）已知函数y ＝f （x －1）的定义域为[0，1]，求f （x ）的定义域.
解：函数y ＝f （x －1）中0≤x ≤1
∴－1≤x －1≤0
即：y＝f（x）的定义域为[－1，0]
（3）已知函数y＝f（x－2）的定义域为[1，2]，求y＝f（x＋3）的定义域.
3．已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f(x)的解析式.
解：设f（x）＝ax＋b则
3f（x＋1）－2f（x－1）
＝3ax＋3a＋2b＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17
∴a＝2，b＝7
∴f（x）＝2x＋7。