宁波市慈溪市2016届九年级上期中数学试卷含答案解析

2015-2016学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．抛物线y=（x﹣1）2+3的对称轴是（ ）
A．直线x=1B．直线x=3C．直线x=﹣1D．直线x=﹣3
2．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
4．如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=8，OC=3，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．3C．4D．5
5．已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（ ）
A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm
6．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
7．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x+1）2+2C．y=（x﹣1）2﹣2D．y=（x+1）2﹣2
8．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，扇形AOB的圆心角为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．﹣1C．2﹣D．
10．如图，在抛物线y=﹣x2上有A，B两点，其横坐标分别为1，2；在y轴上有一动点C，则AC+BC最短距离为（ ）
A．5B．C．D．
11．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）
A．11B．10C．9D．8
12．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是BC的中点，AE=CE，∠BAC=3∠CBD，BD=6+6
，则AB的长为（ ）
A．6B．6C．12D．10
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．抛物线y=﹣2（x﹣）2﹣2的顶点的坐标是 ．
14．从0，，π，6，﹣3.14中随机任取一数，取到无理数的概率是 ．
15．已知扇形的半径为4cm，弧长是4πcm，则扇形的面积是 cm2．
16．函数y=ax﹣3的图象与y=bx+4的图象交于x轴上一点，那么a：b等于 ．
17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，0），C（6，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小，位似比为1：2，则线段AC中点P变换后对应点的坐标为 ．
18．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=90°，AB=BC，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点，P是BC边上一点，连接AD、DC、AP．已知AB=8，CP=2，Q是线段AP上一动点，连接
BQ并延长交四边形ABCD的一边于点R，且满足AP=BR，则的值为 ．
三、解答题（共78分）
19．已知抛物线y=﹣x2+bx﹣c的部分图象如图．
（1）求b、c的值；
（2）分别求出抛物线的对称轴和y的最大值．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长；
（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
21．如图，在正△ABC中，点D是AC的中点，点E在BC上，且=．求证：
（1）△ABE∽△DCE；
（2），求S△ABC．
22．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是
等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时：
（1）求三辆车全部同向而行的概率；
（2）求至少有两辆车向左转的概率；
（3）由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均
为．目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
23．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）求出点B经过的路线长度；
（3）计算线段AC在变换到AC′的过程中扫过区域的面积．
24．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
25．阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相
似比（a：b）．
设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则==（）2
又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则==（）3
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A）
A．两个球体B．两个锥体C．两个圆柱体D．两个长方体
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 ；
②相似体表面积的比等于 ；
③相似体体积比等于 ．
（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）
26．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；
①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；
（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．
2015-2016学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．抛物线y=（x﹣1）2+3的对称轴是（ ）
A．直线x=1B．直线x=3C．直线x=﹣1D．直线x=﹣3
【考点】二次函数的性质．
【分析】二次函数的顶点式y=（x﹣h）2+k，对称轴为x=h．
【解答】解：抛物线y=（x﹣1）2+3的对称轴是直线x=1．
故选A．
2．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【分析】直接根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，
∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率=．
故选：B．
3．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【考点】圆周角定理．
【分析】由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，
又由∠A=35°，即可求得∠B的度数．
【解答】解：∵AB是△ABC外接圆的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=35°，
∴∠B=90°﹣∠A=55°．
故选：C．
4．如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=8，OC=3，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．3C．4D．5
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】已知AB和OC的长，根据垂径定理可得，AC=CB=4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可以求出OA．
【解答】解：∵OC⊥AB于C，
∴AC=CB，
∵AB=8，
∴AC=CB=4，
在Rt△AOC中，OC=3，
根据勾股定理，
OA==5．
故选D．
5．已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（ ）
A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据相似多边形面积之比等于相似比的平方求出相似比，根据相似多边形周长之比等于相似比去周长比，列式计算即可．
【解答】解：两个相似多边形的面积比是9：16，
∴两个相似多边形的相似比是3：4，
∴两个相似多边形的周长比是3：4，
设较大多边形的周长为为xcm，
由题意得，18：x=3：4，
解得，x=24，
故选：A．
6．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．
【分析】若D、E是AB、AC的中点，则DE是△ABC的中位线，可根据三角形中位线定理得出的等量条件进行判断．
【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线；
∴DE∥BC，BC=2DE；（故①正确）
∴△ADE∽△ABC；（故②正确）
∴，即；（故③正确）
因此本题的三个结论都正确，故选A．
7．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x+1）2+2C．y=（x﹣1）2﹣2D．y=（x+1）2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
【解答】解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y=（x﹣1）2+2，
故选：A．
8．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号相同的有4种情况，
∴两次摸出的小球的标号相同的概率是： =．
故选：C．
9．如图，扇形AOB的圆心角为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．﹣1C．2﹣D．
【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．
【分析】根据题意可得出两个矩形全等，则阴影部分的面积等于等于矩形ACDF的面积．【解答】解：易得两个矩形全等，
∵OC=1，
∴由勾股定理得OA=，
∴S阴影=S矩形=（﹣1）×1=﹣1，
故选B．
10．如图，在抛物线y=﹣x2上有A，B两点，其横坐标分别为1，2；在y轴上有一动点C，则AC+BC最短距离为（ ）
A．5B．C．D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；二次函数的性质．
【分析】找出点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴相交于点C，根据轴对称确定最短路线问题，点C即为使AC+BC最短的点，再根据抛物线解析式求出点A′、B的坐标，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1，
连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，
当x=﹣1时，y=﹣1，
当x=2时，y=﹣4，
所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
由勾股定理得，A′B==3．
故选B．
11．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长
线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
【分析】判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．
【解答】解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=6，AD=DF=9，
∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且CF=CE，
∴EC=FC=DF﹣DC=9﹣6=3， =，
在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，
∴AG==2，
∴AE=2AG=4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选D．
12．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是BC的中点，AE=CE，∠BAC=3∠CBD，BD=6+6
，则AB的长为（ ）
A．6B．6C．12D．10
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】作DF⊥BC于F，根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形，求出∠CBD的度数，进而判断出△ACD是等边三角形，设AB=a，在Rt△BDF中利用直角三角形的性质求出DF的长，用a表示出CF的长，再根据勾股定理即可得出a的值，进而得出答案．
【解答】解：
作DF⊥BC于F，
∵AB=AC=AD，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵AE=CE，BE=EC，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠BAC=3∠CBD，
∴∠DBC=30°，∠ABD=15°，
∴∠BAD=180°﹣15°﹣15°=150°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAD=60°，
∵AC=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴AB=AC=AD=CD，
设AB=a，则BC=a，AC=AD=CD=a，
在Rt△BDF中，
∵∠DBF=30°，BD=6，
∴DF==3+3，BF=BD•cos∠CBD=（6+6）×=3+9，∴CF=BF﹣BC=3+9﹣a，
在Rt△CDF中，由勾股定理可得CF2+DF2=CD2，
即（3+9﹣a）2+（3+3）2=a2，解得a=12，
故选C．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．抛物线y=﹣2（x﹣）2﹣2的顶点的坐标是　（，﹣2）　．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据函数y=﹣2（x﹣）2﹣2，可以直接写出它的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵y=﹣2（x﹣）2﹣2，
∴抛物线y=﹣2（x﹣）2﹣2的顶点的坐标是（，﹣2），
故答案为：（，﹣2）．
14．从0，，π，6，﹣3.14中随机任取一数，取到无理数的概率是 ．
【考点】概率公式；无理数．
【分析】先根据无理数的定义得到无理数的个数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：无理数有π，6，
所以随机任取一数，取到无理数的概率=．
故答案为．
15．已知扇形的半径为4cm，弧长是4πcm，则扇形的面积是　8π　cm2．
【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．
【分析】直接利用扇形面积公式为： lr，即可得出答案．
【解答】解：∵扇形的半径为4cm，弧长是4πcm，
∴扇形的面积是：×4×4π=8π（cm2）．
故答案为：8π．
16．函数y=ax﹣3的图象与y=bx+4的图象交于x轴上一点，那么a：b等于　﹣　．【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】令y=0，分别求出x，根据题意列出方程即可解决问题．
【解答】解：令y=0，分别解得x=，x=﹣，
由题意=﹣，
∴=﹣，
故答案为﹣．
17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，0），C（6，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小，位似比为1：2，则线段AC中点P变换后对应点的坐标为　（﹣2，﹣）或（2，）　．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】分缩小后的三角形在第一象限和第三象限两种情况，根据网格结构分别找出点
A、B、C的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点P的坐标．
【解答】解：如图，∵A（2，2），C（6，4），
∴点P的坐标为（4，3），
∵以原点为位似中心将△ABC缩小位似比为1：2，
∴线段AC的中点P变换后的对应点的坐标为（﹣2，﹣）或（2，）．
故答案为：（﹣2，﹣）或（2，）．
18．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=90°，AB=BC，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点，P是BC边上一点，连接AD、DC、AP．已知AB=8，CP=2，Q是线段AP上一动点，连接
BQ并延长交四边形ABCD的一边于点R，且满足AP=BR，则的值为　1或　．
【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；圆周角定理．
【分析】先证明四边形ABCD是正方形，得出AD∥BC．根据题意，可知点R所在的位置可能有两种情况：①点R在线段AD上；②点R在线段CD上．针对每一种情况，分别求出BQ：QR的值．
【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，∠B=90°，AB=BC，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点，
∴四边形ABCD是正方形．
∴AD∥BC，
当AP=BR时，分两种情况：
①点R在线段AD上，
∵AD∥BC，
∴∠ARB=∠PBR，∠RAQ=∠APB，
∵AP=BR，
∴△BAP≌ABR，
∴AR=BP，
在△AQR与△PQB中，
∵，
∴△AQR≌△PQB，
∴BQ=QR
∴BQ：QR=1；
②点R在线段CD上，此时△ABP≌△BCR，
∴∠BAP=∠CBR．
∵∠CBR+∠ABR=90°，
∴∠BAP+∠ABR=90°，
∴BQ是直角△ABP斜边上的高，
∴BQ===4.8，
∴QR=BR﹣BQ=10﹣4.8=5.2，
∴BQ：QR=4.8：5.2=．
故答案为：1或．
三、解答题（共78分）
19．已知抛物线y=﹣x2+bx﹣c的部分图象如图．（1）求b、c的值；
（2）分别求出抛物线的对称轴和y的最大值．
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．
【分析】（1）根据函数的图象过（1，0）（0，3），再代入y=﹣x2+bx+c，列出方程组，即可求出b，c的值；
（2）把函数化为顶点式，求得对称轴和最大值即可．
【解答】解：（1）把（1，0），0，3）代入y=﹣x2+bx﹣c得
解得b=﹣2，c=﹣3；
（2）y=﹣x2﹣2x+3
=﹣（x+1）2+4，
所以抛物线的对称轴是x=﹣1，最大值为4．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长；
（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
【分析】（1）根据圆周角定理可得出∠M=∠D=∠C=∠CBM，由此即可得出结论；
（2）先根据AE=16，BE=4得出OB的长，进而得出OE的长，连接OC，根据勾股定理得出CE 的长，进而得出结论；
（3）根据题意画出图形，根据圆周角定理可知，∠M=∠BOD，由∠M=∠D可知
∠D=∠BOD，故可得出∠D的度数．
【解答】解：（1）BC∥MD．
理由：∵∠M=∠D，∠M=∠C，∠D=∠CBM，
∴∠M=∠D=∠C=∠CBM，
∴BC∥MD；
（2）∵AE=16，BE=4，
∴OB==10，
∴OE=10﹣4=6，
连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CE=CD，
在Rt△OCE中，
∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得CE=8，
∴CD=2CE=16；
（3）如图2，
∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=∠BOD，即∠BOD=2∠D，
∵AB⊥CD，
∴∠BOD+∠D=90°，即3∠D=90°，解得∠D=30°．
21．如图，在正△ABC中，点D是AC的中点，点E在BC上，且=．求证：
（1）△ABE∽△DCE；
（2），求S△ABC．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由题意可以得出∠B=∠C=60°，又==，所以=2，又点D是AC的中
点，即： ===，所以△ABE∽△DCE；
（2）由（1）知△ABE∽△DCE，由相似三角形的性质（相似三角形的面积之比等于边之比的
平方）可得S△ABE=（）2×S△DCE=4×6=cm2，又AD=DC且△AED与△EDC具有相同的高和底，所以S△AED=S△EDC=6cm2，S△ABC=S△ABE+S△DCE+S△AED，代入求值．
【解答】（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠C，AB=AC．
∵点D是AC的中点，
∴AC=2CD．
∵=，
∴BE=2CE．
∴==．
∴△ABE∽△DCE．
（2）解：∵△ABE∽△DCE，
∴S△ABE=（）2×S△DCE=4×6=24cm2，
又∵AD=DC且△AED与△EDC具有相同的高和底，
∴S△AED=S△EDC=6cm2
∴S△ABC=S△ABE+S△DCE+S△AED=24++=cm2．
22．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时：
（1）求三辆车全部同向而行的概率；
（2）求至少有两辆车向左转的概率；
（3）由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对
车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均
为．目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与三辆车全部同向而行的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）由（1）中的树状图即可求得至少有两辆车向左转的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（3）由汽车向右转、向左转、直行的概率分别为，即可求得答案．
【解答】解：（1）分别用A，B，C表示向左转、直行，向右转；
根据题意，画出树形图：
∵共有27种等可能的结果，三辆车全部同向而行的有3种情况，
∴P（三车全部同向而行）=；
（2）∵至少有两辆车向左转的有5种情况，
∴P（至少两辆车向左转）=；
（3）∵汽车向右转、向左转、直行的概率分别为，
∴在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下：
左转绿灯亮时间为90×=27（秒），直行绿灯亮时间为90×=27（秒），右转绿灯亮的时
间为90×=36（秒）．
23．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）求出点B经过的路线长度；
（3）计算线段AC在变换到AC′的过程中扫过区域的面积．
【考点】作图﹣旋转变换；扇形面积的计算．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B′、C′，从而可得到△AB′C′；（2）点B经过的路线为以点A为圆心，AB为半径，圆心角为90°的弧，然后根据弧长公式求
解即可；
（3）线段AC在变换到AC′的过程中扫过区域为以A为圆心，AC为半径，圆心角为90°的扇形，然后根据扇形面积公式求解．
【解答】解：（1）如图，△AB′C′为所作；
（2）AB==5，
所以点B经过的路线长度==π；
（3）线段AC在变换到AC′的过程中扫过区域的面积==4π．
24．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市
场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天
少销售3箱．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意易得出平均每天销售量
（y）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为y=90﹣3（x﹣50），然后根据销售利润=销售量
×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【解答】解：（1）由题意得：
y=90﹣3（x﹣50）
化简得：y=﹣3x+240；
（2）由题意得：
w=（x﹣40）y
（x﹣40）（﹣3x+240）
=﹣3x2+360x﹣9600；
（3）w=﹣3x2+360x﹣9600
∵a=﹣3＜0，
∴抛物线开口向下．
当时，w有最大值．
又x＜60，w随x的增大而增大．
∴当x=55元时，w的最大值为1125元．
∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．
25．阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．
设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则==（）2
又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则==（）3
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A）
A．两个球体B．两个锥体C．两个圆柱体D．两个长方体
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于　相似比　；
②相似体表面积的比等于　相似比的平方　；
③相似体体积比等于　相似比的立方　．
（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据阅读材料可以知道相似体就是形状完全相同的物体，根据体积的计算方法就可以求出所要求的结论．
【解答】解：（1）A；
（2）①相似比②相似比的平方③相似比的立方；（每空，共6分）
（3）由题意知他的体积比为；
又因为体重之比等于体积比，
若设初三时的体重为xkg，
则有=
解得x==60.75．
答：初三时的体重为60.75kg．
26．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；
①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；
（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）①利用待定系数法求抛物线的解析式；利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，由圆周角定理得AB为圆的直径，再由垂径定理知点C、D关于AB对称，由此得出点D的坐标；
②求出△BDM面积的表达式，再利用二次函数的性质求出最值．解答中提供了两种解法，请分析研究；
（2）根据抛物线与x轴的交点坐标、根与系数的关系、相似三角形求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；
∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．
如答图1，连接AC、BC．
由勾股定理得：AC=，BC=．
∵AC2+BC2=AB2=100，
∴∠ACB=90°，
∴AB为圆的直径．
由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，
∴D（0，4）．
（2）解法一：
设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），
∴，解得，
∴直线BD解析式为：y=﹣x+4．
设M（x， x2﹣x﹣4），
如答图2﹣1，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，﹣x+4）．
∴ME=（﹣x+4）﹣（x2﹣x﹣4）=﹣x2+x+8．
∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME（x E﹣x D）+ME（x B﹣x E）=ME（x B﹣x D）=4ME，
∴S△BDM=4（﹣x2+x+8）=﹣x2+4x+32=﹣（x﹣2）2+36．
∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；
解法二：
如答图2﹣2，过M作MN⊥y轴于点N．
设M（m， m2﹣m﹣4），
∵S△OBD=OB•OD==16，
S梯形OBMN=（MN+OB）•ON
=（m+8）[﹣（m2﹣m﹣4）]
=﹣m（m2﹣m﹣4）﹣4（m2﹣m﹣4），
S△MND=MN•DN
=m[4﹣（m2﹣m﹣4）]
=2m﹣m（m2﹣m﹣4），
∴S△BDM=S△OBD+S梯形OBMN﹣S△MND
=16﹣m（m2﹣m﹣4）﹣4（m2﹣m﹣4）﹣2m+m（m2﹣m﹣4）
=16﹣4（m2﹣m﹣4）﹣2m
=﹣m2+4m+32
=﹣（m﹣2）2+36；
∴当m=2时，△BDM的面积有最大值为36．
（3）如答图3，连接AD、BC．
由圆周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∴△AOD∽△COB，
∴=，
设A（x1，0），B（x2，0），
∵已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0），
∵OC=﹣c，x1x2=c，
∴=，
∴OD==1，
∴无论b，c取何值，点D均为定点，该定点坐标D（0，1）．　
2017年3月8日。