备战2018年高考数学(理)之高频考点解密-解密04 函数的应用 含解析

备战2018年高考数学（理）之高频考点解密
考点1 函数的零点
题组一
函数零点（方程的根）所在区间的判断 调研1 在下列区间中,函数的零点所在的区间为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】因为1
411()e 40,e 20,
1042x
f x f f ⎛⎫
⎛⎫
'=+>=-<=> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
,所以零点所在的区间为，故选C ．
☆技巧点拨☆
确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与x轴的交点来确定
.
题组二函数零点个数的判断
调研2 函数的零点个数为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】画出与的图象(如图所示)，它们有2个交点，所以函数的零点个数为2.故选C．
☆技巧点拨☆
函数零点个数的判断方法
（1）解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点
.
题组三函数零点的应用问题
调研3 已知函数=
1
2
log,0
2,0
x
x x
x
>
⎧⎪
⎨
⎪≤
⎩
，若关于的方程有两个不等的实数根,则实数的取值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】作出=
1
2
log,0
2,0
x
x x
x
>
⎧⎪
⎨
⎪≤
⎩
的图象如图所示，在时，是增函数，值域为；在
时，是减函数，值域是，由图知，方程有两个不等的实数根，则有.故选D．
☆技巧点拨☆
高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略．
1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围
根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．
3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系
要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：
①求出零点，直接比较大小；
②确定零点所在区间；
③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小
.
考点2 函数模型及其应用
题组一二次函数模型的应用
调研 1 近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在
甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益与
投入(单位:万元)满足,乙城市收益与投入(单位:万元)满足,设甲城市的投入为(单位:万元),两个城市的总收益为(单位:万元).
(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?
【解析】(1)当时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,
所以总收益==43.5(万元).
(2)由题知,甲城市投资万元,乙城市投资万元,
所以==
依题意得,解得,
故=,
令,则,
所以==.
当,即万元时,的最大值为44万元,
所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.
题组二指数函数、对数函数模型的应用
调研2 在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,如果物体的初始温度是,经过一定时间
后,温度将满足=,其中是环境温度,称为半衰期.现有一杯用195F热水冲的速溶咖啡,放在75F 的房间内,如果咖啡降到105F需要20分钟,问降温到95F需要多少分钟?(F为华氏温度单位,答案精确到0.1，参考数据:）
【解析】依题意,可令====，代入式子得:=,解得,
又把代入式子得=,则,
∴====
0.4771
10125.9
0.3010
⎛⎫
+≈
⎪
⎝⎭
故降温到95F约需要25.9分钟.
调研3 声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为
,能听到的最低声强为
,求人听觉的声强级范围;
(2)在一演唱会中,某女高音的声强级高出某男低音的声强级,请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍?
【解析】(1)由题知:,∴
,
∴
, ∴人听觉的声强级范围是
. (2)设该女高音的声强级为,声强为, 该男低音的声强级为,声强为, 由题知:,则
,∴
,
∴
.
故该女高音的声强是该男低音声强的倍.
题组三 分段函数模型的应用
调研4 经市场调查,某商品在过去的100天内的销售量(单位:件)和价格(单位:元)均为时间(单位:天)的函数,且
销售量满足
=()60,1601
150,611002
t t t t t +≤≤⎧⎪
∈⎨-≤≤⎪⎩N ,价格满足=.
(1)求该种商品的日销售额
与时间的函数关系;
(2)若销售额超过16610元,商家认为该商品的收益达到理想程度,请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度? 【解析】(1)由题意知,当时,
=
= =,
当
时,
=
==
,
则
=()()2214012000160,12503000061100,2
t t t t t t t t ⎧-++≤≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩N N . (2)当时,=
=
,
所以,函数在上单调递增, 故=
=
(元),
当时,=
= ,
所以,函数在上单调递减, 故
==
(元).
若销售额超过16610元,当时,函数单调递减,故只有第61天满足条件.
当时,经计算满足条件,
又函数在上单调递增,所以第53,54,…,60天,满足条件.
即满足条件的天数为第53,54,…,60,61天,共9天.
☆技巧点拨☆
解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：
（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.
1．（百校联盟2018届TOP20一月联考）命题
7
:1
2
p a
-<<，命题:q函数()1
2x
f x a
x
=-+在()
1,2上有零点，则
p是q的
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
2．（绵阳市高中2018届第一次诊断性考试）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米.
A．13 B．14
C．15 D．16
【答案】C
3．（河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测（模拟））已知函数()()2,0
21,0
x a x f x a x x ⎧-≤=∈⎨->⎩R ，
若函数()f x 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(]
,1-∞ C ．[1,0)- D ．(]0,1
【答案】D 【解析】显然12
x =
是()f x 的一个零点，故方程20x
a -=在(],0-∞上有解.再根据当(,0]x ∈-∞时，021x <≤，可得01a <≤.
4．（湖南省衡阳县2018届高三12月联考）某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.10.041,lg20.301==） A ．2022年 B ．2023年 C ．2024年 D ．2025年
【答案】C
【解析】设从2016年后，第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元， 由题意可得：()100110%200n
⨯+≥，即1.12n ≥， 两边取对数可得：lg20.301
7.3lg1.10.041
n >
=≈，则8n ≥， 即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是2024年.故选C.
5．（四川省广安、眉山2018届毕业班第一次诊断性考试）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，当
03x ≤≤时，()2f x x =-；当3x ≥时，()()2f x f x =-，则函数()|ln |||y f x x =-的零点个数是
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
【答案】C
6．（广西南宁市2018届高三（上）9月摸底）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当x ∈[﹣
2，0]时，(
)12x
f x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，若在区间（﹣2，6）内关于x 的方程()log 2)(0a f x x -+=（a ＞0且a ≠1）有
且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是 A ．1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．（1，4）
C ．（1，8）
D ．（8，+∞）
【答案】D 【
解
析
】
∵
对
于
任
意
的
x ∈R
，都有
()()
22f x f x -=+，∴
()()()4[22][2f x f x f x +=++=+()2]f x -=，
∴函数()f x 是一个周期函数，且4T =，又∵当[]20x ∈-，时，(
)12x
f x ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，且函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若在区间()2,6-内关于x 的方程
()()l og 2
0a f x x -+=恰有4个不同的实数解，则函数()y f x =与()()log 21a y x a =+>的图象在区间()2,6-上有4个不同的交点，如下图所示：
又()()()2261f f f -===，则对于函数()log 2a y x =+，由题意可得，当6x =时的函数值小于1，即
log 81a <，由此解得8a >，∴a 的取值范围是()8+∞，，故选D ．
7．（2017-2018学年安徽省皖西南名校高三阶段性检测联考）设是方程的解,且
),
则
__________.
【答案】99
8．（北京东城27中学2018届高三上学期期中考试）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，*
x ∈N ）的关系为2
1825y x x =-+-，则当每台机器__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元． 【答案】5 8 【解析】
2518y x x x =-+-
2518x x ⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭8≤． 当且仅当5x =时，等号成立，max
8y x ⎛⎫
=
⎪⎝
⎭， 即机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元/年．
9．（2017-2018学年天津市南开中学2018届高三上学期第一次月考）已知函数有三个不同
的零点,则实数的取值范围为__________. 【答案】(
]
10．（北京市海淀区2018届高三上学期期中考试）设在海拔x （单位：m ）处的大气压强为y （单位：kPa ），y 与x
的函数关系可近似表示为100e ax
y =，已知在海拔1000 m 处的大气压强为90 kPa ，则根据函数关系式，在海拔2000 m 处的大气压强为__________kPA ． 【答案】81
【解析】将()1000,90代入100e ax
y =，可得ln0.91000
a =，则y 与x
当2000x =时，()
2
ln0.9
100e 81y ==，故填81.
11．（北京市昌平区2018届高三上学期期末考试）若函数()4,3
log ,3
a x x f x x x -+≤⎧=⎨
>⎩（0a >且1a ≠），函数
()()g x f x k =-.
①若1
3
a =
，函数()g x 无零点，则实数k 的取值范围是__________； ②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[)1,1- (]
1,3 【解析】①a =
1
3
时，画出函数()f x 的图象，如图所示：
若函数()g x 无零点，则y =k 和()y f x =无交点， 结合图象，可知﹣1≤k ＜1；
②若0＜a ＜1，显然()f x 无最小值，故a ＞1， 结合log a 3=1，解得a =3， 故a ∈（1，3].
12．（2017-2018学年上海市杨浦区高三数学一模）如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一
边，并用平行于一边的篱笆隔开
.
（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）()3y x l x =-，0,3l x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
；（2）6l x =时，2max 12l y =
.
∴当且仅当6
l
x =时，2max 12l y =.
综上，当场地垂直于墙的边长x 为6
l
时，最大面积为212l .
13．（2017-2018学年山东省德州市2018届高三上学期期中考试）水培植物需要一种植物专用营养液,
已知每投放
且
)个单位的营养液,它在水中释放的浓度 (克/升)随着时间 (天)
变化的函数关系式近似为
,其中()()30235(25)
x
x f x x x x +⎧≤≤⎪
=-⎨⎪-<≤⎩,若多次投放,则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在
相应时刻所释放的浓度之和,根据经验,当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时,它才能有效.
(1)若只投放一次2个单位的营养液,则有效时间最多可能达到几天?
(2)若先投放2个单位的营养液,3天后再投放个单位的营养液,要使接下来的2天中,营养液能够持续有效,试
求的最小值.
【答案】(1) 3；(2).
14．（2017-2018学年湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三10月联考）省环保
研究所对某市市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数与时
刻(时)的关系为
,其中是与气象有关的参数,且
,若用每天
的最
大值为当天的综合放射性污染指数,并记作.
(1)
令[]0,24t x =∈.求的取值范围; (2)求
;
(3)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前该市市中心的综合放射性污染指数是否超标.
【答案】(1)
；(2)()71,064
211
3,342a a M a a a ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩
；(3)当409a ≤≤时不超标,当4192a <≤时超标.
1．（2016四川理科）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）
A．2018年B．2019年
C．2020年D．2021年
【答案】B
2．（2017新课标全国Ⅲ理科）设函数()π
(3
cos )f x x =+，则下列结论错误的是
A ．()f x 的一个周期为2π-
B ．()y f x =的图象关于直线8π
3
x =
对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6
x =
D ．()f x 在(
π
2
,π)单调递减 【答案】D
【解析】函数()f x 的最小正周期为2π
2π1
T =
=，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()π
π3
x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π
3
x =
对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即
()ππ6
x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π
6x =，选项C 正确；
当π,π2x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.
故选D ．
【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2π
T ω
=
；奇偶性的判断关键是看解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.
（2）求()()s i n 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()π
π2
x k k ωϕ+=+∈Z ，求x 即可；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.
3．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知函数2
1
1()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =
A ．12
-
B ．
13
C ．
12
D ．1
【答案】C
4．（2015四川理科）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系e
kx b
y +=（e 2.718
=为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0 C 的保鲜时间是192小时，在22 C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 C 的保鲜时间是_________小时. 【答案】24。