弹性力学：04 应力和应变的关系

ij
0ij
2G ij
2 3
G ij
K
2 3
G
E
31 2
G
=
E 2(1 +
ν)
由于偏量和球量相互独立 ，所以有 (因为偏量的球量等于零，球量的偏量等于零)
x
x
E
x是由于y的作用所产生的相对缩短
x
ν
y
E
x是由于z的作用所产生的相对缩短
x
ν
z
E
Chapter 5.1
广义胡克定律
将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下
在x轴方向的应变
x
x
E
ν
y
E
νz
E
1 E
x
ν
y z
同理可得到在y轴和z轴方向的应变
y
1 E
y
ν x
z
z
1 E
z
ji ij
满足上面条件的应力 ij 、体力 Fi 和面力 Ti 就是一个平衡组。
静力可能的应力未必是真实的应力。真实应力还应满足应力表 示的应变协调方程，对应的位移还应满足位移边界条件。
本构关系的概念
一个满足应变和位移协调条件以及位移边界条件的应变场称为 容许场。或者几何可能的位移
几何方程：
本构关系的概念
一个固体力学问题的解答在每一瞬间必须满足下列条件： （1）平衡方程； （2）几何条件或应变与位移的协调性； （3）材料本构定律或应力－应变关系。 在（1）和（2）中包括力和位移必须满足的初始和边界条件。 满足静力学条件的应力场称为静态条件允许的应力。
ji, j Fi 0
Ti ji nj
本构关系的概念
• 静力平衡条件和位移条件都与物体的材料特性无关。
体力和面力
位移
平衡
本构关系
相容
应力
应变
力学问题中各量间关系
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
ij
1 2
ui, j u j.i
协调条件：
ij,kl kl,ij ik , jl jl,ik 0
对于一个假定位移场ui ，其相应的协调应变分量ij 可直接由应
变－位移关系得到。显然，这组协调的应变和位移，仅仅是许 多其他可能的应变和位移场中的一组。
几何可能的位移未必是真实的，真实位移在弹性体内部须满足 以位移表示的平衡微分方程。
1 E
z
ν
x y
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
广义胡克定律
杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为
G
=
E 2(1 +
ν)
将弹性本构关系写成指标形式为
ij
1
E
ij
E
kk ij
Chapter 5.1
广义胡克定律
三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
Chapter 5.1
广义胡克定律
弹性关系的常规形式为
x 2G x ; xy G xy y 2G y ; yz G yz x 2G z ; zx G zx
其中 G 和 称为拉梅常数。
Chapter 5.1
广义胡克定律
ij 2Gij kkij
将应力和应变张量分解成球量和偏量，得
y ν x
其中 是弹性常数，称为泊松比。
Chapter 5.1
广义胡克定律
线弹性叠加原理
z
先考虑在各正应力作用
z x
下沿 x 轴的相对伸长，它
由三部分组成，即
y
o
y
x x x x
y
x x z
Chapter 5.1
广义胡克定律
x x x x
其中 x 是由于x的作用所产生的相对伸长
本构关系的概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发，得到 了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅用这 些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因为在 推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内在联 系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料，他 们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材料 所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段的 应力和应变的关系——本构关系。
广义胡克定律
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x E x
式中 E 称为弹性模量。对于一种材 料在一定温度下，E 是常数。
Chapter 5.1
广义胡克定律
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
正应力有关，与剪应力无关；剪应变只与剪应力有关，与正
应力无关。 弹性力学将导出更一般的本构关系。
广义胡克定律
x
1 E
x
ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
1 E
z
ν
x y
x
y
z
1 E
x
y
z
2
x y z
1 2 E
x y z
Chapter 5.1
广义胡克定律
如用应变第一不变量 代替三个正应变之和，用应力
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
ν
x y
Chapter 5.1
广义胡克定律
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
广义胡克定律
于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：
x
1 E
x
ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
第一不变量 表示三个正应力之和，则
x
y
z
1 2
E
x y z
1 2
E
3K
其中
K E
3(1 2 )
称为体积模量。
Chapter 5.1
广义胡克定律
∵ ij
1
E
ij
E
kkij
;
1 2
E
∴
ij
E
1
ij
1
ij
G
=
E 2(1 +
ν)
2G ij
E
1 1
2
ij
令
1
E
1
2
则 ij 2Gij kkij
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
广义胡克定律
广义胡克定律的一般形式
z
x
1 E
[
x
( y
z )]
zx zy
xz yz
x
xy
yx
y
y
1 E
[ y
( z
x )]
z
ห้องสมุดไป่ตู้
1 E
[
z
( x
y )]
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
对于各向同性材料，在小变形、线弹性情况下，线应变只与