(优辅资源)江西省五市八校高三数学第二次联考试题 文

江西省五市八校2016届高三第二次联考数学（文科）试卷
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域书
写作答，
在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将答题卡收回.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是实数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．12-
C.1
2
D ．2 2.设函数2
()sin +1f x x x =,且()5f m =,则()f m -的值为（ ） A ．5- B. 3- C. 3 D. 5
3.集合{}
2
|20A x x x =--=,{}
2|0B x x x m =++=,若A
B φ≠,则m 的值为
（ ）.
A ．6-或6 B.0或6 C. 0或6- D. 0或6± 4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．则输出的S=（ ） A ．
83 B ．4615 C. 25
6
D ．13730 5. 已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，
若2z x y =+，则z 的最大值为（ ） A ．4- B ．0 C.2 D ．4
6. 设(1,2)a =r ，(,)b x y =r
，c a b =+r r r ．若b c ⊥r r ，则点(,)x y 的轨迹方程为（ ）
A.2215()(1)24x y -+-=
B ．22
15()(1)24x y ++-=
C ．2215()(1)24x y -++=
D ．22
15()(1)24
x y +++=
7. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线截圆()2
22y 3x -+=所得的弦长等于,
则双曲线的离心率为（ ）
8. 设函数()cos
0)f x x ωφω=+>（）（的图像向右平移4
π
，与原图像重合，则ω的最小值为（ ）
A ．4 B. 6 C. 8 D. 16
9. 现有编号从一到四的四个盒子，甲把一个小球随机放入其中一个盒子，但有
1
5
的概率随手扔掉。

然后让乙按编号顺序打开每一个盒子，直到找到小球为止（或根本不在四个盒子里）。

假设乙打开前两个盒子没有小球，则小球在最后一个盒子里的概率为（ ） A ．
12 B ．13 C.14 D ．1
5
10. 如右图：网格纸上的小正方形边长都为1，粗线画出的是某几何体的的三
视图，则该几何体的体积为（ ） A.4 B.
163 C. 203
D.8 11. 设奇函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，且在),0(+∞上2
'()f x x <，若
33
1(1)()(1)3f m f m m m ⎡⎤--≥--⎣
⎦，则实数m 的取值范围为（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ D ．11,,22
⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
U
12.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>与直线1x y -=交于P 、Q 两点，且O O P Q ⊥，其O 为坐
标原点．若
23
a b a ≤≤，则a 取值范围是( )
A ．2⎤⎥⎣⎦
B ．⎤⎦
C ．22⎣⎦
D ． 第Ⅱ卷（非选择题90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-24题为选考题，学生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =
，且数列也为等差数列，则16
a
的值
为 ．
14.曲线ln ()x
x x
f x e
=在点1(1))f （，处的切线方程为 . 15.如图所示的几何体是由一个正三棱锥S —A 1B 1C 1和一个所有棱长都相等的正三棱柱ABC —A 1B 1C 1组合而成，且该几何体的外接球（几何体的所有顶点都在该球面上）的表面积为7π，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为 .
16. 在ABC ∆中，D 为边AC 上一点，4,AB = 6,AC
=BD =
BC =．则
A+CBD ∠∠= ．
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）
已知公差不为零的等差数列{}n a ，满足13514169a a a a a a ++=，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12
1n n n n b a a a ++=
，求数列{}n b 的前n 项和S n .
18. （本小题满分12分）
某校高三文科500名学生参加了3月份的高考模拟考试，学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习情况，从500名学生中抽取100名学生的成绩进行统计分析，抽出的100名学生的地理、历史成绩如下表：
（I ） 若历史成绩在[80,100]区间的占30%， （i ）求,m n 的值；
（ii ）估计历史和地理的平均成绩及方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表），并估计哪个学科成绩更稳定；
（II ）在地理成绩在[60,80）区间的学生中，已知10,10m n ≥≥，求事件“5m n -≤”的概率。

19. （本小题满分12分）
已知直角三角形ABC 中，AC=6，BC=3，
C
D
A
A
∠ABC=90°，点,D E 分别是边,AC AB 上的动点（不含A 点），
且满足
AE AD =1）．将ADE ∆沿DE 折起，使得平面A DE ⊥平面BCDE ，连结AB 、AC （图2）
． （I ）求证：AD ⊥平面DE BC ； （II ）求四棱锥A —BCDE 体积的最大值. 20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知定点T （0,-4），动点Q ，R 分别在x ，y 轴上，且TQ QR=0⋅，点P 为RQ 的中点，点P 的轨迹为曲线C ，点E 是曲线C 上一点，其横坐标为2，经过点(0,2)的直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B （不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2y =-于点
,M N .
（I ）求点P 的轨迹方程；
（II ）若O 为原点，求证：=2
MON π
∠.
21. （本小题满分12分） 已知函数2
1()2ln ()2
f x x x a x a R =-+∈. （I ）
试讨论()f x 的单调性；
（II ） 若函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，求证：2()2f x >-。

请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）
如图，在三角形ABC 中， ACB ∠=90°，CD ⊥AB 于D ，以CD 为直径的圆分别交AC 、BC 于E 、F 。

（1）求证：F CED S =BF AE ⋅四边形；
（2）求证：3
3
BF BC =AE AC . 23.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，椭圆C 的参数方程为2cos sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），已知以坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为=θα（0ρ≥）（注：本题限定：0ρ≥，[)0,2θπ∈）
（1）把椭圆C 的参数方程化为极坐标方程；
（2）设射线l 与椭圆C 相交于点A ，然后再把射线l 逆时针90°，得到射线B O 与椭圆C 相交于点B ，试确定
2
2
11OA
OB
+
是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值请说明理
C
由．
24. （本小题满分10分） 已知函数()2f x x =-
（Ⅰ）解不等式；()(21)6f x f x ++≥；
（Ⅱ）已知1,0)a b a b +=>（
．且对于x R ∀∈，41
()()f x m f x a b
---≤+恒成立，求实数m 的取值范围.
江西省五市八校2016届高三第二次联考数学（文科）参考答案
13. 31 14. 1(1)y x e =
- 15.
38 16. 2
π
1. 解析：()()12=21)(12)i a i a a i -+++-（，∵此复数是实数，∴12=0a -，所以1
=2
a ，故选C
2.解析：令2
()sin g x x x =，可知 ()g x 奇函数，()5f m =，则()4g m =，()4g m -=-， ∴()413f m -=-+=-，故选B
3. 解析：{}
{}2|20=1,2A x x x =--=-把1x =-和2x =带入2
0x x m ++=得0m =和
6m =-，故选C
4. 解析：288246
1,2;3,2,5,,33355
n s n s n s =
===+
===+=,s 输出结束。

故选B 5. 解析：由0
20x y
x y y -≥⎧
⎪+≤⎨⎪≥⎩
得[]Z 20,4x y =+∈
， max 4z =
6. 解析：由已知得(1,2)c a b x y =+=++r r r
，又b c ⊥r r ，∴(1)(2)0x x y y +++=化简得：
2215
()(1)24
x y +++=故选D
7. 解析：由已知可得圆心（2,0）到直线b y x a =
的距离等于1，故1d =所以
2c b =
a == ∴c e a =
=，故选B 8. 解析：函数()cos
0)f x x ωφω=+>（）（的图像向右平移4
π
，与原图像重合，则至少向右平移一个周期，所以2)4
k k N π
π
ω*⋅
=∈（，当1k =时，ω有最小值8，故选C 9. 解析：不妨在原有的4个盒子的基础上增加一个盒子，且第5个盒子不能打开，小球被随手扔掉可看做放入第5个盒子。

此时小球在这五个盒子里的概率都是
1
5
，所以不在第一、
第二个盒子里，就只有在第三、四、五个盒子里，又因为在每个盒子里的概率相等，所以这份文件在最后一个盒子里的概率为1
3
，故选B 。

10. C
11. 解析：令31()()3g x f x x =-
，3311
()()()()()033
g x g x f x x f x x -+=---+-=Q ∴函数()g x 为奇函数，∵(0,
)x ∈+∞时，2'()'()0g x f x x =-<，函数()g x 在
(0,)x ∈+∞为减函数，又由题可知，(0)0,(0)0f g ==，所以函数()g x 在R 上为
减函数，331(1)()(1)3
f m f m m m ⎡⎤--≥--⎣⎦，即(1)()
g m g m -≥， ∴1
1,2
m m
m -≤∴≥
．故选B 12. 解析：设1122P x y Q x y （，），（，），联立22
2211x y a b x y ⎧+
=⎪⎨⎪-=⎩
，化为：
222222220a b x a x a a b ++=（）﹣﹣，422222)(440a a b a a b ∆=+﹣(﹣＞)，化为：22
1a b +＞
. 2222
12122222
2a a a b x x x x a b a b -+==++，．∵O O P Q ⊥，
∴12121212
1212OP OQ 1)(1)2()1=0x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+=++-(﹣﹣， ∴22222222
2210a a b a a b a b
-⨯-+=++.化为22222a b a b +=.
∴22
221a b a =-
．∵2b ≤≤，得22
21223
a b a ≤≤ ∴2222122213a a a a ≤≤-， 化为2
546a ≤≤.
a ≤≤．满足△＞0.∴a
取值范围是22⎣⎦
．故选C ． 13. 解析：
要使数列也为等差数列，则1
1=2
a d ，即=2d ，∴16=1+2161a ⨯-（）=31 14. 解析：ln 1ln '()x x x x f x e +-=
，∴1'(1)f e =.又(1)0f =，故切线方程为1
(1)y x e
=-。

15. 解析：由条件可知：该几何体的外接球也即正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的外接球。

因为外接
球的表面积为7π，可得，
，设三棱柱的棱长为x ，
则：2
2
724x x ⎫
⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
解得x，所以三棱锥S—A1B1C1
111
—
113
V=
32228
S A B C
⨯=
16.解析：∵4,
AB=6,
AC
=BC=。

222
AB+AC1636401
s
226
co
44
BC
AB A
A
C
-+-
==
⋅⨯⨯
=，
设AD=x，由余弦定理，BD2=AB2+AD2−2AB∙ADcosA,得：
24=16+x2−4 x即x2−4 x−8=0，解得x=4或x=−2（舍去），∴CD=2.
∵cosA=1
4
，∴sinA
，∴
4
AB A
C
sin
sinC
B
===，
∴
2
CDsin1
sin
4
C
CBD
BD
∠===，∵CD<BD,∴CBD
∠为锐角.
∴cosA= sin=sin()
2
CBD A
π
∠-,∴A+
2
CBD
π
∠∠=
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）
1353
9,39
a a a a
++=∴=，
3
3
a
∴=．………………………1分1416
,,
a a a成等比数列，2
4116
a a a
∴=，………………………3分
2
(3)(32)(313),0
d d d d
∴+=-+≠，∴1
=
d………………………5分
3
(3)3(3)
n
a a n d n n
∴=+-=+-=；………………………6分
（II）由（Ⅰ）得，
12
11111
=
(1)(2)2(1)(1)(2)
n
n n n
b
a a a n n n n n n n
++
⎛⎫
==-
⎪
⋅+⋅+⋅++⋅+
⎝⎭
…8
分
12
1111111
S
212232334(1)(1)(2) n n
b b b
n n n n
⎡⎤
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
∴=+++=-+-++-
⎢⎥
⎪
⎪ ⎪
⨯⨯⨯⨯⋅++⋅+
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣
⎦
11111
=
22(1)(2)42(1)(2)
n n n n
⎡⎤
=--
⎢⎥
+⋅++⋅+
⎣⎦
………………………12分
18. 解：（I）（i）∵由历史成绩在[80,100]区间的占30%，∴
8+9
0.3
100
m+
=，得13
m=，
∴100898159971322n =--------=.………………………………2分
2222
=
=70S =2590-70+5070-70+2550-70=2004100100
x ⎡⎤⨯⨯⨯⎣⎦地理地理，（）（）（）分2222
9030+7040+50301==70S =3090-70+4070-70+3050-70=2406100100
x ⨯⨯⨯⎡⎤⨯⨯⨯⎣⎦历史历史，（）（）（）分
从以上计算数据来看，地理学科的成绩更稳定。

………………………………7分 （II ）由已知可得35m n +=且10,10m n ≥≥，所以满足条件的(,)m n 有：
(10,25)、(11,24)、(12,23)、(13,22)、(14,21)、(15,20)、(16,19)、(17,18)、(18,17)、
(19,16)、(20,15)、
(21,14)、(22,13)、(23,12)、(24,11)、(25,10)共16中，且每组出现都是等可能
的。

…………………9分
记：“5m n -≤”为事件
A ，则事件
A
包含的基本事件有
(15,2、(16,1、(17,1、(18,1、(19,1、 (20,15)共6种。

……………………11分
所以63
()168
P A =
=………………………………12分 19. （I ）证明：∵直角三角形ABC 中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，
∴∠BAC=30°………………………………1分
∵
AE 2
AD ==cos30°=cos ∠BAC ，∴∠ADE=90°，即ED ⊥AC 于D ，即AD ⊥DE ，…3分 ∵平面A DE ⊥平面BCDE ，且DE =平面平面，ADE AD ⊆平面，
∴AD ⊥平面DE BC ……………………………………5分
（II ）解：设DE=x ，则由（I ）可得，AE=2x ，，
∵AC=6，BC=3，∴()
()22ABC BCDE 1S =S 3922
ADE
S x ∆∆-=⨯=-四边形…6分 A
D
∴
)()23
A BCDE BCDE 111V =S AD=99332
x x x -⋅-=-四棱柱四边形
，02x <≤…7分 令3
()9f x x x =-
（0x <≤
，则2
'()93f x x =-，令'()0f x =
得x = ∴()f x
在区间(
上单调递增，在区间2⎦
上单调递减，
∴当
，AD=3时，四棱锥A —BCDE 体积最大。

………11分
此时—V A BCDE
=四棱锥…………12分 20. 解：（Ⅰ）设(,)P x y ，0Q(,0)x ,0R(0,)y ,∵点P 为RQ 的中点，
∴00
22
x x y y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得0022x x y y =⎧⎨=⎩，∴Q(2,0)x ，R(0,2)y .………2分
∵0,4T -（），TQ QR=0⋅，(2,4),(2,2)TQ x RQ x y ==-；∴2
480x y -=即2=2x y ………5分
（Ⅱ）由（I ）可知点E 的坐标为（2，2），设211(,)2x A x ，2
2
2(,)2
x B x ，(,2),(,2)M N M x N x --，
∵直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B （不同于点E ）.
∴直线l 一定有斜率，设直线l 方程为+2(0)y kx k =≠………6分
与抛物线方程联立得到2+22y kx x y
=⎧⎨=⎩，消去y ，得：2
240x kx --=
则由韦达定理得：12124,2x x x x k =-+=………7分
直线AE 的方程为：()
2
1122222x y x x --=--，即()12
222
x y x +=-+， 令2y =-，得11242M x x x -=
+同理可得：22242
N x x x -=+………9分 又(,2),(,2)M N OM x ON x =-=-，得:
121224244422M N x x OM ON x x x x --⋅=+=+
⋅++121212124[2()4]
42()4
x x x x x x x x -++=++++4(444)
40(444)
k k --+=+
=-++………11分
∴OM ON ⊥，即=MON ∠ π2
………12分 21.
解
：
（
I
）
由
2
1()2ln ()2
f x x x a x a R =
-+∈得
22'()2()a x x a
f x x a R x x
-+=-+=∈……1分
①当1a ≥时，'()0f x ≥恒成立，故()f x 在区间0+∞（，）上单调递增；……2分 ②当01a <<时
，011<-<+，由'()0
f x >
得01x <<
或1x >；'()0f x <
得1x <<，故()f x
在区间01（，
和1+∞（）
上单调递增，在区间1（上单调递减；……3分
③0a =时，2
1()202
f x x x x =->，，()f x 在区间0,2（）上单调递减，在区间2+∞（，）
上单调递增；…4分
④0a <时
，101-<<，由'()0f x >
得1x >；'()0f x <
得
0x <<
故()f x
在区间0（，上单调递减,
在区间1∞（）上单调递增；……5分
综上所述：当1a ≥时，()f x 在区间0+∞（，）
上单调递增；当01a <<时，()f x
在区间01（，
和1+∞（）上单调递增，
在区间1（上单调递减；0
a =时，()f x 在区间0,2（）上单调递减，在区间2+∞（，）上单调递增；0a <时，()f x
在区间0（，
上单调递减，在区间1∞（）上单调递增.…6分
（II ）由（I ）可知，01a <<，且1212+=2=x x x x a ⋅，，……7分 ∴
222222222222222222111()2ln =2(2)ln 2(2)ln 222
f x x x a x x x x x x x x x x x =
-+-+-=-+- ∵12x x <，且1212+=2=x x x x a ⋅，，01a <<，∴202x <<。

……8分
令2
21()2(2)ln ,(0,2)2
g x x x x x x x =
-+-∈……9分 则2
2'()2(22)ln 2(1)ln x x g x x x x x x x
-=-+-+=-……10分 当01x <≤，10,ln 0x x -≥≤，所以'()0g x ≤，当12x <<，10,ln 0x x -<>，所以
'()0g x <；∴(0,2)x ∈，'()0g x ≤，∴()g x 在区间(0,2)上单调递减。

……11分
∴(0,2)x ∈时，()g(2)2g x >=-
综上所述：若1212,()x x x x <是函数()f x 的两个极值点，则2()2f x >-。

……12分 22. 证明：（1）∵CD 为圆的直径，且E 、F 与C 、D 两点重合， ∴DF ⊥BC ，DE ⊥AC ，∵ACB ∠=90°，∴四边形CEDF 为矩形， ∴F CED S =CF CE ⋅四边形，且DF//AC,DE//BC. …………1分
∵CD ⊥AB 于D ， CD 为圆的直径，∴三角形BCD 和三角形ACD 分别是以CDB ∠和CDA ∠为直角的直角三角形。

…………2分
∵DF ⊥BC ，DE ⊥AC ，∴2
DF =BF FC ⋅，2
DE =CE EA ⋅(直角三角形射影定理) ……3分 ∵DF//AC,DE//BC ，∴AD AE CF AD
==
DB EC FB DB
，（平行线分线段成比例定理）……4分 ∴
AE CF
=
EC FB
即EC CF=FB AE ⋅⋅ ∴F CED S =BF AE ⋅四边形. ……5分 （2）由（1）已证CD ⊥AB 于D ∵在三角形ABC 中， ACB ∠=90°
∴ 22
,AC AD AB BC BD BA =⋅=⋅. 2
2
BD BC AD AC
∴= （1）……7分 又∵2
2
BD =BC BF AD =AC AE ⋅⋅，（切割线定理）
∴22BD BC BF
=AD AC AE
⋅⋅，（2）……9分 由（1）与（2）可得44BC BF AC AE BC AC ⋅=⋅ ∴3
3
BF BC =AE AC
……10分
23. 解：（1）∵椭圆C 的参数方程为sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩（θ为参数）
∴椭圆C 的普通方程为2
212
x y +=，…………2分
将一点,)x y （化为极坐标)ρθ（， 的关系式 cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩ 带入 2
212x y +=可得： 2222cos sin 12
ρθρθ+=化简得：222+sin 2ρρθ=…………5分
（2）由（1
）得椭圆的极坐标方程可化为ρ=
…………6分
由已知可得：在极坐标下，可设()12,,,2A B πραρα⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
，…7分
分别代入ρ=
中
有1ρ=
2ρ=22111sin 2αρ+=
，222
11cos 2α
ρ+=…9分 则
2
2
121
1
32ρρ+
=
即22
1132OA OB
+=．故2211OA OB +为定值32.…10分 24.解：（Ⅰ）133,21()(21)|2||21|1,2233,2x x f x f x x x x x x x ⎧
-<⎪⎪
⎪
++=-+-=+≤≤⎨⎪
->⎪⎪⎩
，………2分
当1
2
x <
时，由336x -≥，解得1x ≤-； 当
1
22
x ≤≤时，16x +≥不成立； 当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥．
所以不等式()6f x ≥的解集为[)(,1]3,-∞-+∞U ．…5分
（Ⅱ）∵1,0)a b a b +=>（
，∴41414)()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=（……6分
∴对于x R ∀∈，41
()()f x m f x a b
---≤
+恒成立等价于：对x R ∀∈，229x m x -----≤，即max 229x m x ⎡-----⎤≤⎣⎦……7分
∵
()222(2)=4x m x x m x m
-----≤---+--
∴949m -≤+≤，……9分 ∴135m -≤≤……10分。