各向异性广义塑性力学的规范空间理论

gi = −1 ∂f i ∂f i ∂κ i ∂ε *p + ∂κ ∂ε *p i i i ∂f i ∂σ * i
力增量和模态应变增量； ∇* i 为第 i 个异性子空间上 的应变算子[8]，是对空间坐标的二阶偏微分。 由于 σ i* 是 ε i* 的非线性函数，于是可以将静力平 衡方程式(19)改写成模态应变表示的方程，即
同样根据本征化理论[9
～11]
，力学表象下固体的
(i = 1， 2， L，N )
(11)
静力平衡方程和变形协调方程也可以写成如下的模 态形式：
& i* = 0 ∆*iσ &* ∇* iεi = 0
(2) 中性变载时，有 ∂f & i* = 0 (i = 1， 2， L，N ) f i = 0， i * σ ∂σ i (3) 加载时，有 ∂f & i* ＞0 f i = 0， i* σ ∂σ i (i = 1， 2， L，N )
(i = 1， 2， L，N )
(9)
ω ij 为各不同异性子空间上模态应力间相互作 式中：
用(如岩土力学中的压剪效应与剪胀效应等)的耦合 系数， τ i 为第 i 个异性子空间上的屈服应力。 一般情况下，在初始屈服后继续加载时，随着 异性子空间中塑性累积应变的增加，其性质要产生 强化。这种强化一般是塑性应变史的函数，并以参
2 f i 0 = ∑ ω ijσ i*σ * j −τi j =1 N
(2)
c 相应于球应变 ε ij 将有一个压缩屈服面 f c ，相应 s 于偏应变 ε ij 将有一个剪切屈服面 f s 。这就是各向同
性弹塑性力学多重屈服面概念的由来。由此，不难 联想到力学表象下各向异性体的规范空间概念[9
～12]
和模态塑性势函数。 由此可见，式(8)给出了第 i 个模态塑性应变增 量分量的大小，而塑性应变增量总量的大小和方向 则由式(6)中各阶塑性应变增量分量模态叠加而成。 于是，可以得到用多重屈服面表示的各向异性弹塑 性力学增量塑性方程的规范空间形式。
(1)
相应地规定一个屈服面以判断是否产生塑性应变。 在力学分析中，应变张量往往分成球分量和偏分量 两部分。因此塑性应变本身自然可以再划分成球应
EIGEN THEORY OF GENERALIZED PLASTIC MECHANICS FOR ANISOTROPIC SOLIDS
GUO Shao-hua
(School of Civil Engineering and Architecture，Central South University，Changsha 410083，China)
～ 8]
，但基本源于经验观察
的结果，本身不具有严格的理论基础，况且仍未跳 出各向同性的范畴，即纯剪切屈服和纯体积屈服的 情况。其理论框架也属于基于几何表象的经典固体
・2294・
岩石力学与工程学报
2005 年
力学体系。 文[9～11]提出的固体力学的本征化理论，在物 体的力学表象空间，而非传统的几何表象空间研究 物体的力学过程。该理论能够将物体的变形分解成 为规范空间中的模态变形。而多重屈服面模型则是 在塑性变形阶段的自然结果，这就构筑了广义塑性 力学的物理基础。 此外，经典塑性力学本身还存在固有的缺陷， 这主要表现在对弹塑性力学问题求解的方法上。我 们知道：经典塑性力学解析求解能力极其微弱，以 至不得不采用滑移线或其他数值近似方法。本征化 理论在建立新概念弹塑性力学的同时，力图在弹塑 性力学问题的解析求解方面取得突破，这正是本文 的又一尝试。
摘要：首先基于规范空间固体力学框架，重塑了含有多重屈服面模型的广义塑性理论，研究了各向异性广义塑性 力学的基本规律，包括模态屈服面、各向异性强化条件、增量型模态塑性流动方程以及各向异性塑性加卸载准则 等，并由此得到了各向异性弹塑性动力学波动方程和静力学基本方程；然后，讨论了各向异性弹塑性波的传播性 质，证明了各向异性弹塑性静力学也存在应力增量势函数；最后，讨论了各向异性弹塑性力学的具体结果。 关键词：固体力学；各向异性；广义塑性力学；多重屈服面；规范空间；模态方程 中图分类号：O 344 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2005)13–2293–05
keywordssolidmechanicsanisotropygeneralizedplasticmechanicsmodalequation1引言各向异性塑性力学研究具有十分重要的理论意义和广阔的应用领域经典塑性力学是基于各向同性的前提条件下建立起来的其概念和结论难以推广到各向异性的情况原因是至今人们也不清楚各向异性条件下屈服面该如何定义强化条件和加卸载准则是什么以及塑性流动该满足什么样的方程等为了避开这些认识上的不足也有学者采用了changsha410083chinathegeneralizedplasticinwhichsomefundamentallawsofanisotropicplasticthethepropagationpropertiesofmultipleyieldsurfacesstandardspace唯象学的方法函数12异性中去土塑性力学领域塑性势尽管在岩土塑性力学领域理论的多重屈服面模型38的结果本身不具有严格的理论基础出各向同性的范畴情况其理论框架也属于基于几何表象的经典固体试图通过定义统一的各向异性屈服将各向同性塑性力学推广或应用到各向但结果常常不能令人满意其原因是经典塑性力学作了单一关联流动与不考虑应力主轴旋转的假设也提出过不少基于分量但基本源于经验观察尤其是在岩况且仍未跳即纯剪切屈服和纯体积屈服的万方数据2294岩石力学与工程学报2005年力学体系文911提出的固体力学的本征化理论体的力学表象空间而非传统的几何表象空间研究物体的力学过程该理论能够将物体的变形分解成为规范空间中的模态变形在塑性变形阶段的自然结果力学的物理基础此外经典塑性力学本身还存在固有的缺陷这主要表现在对弹塑性力学问题求解的方法上们知道经典塑性力学解析求解能力极其微弱至不得不采用滑移线或其他数值近似方法理论在建立新概念弹塑性力学的同时性力学问题的解析求解方面取得突破的又一尝试2多重屈服增量弹塑性方程经典弹塑性力学把总应变分成弹性应变塑性应变即在物而多重屈服面模型则是这就构筑了广义塑性我以本征化力图在弹塑这正是本文eije和pije两个部分pedddijijijeee1相应地规定一个屈服面以判断是否产生塑性应变在力学分析中应变张量往往分成球分量和偏分量两部分因此塑性应变本身自然可以再划分成球应变cije和偏应变sije两部分于是式1可以改写为sijcijeijddddijeeee2相应于球应变于偏应变性弹塑性力
1 引
言
函数[1
， 2]
，将各向同性塑性力学推广或应用到各向
异性中去，但结果常常不能令人满意，尤其是在岩 各向异性塑性力学研究具有十分重要的理论意 义和广阔的应用领域。经典塑性力学是基于各向同 性的前提条件下建立起来的，其概念和结论难以推 广到各向异性的情况。原因是至今人们也不清楚各 向异性条件下屈服面该如何定义、强化条件和加卸 载准则是什么，以及塑性流动该满足什么样的方程 等。为了避开这些认识上的不足，也有学者采用了
c s 变 ε ij 和偏应变 ε ij 两部分，于是，式(1)可以改写为 e c s dε ij = dε ij + dε ij + dε ij
3 模态屈服函数及一般强化规律
尽管岩土材料总的塑性变形响应并不服从关联 流动法则，但从材料不同的各向异性子空间中观察 各阶塑性变形，则应服从各自的关联流动规律[12]。 即要求每一阶模态分量塑性势面与相应阶数的分量 屈服面相对应，因为每一个分量屈服面只确定着相 应势面塑性应变增量分量的大小，而与其他势面无 关。文[13]给出了具有耦合效应的一般各向异性强 度准则，它由模态应力的一阶项构成。但是对各向 异性初始屈服函数来说，更为合适的函数形式应为 规范空间中模态应力的二次型，即
dε = dε e + dε p (4) e p 式中： dε ， dε 分别为弹性和塑性增量应变矢量， 且有
*e 2 *e N dε e = ϕ 1 dε 1*e1 + ϕ 2 dε 2 + L + ϕ N dε N * p1 *p N dε p = ϕ 1dε 1*p1 + ϕ 2 dε 2 L + ϕ N dε N
收稿日期：2003–12–08；修回日期：2004–02–03 作者简介：郭少华(1960–)，男，博士，1982 年毕业于西安交通大学工程力学系工程力学专业，现任教授、博士生导师、土木建筑学院副院长，主要 从事岩土力学方面的教学与研究工作。E-mail：gsh@。
土塑性力学领域，其原因是经典塑性力学作了单一 塑性势、关联流动与不考虑应力主轴旋转的假设。 尽管在岩土塑性力学领域，也提出过不少基于分量 理论的多重屈服面模型[3
Abstract：Based on the eigen theory of solid mechanics under the standard spaces，the generalized plastic mechanics with multiple-yield-surface model is rebuilt；in which some fundamental laws of anisotropic plastic mechanics such as the anisotropic yield surface，anisotropic hardening condition，anisotropic plastic flow rule and anisotropic loading and unloading criterion，are studied and put into the form of formula. According to them，the wave equations and static equations for anisotropic elastoplastic body are obtained. It is proved that there exist the potential functions of stress increment for anisotropic elastoplastic statics. Finally，the propagation properties of anisotropic elastoplastic wave are discussed and a concrete example of anisotropic elastoplastic mechanics is presented. Key words：solid mechanics；anisotropy；generalized plastic mechanics；multiple yield surfaces；standard space； modal equation 唯象学的方法，试图通过定义统一的各向异性屈服
(5) (6)
式中： ϕ i (i = 1， 2， L，N ) 是规范空间的基矢量，
dε i*ei ，dε i*p i 分别为第 i 阶本征弹性应变增量和本征 dε i*ei = µ i dσ i*
dε i*pi = dλi ∂f i ∂σ i*
塑性应变增量，且有 (i = 1， 2， L，N )
(i = 1， 2， L，N )
4
各向异性加卸载准则及塑性流动方 程
当作用于各向异性体的载荷发生变化时，各异
ci =
ρ
(i = 1， 2， L，N )
(18)
性子空间上的塑性变形可能会产生不同的加载或卸 载过程，其准则类似经典弹塑性力学，即 (1) 卸载时，有
∂f & i*＜0 f i = 0， i* σ ∂σ i
6
各向异性弹塑性静力学基本方程及 应力增量势函数
(12)
(i = 1， 2， L，N ) (i = 1， 2， L，N )
(19) (20)
(13)
&i* 分别为第 i 个异性子空间上的模态应 & i* ， ε 式中： σ
类似经典塑性流动准则，同样可以推导出力学 表象下以模态加载函数表示的塑性流动方程，即 ∂f ∂f &i*p = g i i* i* σ & i* (i = 1， ε 2， L，N ) (14) ∂σ i ∂σ i 其中，
。
既然规范空间表征的是各向异性体的各阶本征变 形，于是可以将多重屈服面概念推广至各向异性体 的规范空间。因此对各向异性体，式(1)可以进一步 改为
pN p1 e dε ij = dε ij + dε ij + L + dε ij

(3)
式中：N 为独立的各向异性子空间数，对各向同性 体 N = 2 ，对一般各向异性体 N = 6 。 由式(3)可知：各向异性弹塑性力学有与各向异 性子空间数相同的屈服面数目，且每个屈服面只引 起该异性子空间上的塑性应变。 如用应变增量矢量取代应变增量张量，则各向 异性弹塑性总应变矢量 ε 可以写为
第 24 卷
第 13 期
郭少华. 各向异性广义塑性力学的规范空间理论
• 2295 •
数 κ i 表示。这样，各异性子空间中后继各向异性屈 服面方程可以写为 f i (σ i*，ε i*p，κ i ) = f i 0 (σ i* ) − κ i (ε i*p ) = 0
L，N ) (i = 1， 2，
第 24 卷 第 13 期 2005 年 7 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.24 No.13 July，2005
各向异性广义塑性力学的规范空间理论
郭少华
(中南大学 土木建筑学院，湖南 长沙 410083)
dσ i* * * ∆ iε i = ρ∇ tt ε i* dε i*
(i = 1， 2， L，N )
(17)
此时，σ i* 与 ε i* 在每一个异性子空间中均呈非线性关 系，这便是力学表象下各向异性弹塑性波动方程。 (10) 于是，在第 i 个异性子空间上的弹塑性子波的传播 速度为
dσ i* dε i*
(7)
(8)
式中： µi 为第 i 个异性子空间上的本征柔度(本征弹 性的倒数)； σ i* 为第 i 个异性子空间上的模态应力；
2 多重屈服增量弹塑性方程
e 经典弹塑性力学把总应变分成弹性应变 ε ij 和 p 塑性应变 ε ij 两个部分，即 e p dε ij = dε ij + dε ij
λi ， f i 分别为第 i 个异性子空间上的模态塑性系数