猜想呈数学感觉,探究显紫气灵光——对高三例题变式探究教学的三维设计

猜想呈数学感觉
,探究显紫气灵光
———对高三例题变式探究教学的三维设计
315700　浙江省象山中学　张宗余
在高三复习教学过程中,例题讲解课一直占据重要的地位1其中例题变式探究教学是我们在教学过程中经常使用的教学形式,它是在教师的指导下,以例题为载体,以学生自主学习和合作讨论为前提,以变式为主要学习手段,为学生提供自由表述、质疑、探讨问题的机会,强调多向互动,教学相长的一种教与学的操作体系1教学中教师有意识地对数学例题作多层面、多角度的变式与探究,引导学生从“变”的现象中发现不变的本质,从“不变”中探求规律,将教学活动营造为开放、宽松、愉悦、和谐的师生探究与合作交流的过程.逐步培养学生灵活多变的创新思维品质,完善学生的认知结构,提高学生发现问题、解决问题和探索创新的能力1如何设计例题变式探究教学,使例题变式探究教学与高三复习有效地结合,既涉及知识与技能,又兼顾过程与方法,更关注情感、态度与价值观1本文结合课堂案例谈谈对高三例题变式探究教学的三维设计
1
图1
题目　椭圆x 2
9+y
2
4
=1的焦
点为F 1,F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1PF 2为钝角时,求点P 横坐标的取值范围1
T:复习相关的知识点,如定
义、几何特征量、焦半径|PF 1|=
3+
53x 0=m,|PF 2|=3-5
3
x 0=n,焦点三角形F 1PF 2的
周长为2a +2c,焦点三角形F 1PF 2的面积为
S =
1
2
mnsin ∠F 1PF 2=c|y p |,等知识点,让学生思考,并给以解答1
S:设点P (x 0,y 0)1
解法　(用斜率到角公式)则
tan <=
k 2-k 11+k 1k 2=25y 0
x 20+y 20
-5<01
解法2　(用向量的数量积)
PF 1
PF 2=(-5-x 0,-y 0)
(5-x 0,-y 0)<01
解法3　(用焦半径及余弦定理)
cos θ=18+
109
x 2
0-202(9-59
x 2
0)<0
1
图2
解法4　(构造圆x 2+y 2=5)如图解得临界状态时点P 的坐标即可1
T:请你总结、比较上述四种方
法,并判断哪种方法比较简单?
S:解法4比较简单
思考1　构造的圆与椭圆有交点吗?与椭圆的哪些性质有关?
猜想1　与椭圆的离心率有关系1
探究1　椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1的焦点为F 1,F 2,是否存在
一点P,使∠F 1PF 2=90°?
S:c ≥b,即
2
2
≤e <11T:点P 是临界状态,点P 落在交点处时∠F 1PF 2=90°,点P 落在弧PP ′上时∠F 1PF 2>90°1
结论1　椭圆x 2
a 2+y
2
b
2=1上存在一点P 满足
∠F 1PF 2=90°的充要条件是离心率满足
2
2
≤e <11结论2　当c >b (
2
<e <1)时,满足∠F 1PF 2=90°的点有个;当=(=
)时,满足∠F F =°的
4　(2009年第6期高中版)
教学论坛
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P 4c b e 2
2
1P 290
点P 有2个;当c <b (0<e <2
2
)时,满足∠F 1PF 2=90°
的点P 有0个.
应用1　(2004年湖南卷15)已知F 1,F 2是椭圆
x 2
8+y
2
4
=1的焦点,在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数1
(e =
2
2
故2个)猜想2　双曲线x 2
a 2-y
2
b
2=1上存在一点P 满足
∠F 1PF 2=90°的充要条件是离心率满足e ≥2(证略)
思考2　在探索中,你能发现焦周角∠F 1PF 2的变化规律么?是否是最大角?最大角在哪里?
猜想3　当点P 在短轴端点处,焦周角∠F 1PF 2取到最大值1
S:(设|PF 1|=m,|PF 2|=n,利用余弦定理)
cos θ=m 2+n 2-4c
2
2mn =
(m +n )2-2mn -4c 22mn
=4b 2-2mn 2mn =4b
2
2mn -11
(S △F 1
PF
2
=b 2
cot θ2=c|d |,d =23
3
)
当且仅当m =n 时,cos θ最小,θ最大1
(将上述式子变形整理得mn =2b
2
co s θ+1,代入
S =
12mnsin θ=b 2sin θc o s θ+1=b 2
tan θ2
1)
(其中θ表示∠F 1PF 2,称为焦周角)
结论3　椭圆x 2
a 2+y
2
b
2=1,若θ表示焦周角∠F 1PF 2,
则S △
F 1PF 2
=b 2
tan
θ
2
1
应用2　设F 1,F 2是椭圆x 2
45
+y 2
20
=1的两个焦点,P
是椭圆上一点,使∠F 1PF 2=90°,求△F 1PF 2的面积.(S
=b 2
tan
θ
2
=20)
类比猜想　双曲线x 2
y 2
=,若θ表示∠F F ,
则S △
F F =
(θ)
应用3　(2005年全国卷)已知双曲线x 2
-y
2
2
=1的焦点F 1,F 2,点M 在双曲线上,而且MF 1
M F 2=0则
点M 到x 轴的距离为
A 1
43 B 153 C 123
3
D 1
3图3
变式1　将角推广到∠A 1PA 2时,∠A 1PA 2满足类似的性质吗?问椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1
上是否存在一点P ,使∠A 1PA 2
=120°,求离心率的范围?
猜想5　当点P 在短轴端点处,顶周角∠A 1PA 2取到最大值1
证明　(用斜率)k
P A 1
=
y x +a ,k PA 2
=y
x -a
,tan θ=2ay x 20+y 20-a 2=y x -a -y
x +a 1+y 2x 2-a
2
=-2ab
2
c 2
y
1(0<y ≤b )当y →b,tan θ递增,θ∈(
π
2
,π)故∠A 1PA 2为最大值1
解法1　tan120°=k 1-k 21+k 1k 2将y 2
0=b 2
a
2(a 2-x 20)代入0≤a 2-x 20≤a 2
,解e ∈(
6
3
,1)1解法2　作三角代换
x =acos θ,y =bsin θ,
-3=2absin θa 2
c o s 2
θ+b 2sin 2θ-a
2=2absin
θ(b 2-a 2)sin 2θ,
sin θ=
2ab 3(a 2
-b 2
)]0≤sin 2
θ≤1,
可知0≤
4
3
1e 2(1
e
2-1)≤11结论4　点A 1,A 2是椭圆x 2
a 2+y
2
b 2=1长轴的两端点,点
P 是椭圆上的动点,有k ×k B
=-b
2
1(根据解法1挖掘)
类比猜想6　点,是双曲线x y
=实轴的
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(2009年第
6期高中版)
4a
2-b
211P 21P 2
b 2
c o t
2
P A P a
2A 1A 22
a 2-2
b
21
两端点,点P 是椭圆上的动点有k
PA ×k
PB
=b
2
a
21应用4　(2003年上春卷)双曲线x 2
4
-y 2=1,A 1A 2
为双曲线虚轴上的顶点,P 为双曲线上任一点,则k
PA 1
×
k PA
2
1
图4变式2　再将角推广到
∠D 1PD 2时,∠D 1PD 2满足类似的性质吗?
探究2　设∠D 1PH =α,∠D 2PH =β,
tan α=d +x 0|y 0|,tan β=d -x 0
|y 0|
,
tan ∠D 1PD 2
=tan (
α+β)=-2b 2
d |y 0|b 2
(d 2
-a 2
)+c 2
y
2
=-2b 2
d
b 2(d 2-a 2
)|y 0|
+c 2
|y 0|
,可知函数f (t )=
a
t +ct 在(0,u
v
)单调递减,在(
u
v
,+∞)单调递增1若d 2≤a 2+c 2
当|y 0|=b
d 2-a
2
c
时tan ∠D 1PD 2取得最小值
bd c
d 2
-a
2
1若d 2>a 2+c 2当|y |=b 时tan ∠D 1PD 2取得最小值
2bd
d 2
-b
21“让学生带着问题轻松步入课堂,在愉快且又适度的紧张中学习(探究);又要让学生带着新的、更高层次的问题走出课堂,在自由自在中研究(学习)、发展.”这是例题变式探究教学的理想化追求,也是教师在高三例题教学中始终值得关注的问题1如何设计有效的例题课堂教学?我想首先是要考虑知识与技能,它是设计例题课堂教学的基本目标,也是课堂设计的落脚点1例题变式探究教学主要是围绕某数学问题(例题)而展开的,问题是课堂活动的载体,因此实施中选好例题尤为重要1选用的例题应取材于最普通、最常见的习题,学生都能
接受,不宜过难1本节课堂的引例,即是教材例题的改编,也是高考原题,再加上内容丰富,可将椭圆的定义和性质联系在一起,很具有代表性和典型性1形成以例题练习为主线,内容复习为辅的教学形式1同时也要注意知识的横向联系,尤其是例题最好具有延伸性,可进一步一题多变;对例题的解法不宜技巧性过高,应讲究通性通法1
其次,教学设计要关注数学的过程与方法1本节课对引题提出了四种方法,其中前三种都是处理角的问题的常规方法,向量、斜率、余弦定理1通过解法的展示,让学生总结各种方法的优劣,学会合情地选择,帮助学
生快速地、有效地解题,也是我们在例题教学中需要认真研究的问题1在后面的猜想3、猜想5、探究2中都体现了这一点1波利亚曾说过“学习任何东西,最好的途径是自己去发现”,所以在教学过程中要体现学生的主体地位,充分调动学生探索的积极性1为此,教师必须为学生的发展创造提供自由广阔的天地,引导学生通过自己的实践活动来探索新知,实现“再创造”1在教学过程中,教师引导学生在例题解答过程中发现和探究,得到的结论1、2、3、4都是在教师指导下,发现、研究、探索,从而形成学生的“再创造”的1
最后是教学过程中对情感、态度与价值观的教学设计,让学生学会猜想,体验发现、获得1如在完成结论2后进行高考题应用1的练习,让学生充分感受到探索的乐趣和成功的喜悦,激发学生的求知欲1这样通过变式探究教学不但能培养学生的问题意识,发展学生的创新思维能力,更能通过变式和自我探究,引导学生学会学习和掌握科学方法,为终身学习和工作奠定基础1而教师则是教学内容、过程、活动的组织者、参与者和积极的评价者;是学生学习的引导者、帮助者1其任务是调动学生的积极性,促使他们自己去获取知识、发展能力,做到自己能发现问题、提出问题、分析问题、解决问题;教师要为学生的学习设置探究的情境,建立探究的氛围,促进探究的开展,把握探究的深度,评价探究的成败1
参考文献
　陈宏1高中数学变式探索学习模式的研究1数学通报,
,(收稿日期3)
6
　(2009年第6期高中版)
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:2009002。