全国通用近年高考数学一轮复习高考达标检测(三十三)圆的方程命题3角度——求方程、算最值、定轨迹文(

（全国通用版）2019版高考数学一轮复习高考达标检测（三十三）圆的方程命题3角度——求方程、算最值、定轨迹文
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高考达标检测（三十三）圆的方程命题3角度——求方程、算最值、定
轨迹
一、选择题
1．原点位于圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(a>1）的（）
A．圆内B．圆上
C．圆外D．均有可能
解析：选C 把原点坐标代入圆的方程得（a－1）2>0（a>1）,所以点在圆外,故选C。

2．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切,圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为（)
A．（x＋1）2＋（y－1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1）2＋（y－1)2＝2 D．（x－1)2＋(y＋1）2＝2
解析：选D 由题意知x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为错误!＝2错误!，所以r＝错误!.
又因为y＝－x与x－y＝0,x－y－4＝0均垂直，
所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0）,
由y＝－x和x－y－4＝0联立得交点坐标为（2，－2），
所以圆心坐标为（1，－1)，
所以圆C的标准方程为(x－1）2＋（y＋1）2＝2。

3．(2018·广州测试)圆（x－1)2＋（y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( ）A．（x－2）2＋（y－1)2＝1 B．（x＋1）2＋（y－2）2＝1
C．(x＋2）2＋(y－1)2＝1 D．（x－1)2＋(y＋2）2＝1
解析：选A ∵圆心（1，2）关于直线y＝x对称的点为（2,1），
∴圆(x－1)2＋（y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2）2＋(y－1)2＝1。

4．一束光线从点（－1,1）出发，经x轴反射到圆C：（x－2）2＋（y－3)2＝1上的最短路径长度是( )
A．4 B．5
C．3 D．2
解析：选A 由题意可得圆心C(2,3)，半径为r＝1，
点A关于x轴的对称点为
A′(－1，－1)，
求得|A′C｜＝5,
故要求的最短路径的长为
|A′C｜－r＝5－1＝4。

5．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点,点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是（）
A.错误!B．1
C。

4
5
D.
13
5
解析：选C 因为圆心（－1，－1）到点M的距离的最小值为点（－1，－1）到直线3x＋4y－2＝0的距离d＝错误!＝错误!，所以点N到点M的距离｜MN｜的最小值为错误!－1＝错误!。

6．若圆(x－3)2＋(y＋5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是（)
A．（4，6）B．[4,6]
C．[4,6）D．（4，6]
解析：选A 易求圆心（3，－5）到直线4x－3y＝2的距离为5。

令r＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；
令r＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，
所以半径r取值范围在(4,6）之间符合题意．
7．已知圆C关于x轴对称，经过点（0,1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为（)
A．x2＋错误!2＝错误!
B．x2＋错误!2＝错误!
C。

错误!2＋y2＝错误!
D.错误!2＋y2＝错误!
解析：选C 设圆的方程为(x±a)2＋y2＝r2(a〉0)，圆C与y轴交于点A(0,1），B（0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA＝错误!∠ACB＝错误!×120°＝60°，则tan 60°＝错误!＝错误!＝错误!,所以a＝|OC|＝错误!，即圆心坐标为错误!，r2＝|AC|2＝12＋错误!2＝错误!。

所以圆的方程为错误!2＋y2＝
错误!.
8．已知圆C：（x－3)2＋(y－4）2＝1和两点A（－m，0)，B（m,0）（m〉0）．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°,则m的最大值为（）
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：选B 根据题意，画出示意图，如图所示,则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB｜＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP｜＝错误!|AB|＝m。

要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝错误!＝5,所以｜OP｜max＝｜OC｜＋r＝6，即m 的最大值为6。

二、填空题
9．在平面直角坐标系内，若圆C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为____________．
解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋（y－2a)2＝4，
所以圆心为(－a，2a），半径r＝2，
故由题意知错误!解得a〈－2，
故实数a的取值范围为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
10．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1）x＋2的倾斜角α＝________.
解析：由题意知，圆的半径r＝错误!错误!＝错误!错误!≤1,
当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0,r＝1，
所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，
又α∈[0，π），故α＝错误!.
答案：错误!
11．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心在直线ax－by＋1＝0上,则ab的取值范围是__________．
解析:把圆的方程化为标准方程为(x＋1）2＋（y－2）2＝4，∴圆心坐标为（－1，2),根据题意可知,圆心在直线ax－by＋1＝0上，
把圆心坐标代入直线方程得，－a－2b＋1＝0,即a＝1－2b，
则ab＝(1－2b）b＝－2b2＋b＝－2错误!2＋错误!≤错误!,
当b＝错误!时，ab有最大值错误!，故ab的取值范围为错误!.
答案：错误!
12．已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上的动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则｜PA|的最小值为________．
解析：过O作OP垂直于直线x－2y＋5＝0，过P作圆O的切线PA,连接OA,
易知此时|PA|的值最小．由点到直线的距离公式,得|OP｜＝错误!＝错误!.
又｜OA｜＝1，所以|PA|＝错误!＝2.
答案：2
三、解答题
13．（2018·湖南六校联考）已知直线l:4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
（1)求圆C的方程;
(2)过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C（a,0）错误!，则错误!＝2⇒a＝0或a＝－5（舍去)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4。

（2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB。

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1），
N(t,0)，A(x
，y1），B（x2，y2)，
1
由错误!得（k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0,
所以x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!。

若x轴平分∠ANB,
则k AN＝－k BN⇒错误!＋错误!＝0⇒错误!＋错误!＝0
⇒2x1x2－(t＋1）(x1＋x2）＋2t＝0
⇒错误!－错误!＋2t＝0⇒t＝4,
所以当点N为（4,0）时，能使x轴平分∠ANB。

14．在△OAB中，已知O（0，0），A(8,0），B(0，6)，△OAB的内切圆的方程为（x－2)2＋(y－2）2＝4,P是圆上一点．
（1）求点P到直线l：4x＋3y＋11＝0的距离的最大值和最小值;
(2）若S＝|PO｜2＋|PA｜2＋｜PB｜2，求S的最大值和最小值．
解：（1)由题意得圆心(2,2)到直线l：4x＋3y＋11＝0的距离d＝错误!＝错误!＝5＞2,故点P到直线l的距离的最大值为5＋2＝7，最小值为5－2＝3。

（2)设点P的坐标为（x,y），
则S＝x2＋y2＋（x－8)2＋y2＋x2＋(y－6）2
＝3（x2＋y2－4x－4y)－4x＋100＝－4x＋88，
而（x－2)2≤4，所以－2≤x－2≤2，
即0≤x≤4，所以－16≤－4x≤0，所以72≤S≤88，
即当x＝0时，S max＝88，当x＝4时,S min＝72.
1．已知圆O：x2＋y2＝1，圆B：(x－3)2＋（y－4）2＝4,P是平面内一动点，过点P作圆O，圆B的切线，切点分别为D，E,若|PE｜＝｜PD|，则点P到坐标原点O的距离的最小值为__________．
解析:设P（x，y),因为|PE｜＝|PD|，|PD|2＋|OD｜2＝｜PO｜2，|PE|2＋|BE|2＝|PB|2，所以x2＋y2－1＝（x－3）2＋(y－4)2－4，
整理得：3x＋4y－11＝0，
点P到坐标原点O的距离的最小值就是点O到3x＋4y－11＝0的距离,
所以点P到坐标原点O的距离的最小值为错误!＝错误!.
答案：错误!
2．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2）2＋(y＋2）2＝r2（r＞0）关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1）求圆C的方程;
（2）设Q为圆C上的一个动点，求错误!·错误!的最小值．
解：（1）设圆心C（a，b），由已知得M（－2,－2)，
则错误!解得错误!则圆C的方程为x2＋y2＝r2，
将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2。

（2)设Q(x,y），则x2＋y2＝2，
错误!·错误!＝（x－1，y－1)·(x＋2，y＋2）＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.令x＝错误!cos θ，y＝错误!sin θ,
所以错误!·错误!＝x＋y－2＝错误!(sin θ＋cos θ）－2＝2sin错误!－2，又错误!min＝－1,所以错误!·错误!的最小值为－4.。