高考数学模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷文科附详细答案76

高考数学模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（文科）（附详细答案）(7)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.（5分）设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RB）=（）
A.（﹣3，0）
B.（﹣3，﹣1）
C.（﹣3，﹣1]
D.（﹣3，3）
2.（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（）
A.1
B.2
C.
D.
3.（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）
A. B. C. D.
4.（5分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）
A. B. C.1 D.2
5.（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则
的值为（）
A.﹣
B.
C.1
D.
6.（5分）下列叙述中正确的是（）
A.若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”
B.若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
C.命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D.l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
7.（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）
表1
成绩
不及格及格总计
性别
男 6 14 20
女10 22 32
总计16 36 52
表2
视力
好差总计
性别
男 4 16 20
女12 20 32
总计16 36 52
表3
偏高正常总计
智商
性别
男8 12 20
女8 24 32
总计16 36 52
表4
丰富不丰富总计
阅读量
性别
男14 6 20
女 2 30 32
总计16 36 52
A.成绩
B.视力
C.智商
D.阅读量
8.（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）
A.7
B.9
C.10
D.11
9.（5分）过双曲线C ：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C 的方程为（）
A.﹣=1
B.﹣=1
C.﹣=1
D.﹣=1
10.（5分）在同一直角坐标系中，函数y=ax2﹣x+与y=a2x3﹣2ax2+x+a（a∈R）的图象不可能的是（）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是.
12.（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||=.
13.（5分）在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为.
14.（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于.
15.（5分）x，y∈R，若|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，则x+y的取值范围为.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）.
（1）求a，θ的值；
（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值.
17.（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列.
18.（12分）已知函数f（x）=（4x2+4ax+a2），其中a＜0.
（1）当a=﹣4时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值.
19.（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，
（1）求证：A1C⊥CC1；
（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA1为何值时，三棱柱ABC﹣A1B1C1体积最大，并求此最大值.
20.（13分）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）.
（1）证明：动点D在定直线上；
（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值.
21.（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F （n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率.
（1）求p（100）；
（2）当n≤时，求F（n）的表达式；
（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h（n）=f （n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（文科）（附详细答案）(7)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.（5分）设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RB）=（）
A.（﹣3，0）
B.（﹣3，﹣1）
C.（﹣3，﹣1]
D.（﹣3，3）
【分析】根据补集的定义求得∁RB，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩（∁RB）.
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，∴∁RB={x|x≤﹣1，或x＞5}，
则A∩（∁RB）={x|﹣3＜x≤﹣1}，
故选：C.
【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题.
2.（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（）
A.1
B.2
C.
D.
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出z，可得|z|.
【解答】解：∵复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），∴z===1+i，∴|z|==，
故选：C.
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题.
3.（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）
A. B. C. D.
【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子
的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案
【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36
事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种
故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，
故选：B.
【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点.
4.（5分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）
A. B. C.1 D.2
【分析】根据条件代入计算即可.
【解答】解：∵f[f（﹣1）]=1，
∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1
∴.
故选：A.
【点评】本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题.
5.（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则
的值为（）
A.﹣
B.
C.1
D.
【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论.
【解答】解：∵3a=2b，∴b=，
根据正弦定理可得===，
故选：D.
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础.
6.（5分）下列叙述中正确的是（）
A.若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”
B.若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
C.命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D.l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案.
【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“ax2+bx+c≥0”对于任意的x恒成立时，则有：
①当a=0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；
②当a≠0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0.
∴若a，b，c∈R，“ax2+bx+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac≤0”是“ax2+bx+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件.故A错误；
B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，
∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件.
反之，当a＞c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成立.
∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件.故B错误；
C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，
命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定应该是“存在x∈R，有x2＜0”.故C错误；
D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β.”是两个平面平行的一个判定定理.故D正确.
故选：D.
【点评】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于基础题.
7.（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）
表1
不及格及格总计
成绩
性别
男 6 14 20
女10 22 32
总计16 36 52
表2
视力
好差总计
性别
男 4 16 20
女12 20 32
总计16 36 52
表3
偏高正常总计
智商
性别
男8 12 20
女8 24 32
总计16 36 52
表4
丰富不丰富总计
阅读量
性别
男14 6 20
女 2 30 32
总计16 36 52
A.成绩
B.视力
C.智商
D.阅读量
【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论.
【解答】解：表1：X2=≈0.009；
表2：X2=≈1.769；
表3：X2=≈1.3；
表4：X2=≈23.48，
∴阅读量与性别有关联的可能性最大，
故选：D.
【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题.
8.（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）
A.7
B.9
C.10
D.11
【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可.
【解答】解：模拟执行程序，可得
i=1，S=0
S=lg3，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，
满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9.
故选：B.
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题.
9.（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点
A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C 的方程为（）
A.﹣=1
B.﹣=1
C.﹣=1
D.﹣=1
【分析】由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F （4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程.
【解答】解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，
令x=a，则y=b，即A（a，b），
∵右焦点F（4，0），|FA|=4，
∴（a﹣4）2+b2=16，
∵a2+b2=16，
∴a=2，b=2，
∴双曲线C的方程为﹣=1.
故选：A.
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题.
10.（5分）在同一直角坐标系中，函数y=ax2﹣x+与y=a2x3﹣2ax2+x+a（a∈R）的图象不可能的是（）
A. B. C. D.
【分析】讨论a的值，当a=0时，知D可能，当a≠0时，求出函数ax2﹣x+的对称轴x=，利用求导函数求出函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的极值点为x=与x=，比较对称轴与
两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项.
【解答】解：当a=0时，函数y=ax2﹣x+的图象是第二，四象限的角平分线，
而函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的图象是第一，三象限的角平分线，故D符合要求；
当a≠0时，函数y=ax2﹣x+图象的对称轴方程为直线x=，
由y=a2x3﹣2ax2+x+a可得：y′=3a2x2﹣4ax+1，
令y′=0，则x1=，x2=，
即x1=和x2=为函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的两个极值点，
对称轴x=介于x1=和x2=两个极值点之间，
故A、C符合要求，B不符合，
故选：B.
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是（e，e） .
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论. 【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=lnx+x=1+lnx，
直线2x﹣y+1=0的斜率k=2，
∵曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，
∴f′（x）=1+lnx=2，
即lnx=1，解得x=e，此时y=elne=e，
故点P的坐标是（e，e），
故答案为：（e，e）.
【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义.
12.（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||= 3 .
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值.
【解答】解：=9=9，
∴||=3，
故答案为：3.
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题.
13.（5分）在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，﹣） .
【分析】根据题意当且仅当n=8时Sn取得最大值，得到S7＜S8，S9＜S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围.
【解答】解：∵Sn =7n+，当且仅当n=8时Sn取得最大值，
∴，即，解得：，
综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）.
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题.
14.（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于. 【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F1B，建立方程关系即可得到结论. 【解答】解：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，
∴D为BF1的中点，
又AD⊥BF1，∴|AF1|=|AB|.
∴|AF1|=2|AF2|.
设|AF2|=n，则|AF1|=2n，|F1F2|=n，
∴e=====.
【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大.为了方便，可以先确定一个参数的值.
15.（5分）x，y∈R，若|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，则x+y的取值范围为[0，2].
【分析】根据绝对值的意义，|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|的最小值为2，再根据条件可得只有|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤x≤1，0≤y≤1，从而求得x+y的范围.
【解答】解：根据绝对值的意义可得|x|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；
|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；
故|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|的最小值为2.
再根据|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，可得只有|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|=2，
此时，0≤x≤1，0≤y≤1，∴0≤x+y≤2，
故答案为：[0，2].
【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）.
（1）求a，θ的值；
（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值.
【分析】（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f （0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得.
（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案.
【解答】解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，
∵θ∈（0，π）.
∴sinθ≠0，
∴a+1=0，即a=﹣1
∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=（a+2）cosθ=0，
∴cosθ=0，θ=.
（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，
∴sinα=，
∵α∈（，π），
∴cosα==﹣，
∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=.
【点评】本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题.综合运用了所学知识解决问题的能力.
17.（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列.
【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1；当n=1时，a1=S1”即可得出；
（2）对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列.利用等比数列的
定义可得，即（3n﹣2）2=1×（3m﹣2），解出m为正整数即可.
【解答】（1）解：∵Sn=，n∈N*.
∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=3n﹣2，（*）
当n=1时，a1=S1==1.
因此当n=1时，（*）也成立.
∴数列{an}的通项公式an=3n﹣2.
（2）证明：对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列.
则，
∴（3n﹣2）2=1×（3m﹣2），
化为m=3n2﹣4n+2，
∵n＞1，
∴m=3n2﹣4n+2=＞1，
因此对任意的n＞1，都存在m=3n2﹣4n+2∈N*，使得a1，an，am成等比数列.
【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.
18.（12分）已知函数f（x）=（4x2+4ax+a2），其中a＜0.
（1）当a=﹣4时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值.
【分析】（1）当a=﹣4时，先求导，在根据导数求出f（x）的单调递增区间；
（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值.
【解答】解；（1）当a=﹣4时，f（x）=（4x2+4ax+a2），
∴f（x）=（4x2﹣16x+16），
∴f′（x）=（8x﹣16）+（4x2﹣16x+16）=2（）=，
∵f′（x）＞0，x≥0，
∴5x2﹣12x+4＞0，
解得，0≤x＜，或x＞2，
∴当a=﹣4时，f（x）的单调递增区间为[0，）和（2，+∞）；
（2）∵f（x）=（4x2+4ax+a2），
∴；
令f′（x）=0.解得，
当f′（x）＞0时，x∈（0，）或，此时f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，x∈（），此时f（x）单调递减，
①当≥4，即a≤﹣40，f（x）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去
②当﹣≤1，即﹣2≤a＜0时，f（x）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去
③当﹣≤1，≥4即﹣10≤a≤﹣8时，f（x）在区间[1，4]为减函数，由f（4）=8，解得a=﹣10，
④当，即﹣40＜a＜﹣10时，由f（1）=8或f（4）=8，解得，a=﹣2，或a=﹣6，a=﹣10，不符合舍去，
⑤当，即﹣8＜a＜﹣2时，由f（）=8，无解.
综上所述，a=﹣10.
【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论.对学生的能力要求较高，属于难题
19.（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，
（1）求证：A1C⊥CC1；
（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA1为何值时，三棱柱ABC﹣A1B1C1体积最大，并求
此最大值.
【分析】（1）通过证明直线CC1与平面BA1C垂直，即可证明A1C⊥CC1；
（2）作AO⊥BC 于O，连结A1O，说明∠AA1O=90°，设A1A=h，求出A1O的表达式，以及三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V的表达式，利用二次函数的最值，求最大值.
【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∴A1A∥CC1∥BB1，
∵AA1⊥BC，∴CC1⊥BC，
∵A1B⊥BB1，∴A1B⊥CC1，
∵BC∩BA1=B，
∴CC1⊥平面BA1C，A1C⊂平面BA1C
∴A1C⊥CC1；
（2）作AO⊥BC于O，连结A1O，由（1）可知∠AA1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB⊥AC，
∴AO=，
设A1A=h，A1O==，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V===，
当h2=，即h=时，即AA1=时棱柱的体积最大，
最大值为：.
【点评】本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用，几何体的体积的最值的求法，考查
转化思想以及空间想象能力.
21.（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F （n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率.
（1）求p（100）；
（2）当n≤时，求F（n）的表达式；
（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h（n）=f （n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值.
【分析】（1）根据题意，首先分析n=100时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；
（2）分1≤n≤9，10≤n≤99，100≤n≤999，1000≤n≤，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得F（n）；
（3）根据题意，分情况求出当n∈S时p（n）的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案.
【解答】解：（1）当n=100时，F（100）=9+90×2+3=192，即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，
则恰好取到0的概率为P（100）=；
（2）当1≤n≤9时，这个数有1位数组成，F（n）=n，
当10≤n≤99时，这个数有9个1位数组成，n﹣9个两位数组成，则F（n）=2n﹣9，
当100≤n≤999时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，n﹣99个三位数组成，F （n）=3n﹣108，
当1000≤n≤时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，n﹣999个四位数组成，F（n）=4n﹣1107，
F（n）=；
（3）当n=b（1≤b≤9，b∈N*）时，g（n）=0，
当n=10k+b（1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N*）时，g（n）=k：
当n=100时，g（n）=11，
即g（n）=，同理有f（n）=，
由h（n）=f（n）﹣g（n）=1，可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90，
所以当n≤100时，S={9，19、29，39，49，59，69，79，89，90}；
当n=9时，P（9）=0，
当n=90时，P（90）==，
当n=10k+9（1≤k≤8，k∈N*）时，p（n）===，
由y=关于k单调递增，故当n=10k+9（1≤k≤8，k∈N*）时，P（n）的最大值为P （89）=，
又＜，所以当n∈S时，P（n）的最大值为.
【点评】本题考查合情推理的应用，关键在于正确理解题意，进而分析推理.
20.（13分）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）.
（1）证明：动点D在定直线上；
（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值.
【分析】（1）设AB的方程为y=kx+2，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有：x1x2=﹣8，由直线AO的方程y=x与BD的方程x=x2联立即
可求得交点D的坐标为，利用x1x2=﹣8，即可求得D点在定直线y=﹣2（x≠0）
上；
（2）依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入x2=4y，由△=0化简整理得b=﹣a2，故切线l的方程可写成y=ax﹣a2.分别令y=2、y=﹣2得N1、N2的坐标为N1（+a，2）、N2（﹣+a，﹣2），从而可证|MN2|2﹣|MN1|2为定值8.
【解答】（1）证明：依题意，可设AB的方程为y=kx+2，代入x2=4y，得x2=4（kx+2），即x2﹣4kx﹣8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有：x1x2=﹣8，
直线AO的方程为y=x；BD的方程为x=x2.
解得交点D的坐标为.
注意到x1x2=﹣8及=4y1，则有y===﹣2，
因此D点在定直线y=﹣2（x≠0）上.
（2）证明：依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入x2=4y得x2=4（ax+b），即x2﹣4ax﹣4b=0，
由△=0得（4a）2+16b=0，化简整理得b=﹣a2.
故切线l的方程可写成y=ax﹣a2.
分别令y=2、y=﹣2得N1、N2的坐标为N1（+a，2）、N2（﹣+a，﹣2），
则|MN2|2﹣|MN1|2=+42﹣=8，
即|MN2|2﹣|MN1|2为定值8.
【点评】本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题.
高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为
（）
A．3 B．5 C．6 D．10
2．（5分）将的图象按向量平移，则平移后所得图象
的解析式为（）
A．B．
C．D．
3．（5分）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果
，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3}
4．（5分）平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：
①m′⊥n′⇒m⊥n；
②m⊥n⇒m′⊥n′；
③m′与n′相交⇒m与n相交或重合；
④m′与n′平行⇒m与n平行或重合．
其中不正确的命题个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5分）已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则=（）A．0 B．1 C．D．
6．（5分）若数列{an}满足（p为正常数），则称{an}为“等方比数列”．甲：数列
{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则（）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．（5分）双曲线的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则
等于（）
A．﹣1 B．xOy C．D．
8．（5分）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（5分）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量
的夹角为θ，则的概率是（）
A． B．C． D．
10．（5分）已知直线（θ是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横
坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）
A．60条B．66条C．72条D．78条
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）已知函数y=2x﹣a的反函数是y=bx+3，则a=；b=．
12．（5分）复数z=a+bi，a，b∈R，且b≠0，若z2﹣4bz是实数，则有序实数对（a，b）可以是．（写出一个有序实数对即可）
13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数2x+y的最小值为．
14．（5分）某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概
率．（用数值作答）
15．（5分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，
y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为；
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）已知△ABC的面积为3，且满足0≤≤6，设和的夹角为θ．（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（θ）=2sin2的最大值与最小值．
17．（12分）
分组频数
[1.30，1.34） 4
[1.34，1.38）25
[1.38，1.42）30
[1.42，1.46）29
[1.46，1.50）10
[1.50，1.54） 2
合计100
在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：
（Ⅰ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；
（Ⅱ）估计纤度落在[1.38，1.50）中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；
（Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.30，1.34）的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．
18．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜）．
（Ⅰ）求证：平面V AB⊥平面VCD；
（Ⅱ）当确定角θ的值，使得直线BC与平面V AB所成的角为．
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A、B两点．
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
20．（13分）已知定义在正实数集上的函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a
＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）（x＞0）．
21．（14分）已知m，n为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞﹣1时，（1+x）m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1，2…，n；（Ⅲ）求出满足等式3n+4n+5n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整数n．
高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）
【考点】二项式定理的应用．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得方程，求使方程有整数解的最小n值即可．
【解答】解：由展开式通项有=Cnr•3n﹣r•（﹣2）r•x2n﹣
5r
由题意得，
故当r=2时，正整数n的最小值为5，
故选项为B
【点评】本题主要考查二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求．本题中“非零常数项”为干扰条件．
2．（5分）
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】法一：以平移公式切入，利用向量解答即可；法二：利用平移的意义直接推出结果．
【解答】解：法一由向量平移的定义，在平移前、后的图象上任意取一对对应点P′（x′，y′），P（x，y），则
=，代入到已知解析式中可得选A
法二由平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移2个单位．
故选A．
【点评】本题主要考查向量与三角函数图象的平移的基本知识，
易错点：将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下
平移2个单位，误选C．为简单题．
3．（5分）
【考点】元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法．
【分析】首先分别对P，Q两个集合进行化简，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，求出P ﹣Q即可．
【解答】解：∵
化简得：P={x|0＜x＜2}
而Q={x||x﹣2|＜1}
化简得：Q={x|1＜x＜3}
∵定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，
∴P﹣Q={x|0＜x≤1}
故选B
【点评】本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题．
4．（5分）
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察具体的正方体判断，即可得答案．
【解答】解：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察如图的正方体：
∵AC⊥BD但A1C，BD1不垂直，故①错；
∵A1B⊥AB1但在底面上的射影都是AB故②错；
∵AC，BD相交，但A1C，BD异面，故③错；
∵AB∥CD但A1B，C1D异面，故④错
故选D
【点评】本题主要考查空间线面之间位置关系，以及射影的意义理解．关键是要理解同一条直线在不同平面上的射影不同；线在面内，线面平行，线面相交的不同位置下，射影也不相同．要从不用的方向看三垂线定理，充分发挥空间想象力．
5．（5分）
【考点】极限及其运算．
【分析】本题考查数列的极限和运算法则，可用特殊值探索结论，即同时考查学生思维的灵活性．当不能直接运用极限运算法则时，首先化简变形，后用法则即可．本题也体现了等比数列求和公式的逆用．
【解答】解析：法一特殊值法，由题意取p=1，q=2，
则，可见应选C
法二∵
∴（1+x）m﹣1=x[1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）m﹣1]
令，m分别取p和q，则原式化为
∵，
所以原式=（分子、分母1的个数分别为p个、q个）
故选C．
【点评】注意到本题的易错点：取特值时忽略p和q是两个不相等的正整数的条件，误选B；或不知变形而无法求解，或者认为是型而误选B，看错项数而错选D．
6．（5分）
【考点】数列的应用．。