人教版初中数学八年级下册第一次月考试题(2016-2017学年山东省德州市

2016-2017学年山东省德州市武城实验中学
八年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）下列式子一定是二次根式的是（）
A．B．C．D．
2．（5分）若，则（）
A．x≥6B．x≥0
C．0≤x≤6D．x为一切实数
3．（5分）已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则它的三条边之比为（）A．1：1：B．1：：2C．1：：D．1：4：1
4．（5分）适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）
①a＝3，b＝4，c＝5；
②a＝6，∠A＝45°；
③a＝2，b＝2，c＝2；
④∠A＝38°，∠B＝52°．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（5分）下列各式中，一定能成立的是（）
A．B．
C．D．
6．（5分）以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）
A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④
7．（5分）三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形8．（5分）下列变形中，正确的是（）
A．（2）2＝2×3＝6B．＝﹣
C．＝D．＝
9．（5分）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）
A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
10．（5分）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42B．32C．42或32D．37或33
11．（5分）已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（）
A．B．C．D．
12．（5分）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）
A．小于1m B．大于1m
C．等于1m D．小于或等于1m
二、填空题（每小题5分，共25分）
13．（5分）能使等式成立的x的取值范围是．
14．（5分）数轴上表示1，的对应点分别为点A，点B．若点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数为．
15．（5分）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形斜边上的高为．16．（5分）如图：一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是多少（）
A．13cm B．40cm C．130cm D．169cm
17．（5分）如图①是一个直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，则折痕的长为．
三、解答题（共65分）
18．（8分）（1）在实数范围内分解因式：x4﹣9
（2）已知x＝，y＝，求代数式x2y+xy2的值．
19．（8分）先简化，再求值：，其中x＝．
20．（10分）计算
（1）（2﹣）2013•（2+）2014﹣2|﹣|﹣（﹣）0
（2）（﹣4）﹣（3﹣2）
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，求BC的长．
22．（8分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF长．
23．（11分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
24．（12分）在某市外郊一段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时，并在离该公路100米处设置了一个监测点A，在如图所示的平面直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y轴上，OA为其中一段．
（1）求点B和C的坐标．
（2）一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15秒．请你通过计算，判断该汽车在
这段限速路上是否超速？（参考数据：）
2016-2017学年山东省德州市武城实验中学八年级（下）第一次
月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）下列式子一定是二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．
【解答】解：（B）当x＜0时，此时二次根式无意义，故B不一定是二次根式；
（C）当x+2＜0时，此时二次根式无意义，故C不一定是二次根式；
（D）当x2﹣2＜0，此时二次根式无意义，故D不一定是二次根式；
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的意义，解题的关键是正确理解二次根式的定义，本题属于基础题型．
2．（5分）若，则（）
A．x≥6B．x≥0
C．0≤x≤6D．x为一切实数
【分析】本题需注意的是二次根式的被开方数为非负数，由此可求出x的取值范围．【解答】解：若成立，则，解之得x≥6；
故选：A．
【点评】本题需要注意二次根式的双重非负性：≥0，a≥0．
3．（5分）已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则它的三条边之比为（）A．1：1：B．1：：2C．1：：D．1：4：1
【分析】根据给出的条件和三角形的内角和定理计算出三角形的角，再计算出它们的边的比．
【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴c＝2a，b＝a，
∴三条边的比是1：：2．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理，通过知道角的度数计算特殊三角形边的比．
4．（5分）适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）
①a＝3，b＝4，c＝5；
②a＝6，∠A＝45°；
③a＝2，b＝2，c＝2；
④∠A＝38°，∠B＝52°．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”或“有一个角是直角”，由此即可得出结论．【解答】解：①a＝3，b＝4，c＝5，
∵32+42＝25＝52，
∴满足①的三角形为直角三角形；
②a＝6，∠A＝45°，
只此两个条件不能断定三角形为直角三角形；
③a＝2，b＝2，c＝2，
∵22+22＝8＝，
∴满足③的三角形为直角三角形；
④∵∠A＝38°，∠B＝52°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴满足④的三角形为直角三角形．
综上可知：满足①③④的三角形均为直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，解题的关键是根据勾股定理的逆定理和直角三角形的定义验证四组条件．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方（或寻找三角形中是否有一个角为直角）”是关键．
5．（5分）下列各式中，一定能成立的是（）
A．B．
C．D．
【分析】A、根据二次根式的性质即可判定；
B、根据二次根式的性质即可判定；
C、首先利用完全平方公式分解因式，然后利用二次根式的性质化简即可判定；
D、根据二次根式的性质以及有意义的条件即可作出选择．
【解答】解：A、，故选项正确；
B、当a＜0时，无意义，故选项错误；
C、当x＜1时，式子不成立，故选项错误；
D、当x＜﹣3时，与无意义，故选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的性质，是需要熟练掌握的内容．
6．（5分）以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）
A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④
【分析】先把每个二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答．【解答】解：∵，，，，
∴与是同类二次根式的是①和④，
故选：C．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
7．（5分）三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形
【分析】对等式进行整理，再判断其形状．
【解答】解：化简（a+b）2＝c2+2ab，得，a2+b2＝c2所以三角形是直角三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．
8．（5分）下列变形中，正确的是（）
A．（2）2＝2×3＝6B．＝﹣
C．＝D．＝
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解答】解；A、（2）2＝12，故A错误；
B、＝，故B错误；
C、＝5，故C错误；
D、＝，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式性质与化简，利用了二次根式的性质．
9．（5分）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）
A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h＝24﹣8＝16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15，BD＝8，∴AB＝＝17，
∴此时h＝24﹣17＝7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选：D．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．10．（5分）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42B．32C．42或32D．37或33
【分析】本题应分两种情况进行讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
【解答】解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD＝＝＝9，
在Rt△ACD中，
CD＝＝＝5
∴BC＝5+9＝14
∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，
∴BC＝9﹣5＝4．
∴△ABC的周长为：15+13+4＝32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC 的周长为32．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．
11．（5分）已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（）
A．B．C．D．
【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么﹣a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值．
【解答】解：∵有意义，
∴﹣a3b≥0，
∴a3b≤0，
又∵a＜b，
∴a＜0，b≥0，
∴＝﹣a．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数．
12．（5分）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）
A．小于1m B．大于1m
C．等于1m D．小于或等于1m
【分析】由题意可知OA＝2m，OB＝7m，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB＝A′B′，又由题意可知OA′＝3m，利用勾股定理分别求OB′长，把其相减得解．
【解答】解：在直角三角形AOB中，因为OA＝2m，OB＝7m
由勾股定理得：AB＝m，
由题意可知AB＝A′B′＝m，
又OA′＝3m，根据勾股定理得：OB′＝m，
∴BB′＝7﹣＜1m．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是掌握勾股定理的表达式．
二、填空题（每小题5分，共25分）
13．（5分）能使等式成立的x的取值范围是x＞2．
【分析】根据负数没有平方根及分母不为0，即可求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x＞2．
故答案为：x＞2
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（5分）数轴上表示1，的对应点分别为点A，点B．若点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数为2﹣．
【分析】根据数轴上两点之间线段的长度可得出AB的长度，再由对称即可得出点C所表示的数．
【解答】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为点A，点B．
∴AB＝﹣1，
∵点B关于点A的对称点为点C，
∴BC＝﹣1，
∴点C所表示的数为2﹣．
故答案为2﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴，数轴上的点与实数是一一对应的关系．
15．（5分）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形斜边上的高为或．【分析】设斜边的长为c，斜边上的高为h，分两种情况，根据勾股定理求出斜边或另一条直角边长，根据三角形的面积求出h的值即可．
【解答】解：设斜边的长为c，斜边上的高为h，分两种情况：
①直角三角形的两直角边长分别为5和12时，
则c＝＝13，
∴×5×12＝×13h，
解得：h＝．
②直角三角形的斜边长为12时，
则另一条直角边长＝＝，
∴×5×＝×12h，
解得：h＝；
故答案为：或．
【点评】本题考查的是勾股定理以及三角形面积公式，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
16．（5分）如图：一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是多少（）
A．13cm B．40cm C．130cm D．169cm
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【解答】解：将台阶展开，如图，
因为BC＝30×3+10×3＝120，AC＝50，
所以AB2＝AC2+BC2＝16900，
所以AB＝130（cm），
所以壁虎爬行的最短线路为130cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．
17．（5分）如图①是一个直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延
长线上的点A′处，则折痕的长为或．
【分析】解直角三角形分别求出BD，DE即可．
【解答】解：在Rt△BDC中，∵∠CBD＝∠ABC＝30°，BC＝4cm，
∴折痕BD＝＝＝．
在Rt△BDE中，∵∠DBE＝30°，
∴折痕DE＝BD•tan30°＝•＝，
故答案为或．
【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题（共65分）
18．（8分）（1）在实数范围内分解因式：x4﹣9
（2）已知x＝，y＝，求代数式x2y+xy2的值．
【分析】（1）根据平方差公式可以将题目中的式子进行分解因式；
（2）根据x、y的值，可以求得xy的值和x+y的值，从而可以求得题目中代数式的值．【解答】解：（1）x4﹣9
＝（x2+3）（x2﹣3）
＝（x2+3）；
（2）∵x＝，y＝，
∴xy＝＝1，
x+y＝＝，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝1×
＝．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、实数范围内分解因式，解答本题的关键二次根式化简求值的方法，会利用平方差公式分解因式．
19．（8分）先简化，再求值：，其中x＝．【分析】原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代
入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
20．（10分）计算
（1）（2﹣）2013•（2+）2014﹣2|﹣|﹣（﹣）0
（2）（﹣4）﹣（3﹣2）
【分析】（1）根据平方差公式和零指数幂可以解答本题；
（2）先化简题目中的式子，再根据二次根式的加减法即可解答本题．
【解答】解：（1）（2﹣）2013•（2+）2014﹣2|﹣|﹣（﹣）0
＝﹣2×﹣1
＝﹣﹣1
＝1；
（2）（﹣4）﹣（3﹣2）
＝
＝
＝．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，求BC的长．
【分析】过A点作AD垂直BC于D点．因为BC＝CD+BD，可先由∠C＝60°，AD⊥
BC，AC＝10，求得AD的长，进而在△ADB中根据勾股定理可求得BD的长．即可求BC的长．
【解答】解：如图过A点作AD⊥BC于D点．
在Rt△ACD中，AC＝10，∠C＝60°，
∴CD＝AC＝5，AD＝5，
∵AB＝14，
∴BD＝＝11，
∴BC＝CD+BD＝16．
【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识点：三角函数和勾股定理．解题的关键是过A点作AD垂直BC于D点，构成直角三角形．
22．（8分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF长．
【分析】首先连接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD＝CD＝AD，∠ABD＝45°再由DE丄DF，可推出∠FDC＝∠EDB，又等腰直角三角形ABC可得∠C ＝45°，所以△EDB≌△FDC，从而得出BE＝FC＝3，那么AB＝7，则BC＝7，BF＝4，再根据勾股定理求出EF的长．
【解答】解：连接BD，
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC（三线合一），BD＝CD＝AD，∠ABD＝45°，
∴∠C＝45°，
∴∠ABD＝∠C，
又∵DE丄DF，
∴∠FDC+∠BDF＝∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC＝∠EDB，
在△EDB与△FDC中，
∵，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴BE＝FC＝3，
∴AB＝7，则BC＝7，
∴BF＝4，
在Rt△EBF中，
EF2＝BE2+BF2＝32+42，
∴EF＝5．
答：EF的长为5．
【点评】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长．
23．（11分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，
在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【解答】解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km，
因为160＜200，所以A城要受台风影响；
（2）设BF上点D，DA＝200千米，则还有一点G，有
AG＝200千米．
因为DA＝AG，所以△ADG是等腰三角形，
因为AC⊥BF，所以AC是DG的垂直平分线，CD＝GC，
在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，
由勾股定理得，CD＝＝＝120千米，
则DG＝2DC＝240千米，
遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．
【点评】此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．
24．（12分）在某市外郊一段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时，并在离该公路100米处设置了一个监测点A，在如图所示的平面直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y轴上，OA为其中一段．
（1）求点B和C的坐标．
（2）一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15秒．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？（参考数据：）
【分析】（1）已知OA＝100m，求B、C的坐标就是求OB、OC的长度，可以转化为解直角三角形；
（2）判断是否超速就是求BC的长，然后比较．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OA＝100，∠BAO＝60°，
∴OB＝OA tan∠BAO＝100．
Rt△AOC中，
∵∠CAO＝45°，
∴OC＝OA＝100．
∴B（﹣100，0），C（100，0）．
（2）∵BC＝BO+OC＝100+100，
∴≈18＞，
∴汽车在这段限速路上超速了．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角
三角形的问题，解决的方法就是作高线．
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