新和县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

新和县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分
层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（）
A. 5
B.6
C.7
D.10
【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.
2．若f（x）为定义在区间G上的任意两点x1，x2和任意实数λ（0，1），总有f（λx1+（1﹣λ）x2）≤λf（x1）+（1﹣λ）f（x2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（）
①f（x）=，②f（x）=，③f（x）=，④f（x）=．
A．4 B．3 C．2 D．1
3．在抛物线y2=2px（p＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=C．x=﹣1 D．x=﹣
4．高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（）
A．112 B．114 C．116 D．120
5．有下列四个命题：
①“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题．
其中真命题为（）
A．①②B．①③C．②③D．③④
6． 设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数
22
z z
+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -
【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 7． 如图所示的程序框图输出的结果是S=14，则判断框内应填的条件是（ ）
A ．i ≥7？
B ．i ＞15？
C ．i ≥15？
D ．i ＞31？
8． 执行下面的程序框图，若输入2016x =-，则输出的结果为（ ）
A ．2015
B ．2016
C ．2116
D ．2048
9． 不等式ax 2
+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ）
A ．a ＜0，△＜0
B ．a ＜0，△≤0
C ．a ＞0，△≥0
D ．a ＞0，△＞0
10．已知2->a ，若圆1O ：01582222=---++a ay x y x ，圆2O ：0
44222
22=--+-++a a ay ax y x 恒有公共点，则a 的取值范围为（ ）.
A ．),3[]1,2(+∞--
B ．),3()1,35(+∞--
C ．),3[]1,3
5[+∞-- D ．),3()1,2(+∞--
11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =n 2+2n （n ∈N *），则++…+
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2
，
=
，则λ=（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
二、填空题
13．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.
14．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．
15．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且
2AB BC CA ===，则
球表面积是_________.
16．直线ax+
by=1与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点（其中a ，b 是实数），且△AOB 是直角三角形（O 是坐
标原点），则点P （a ，b ）与点（1，0）之间距离的最小值为 ．
17．函数f （x ）=
（x ＞3）的最小值为 ．
18．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点B 是圆心为C 的圆（x ﹣1）2+y 2=16上一动点，线段AB 的垂直平分线交BC 与点M ，则动点M 的轨迹方程为 ．
三、解答题
19．已知椭圆
，过其右焦点F 且垂直于x 轴的弦MN 的长度为b ．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知点A 的坐标为（0，b ），椭圆上存在点P ，Q ，使得圆x 2+y 2
=4内切于△APQ ，求该椭圆的方程．
20．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线．（1）求证：AD＝1
22b
2＋2c2－a2；
（2）若A＝120°，AD＝19
2，sin B
sin C
＝3
5
，求△ABC的面积．
21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值．
22．（本小题满分12分）设f（x）＝－x2＋ax＋a2ln x（a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在a＞0，使f（x）∈[e－1，e2]对于x∈[1，e]时恒成立，若存在求出a的值，若不存在说明理由．
23．已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
24．已知f（）=﹣x﹣1．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间[2，6]上的最大值和最小值．
新和县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
2．【答案】C
【解析】解：由区间G上的任意两点x1，x2和任意实数λ（0，1），
总有f（λx1+（1﹣λ）x2）≤λf（x1）+（1﹣λ）f（x2），
等价为对任意x∈G，有f″（x）＞0成立（f″（x）是函数f（x）导函数的导函数），
①f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=，故在（2，3）上大于0恒成立，故①为“上进”函数；
②f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=﹣•＜0恒成立，故②不为“上进”函数；
③f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=
＜0恒成立，
故③不为“上进”函数；
④f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=，当x∈（2，3）时，f″（x）＞0恒成立．
故④为“上进”函数．
故选C．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，同时考查导数的运用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．3．【答案】C
【解析】解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）开口向右，
焦点坐标（，0），准线方程x=﹣，
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，
即4﹣（﹣）=5，解之可得p=2
故抛物线的准线方程为x=﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．
4．【答案】B
【解析】解：根据频率分布直方图，得；
该班级数学成绩的平均分是
=80×0.005×20+100×0.015×20
+120×0.02×20+140×0.01×20
=114．
故选：B．
【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目．
5．【答案】B
【解析】解：①由于“若a2+b2=0，则a，b全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；
③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．
综上可得：真命题为：①③．
故选：B．
【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
6．【答案】A
【解析】
7．【答案】C
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
S=2，i=0
不满足条件，S=5，i=1
不满足条件，S=8，i=3
不满足条件，S=11，i=7
不满足条件，S=14，i=15
由题意，此时退出循环，输出S的值即为14，
结合选项可知判断框内应填的条件是：i≥15？
故选：C．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S ，i 的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
8． 【答案】D 【解析】
试题分析：由于20160-<，由程序框图可得对循环进行加运算，可以得到2x =，从而可得1y =，由于
20151>，则进行2y y =循环，最终可得输出结果为2048．1
考点：程序框图． 9． 【答案】A
【解析】解：∵不等式ax 2
+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，
∴a ＜0，
且△=b 2
﹣4ac ＜0，
综上，不等式ax 2
+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为的条件是：a ＜0且△＜0．
故选A ．
10．【答案】C
【解析】由已知，圆1O 的标准方程为222
(1)()(4)x y a a ++-=+，圆2O 的标准方程为 222
()()(2)x a y a a ++-=+，∵
2->a ，要使两圆恒有公共点，则122||26O O a ≤≤+，即 62|1|2+≤-≤a a ，解得3≥a 或1
35
-≤≤-a ，故答案选C
11．【答案】D
【解析】解：∵S n =n 2+2n （n ∈N *），∴当n=1时，a 1=S 1=3；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（n 2+2n ）﹣[（n ﹣1）2+2
（n ﹣1）]=2n+1．
∴=
=
，
∴++…+=
+
+…+
=
=﹣
． 故选：D ．
【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．【答案】A
【解析】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点
∵=2，=，
∴=，
∴λ=，
故选A．
【点评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量．
二、填空题
13．【答案】120
【解析】
考点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据
A B C=，根据正弦定理，可设3,5,7
sin:sin:sin3:5:7
===，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，
a b
熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键．
14．【答案】甲．
【解析】解：【解法一】甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，
方差是=[（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；
乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，
方差是=[（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；
∵＜，∴成绩较为稳定的是甲．
【解法二】根据茎叶图中的数据知，
甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些；
乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些；
所以甲的成绩相对稳定些．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．
15．【答案】64 9
【解析】111]
考点：球的体积和表面积.
【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键.
16．【答案】．
【解析】解：∵△AOB是直角三角形（O是坐标原点），
∴圆心到直线ax+by=1的距离d=，
即d==，
整理得a2+2b2=2，
则点P（a，b）与点Q（1，0）之间距离d==≥，
∴点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．
17．【答案】12．
【解析】解：因为x＞3，所以f（x）＞0
由题意知：=﹣
令t=∈（0，），h（t）==t﹣3t2
因为h（t）=t﹣3t2的对称轴x=，开口朝上知函数h（t）在（0，）上单调递增，（，）单调递减；
故h（t）∈（0，]
由h（t）=⇒f（x）=≥12
故答案为：12
18．【答案】=1
【解析】解：由题意得，圆心C（1，0），半径等于4，
连接MA，则|MA|=|MB|，
∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4＞|AC|=2，
故点M的轨迹是：以A、C为焦点的椭圆，2a=4，即有a=2，c=1，
∴b=，
∴椭圆的方程为=1．
故答案为：=1．
【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，考查学生转化问题的能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设F（c，0），M（c，y1），N（c，y2），
则，得y1=﹣，y2=，
MN=|y1﹣y2|==b，得a=2b，
椭圆的离心率为：==．
（Ⅱ）由条件，直线AP 、AQ 斜率必然存在，
设过点A 且与圆x 2+y 2=4相切的直线方程为y=kx+b ，转化为一般方程kx ﹣y+b=0，
由于圆x 2+y 2=4内切于△APQ ，所以r=2=，得k=±（b ＞2），
即切线AP 、AQ 关于y 轴对称，则直线PQ 平行于x 轴，
∴y Q =y P =﹣2，
不妨设点Q 在y 轴左侧，可得x Q =﹣x P =﹣2
，
则=，解得b=3，则a=6，
∴椭圆方程为：． 【点评】本题考查了椭圆的离心率公式，点到直线方程的距离公式，内切圆的性质．
20．【答案】
【解析】解：
（1）证明：∵D 是BC 的中点，
∴BD ＝DC ＝a 2. 法一：在△ABD 与△ACD 中分别由余弦定理得c 2＝AD 2
＋a 24
－2AD · a 2cos ∠ADB ，① b 2＝AD 2＋a 24－2AD ·a 2·cos ∠ADC ，② ①＋②得c 2＋b 2＝2AD 2＋a 22， 即4AD 2＝2b 2＋2c 2－a 2，
∴AD ＝12
2b 2＋2c 2－a 2. 法二：在△ABD 中，由余弦定理得
AD 2＝c 2＋a 24－2c ·a 2
cos B ＝c 2＋a 24－ac ·a 2＋c 2－b 22ac
＝2b 2＋2c 2－a 2
4
，
∴AD ＝122b 2＋2c 2－a 2.
（2）∵A ＝120°，AD ＝1219，sin B sin C ＝35
， 由余弦定理和正弦定理与（1）可得
a 2＝
b 2＋
c 2＋bc ，①
2b 2＋2c 2－a 2＝19，②
b c ＝35
，③ 联立①②③解得b ＝3，c ＝5，a ＝7，
∴△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×3×5×sin 120°＝1534
. 即△ABC 的面积为154
3. 21．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）=e x
﹣ax ﹣1（a ＞0）， ∴f'（x ）=e x ﹣a ，
由f'（x ）=e x ﹣a=0得x=lna ，
由f'（x ）＞0得，x ＞lna ，此时函数单调递增，
由f'（x ）＜0得，x ＜lna ，此时函数单调递减，
即f （x ）在x=lna 处取得极小值且为最小值，
最小值为f （lna ）=e lna ﹣alna ﹣1=a ﹣alna ﹣1．
（2）若f （x ）≥0对任意的x ∈R 恒成立，
等价为f （x ）min ≥0，
由（1）知，f （x ）min =a ﹣alna ﹣1，
设g （a ）=a ﹣alna ﹣1，
则g'（a ）=1﹣lna ﹣1=﹣lna ，
由g'（a ）=0得a=1，
由g'（x ）＞0得，0＜x ＜1，此时函数单调递增，
由g'（x ）＜0得，x ＞1，此时函数单调递减，
∴g （a ）在a=1处取得最大值，即g （1）=0，
因此g （a ）≥0的解为a=1，
∴a=1．
22．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）＝－x 2＋ax ＋a 2
ln x 的定义域为{x |x ＞0}，f ′（x ）＝－2x ＋a ＋a 2x
＝－2（x＋a
2
）（x－a）
x.
①当a＜0时，由f′（x）＜0得x＞－a
2
，
由f′（x）＞0得0＜x＜－a
2.
此时f（x）在（0，－a
2
）上单调递增，
在（－a
2
，＋∞）上单调递减；
②当a＞0时，由f′（x）＜0得x＞a，
由f′（x）＞0得0＜x＜a，
此时f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减．
（2）假设存在满足条件的实数a，
∵x∈[1，e]时，f（x）∈[e－1，e2]，
∴f（1）＝－1＋a≥e－1，即a≥e，①
由（1）知f（x）在（0，a）上单调递增，
∴f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（e）＝－e2＋a e＋e2≤e2，即a≤e，②
由①②可得a＝e，
故存在a＝e，满足条件．
23．【答案】已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，从而可得3（1++）=9，从而解得；
（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，从而可得b n=log2=2n，利用裂项求和法求和．【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，
则3（1++）=9，
解得，q=1或q=﹣；
故a n=3，或a n=3•（﹣）n﹣3；
（Ⅱ）证明：若a n=3，则b n=0，与题意不符；
故a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，
故b n=log2=2n，
故c n==﹣，
故c1+c2+c3+…+c n=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣＜1．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．24．【答案】
【解析】解：（1）令t=，则x=，
∴f（t）=，
∴f（x）=（x≠1）…
（2）任取x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
∵2≤x1＜x2≤6，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，2（x2﹣x1）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x）在[2，6]上单调递减，…
∴当x=2时，f（x）max=2，当x=6时，f（x）min=…。