山西省吕梁学院附属高级中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理

2014——2015学年下学期高二年级期末考试
理科数学
一、选择题（每题5分，共12题）
1.集合{}
40 <<∈=x N x A 的子集个数为（ ）
A ． 3
B ．4
C ．7
D ．8
2.已知函数)( 11ln )(R a x a x f ∈⎪⎭
⎫
⎝
⎛+-
=.命题p ：)(, x f R a ∈∃是奇函数；命题q ：)(, x f R a ∈∀在定义域内是增函数，那么下列命题为真命题的是（ ）
A ．p ⌝
B ．q p ∧
C ．()q p ∧⌝
D ．()q p ⌝∧
3.命题P ：“2
,12x R x x ∃∈+<”的否定P ⌝
为
A. 2
,12x R x x ∃∈+> B.2
,12x R x x ∃∈+≥ C.2
,12x R x x ∀∈+≥ D.2
,12x R x x ∀∈+< 4、已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是
A ．sin sin a b >
B ．22log log a b <
C ．1
122
a b < D ．1133a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
5.已知函数(
)40,1,0,
x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫
-<⎪ ⎪⎝
⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ A ．14 B ．1
2
C ．2
D ．4
6．当[]2,0∈x 时，函数3)1(4)(2
--+=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是
A.1[,)2-
+∞ B. [)+∞,0 C. [)+∞,1 D.2
[,)3
+∞ 7．已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f (x)又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0，则a 的取值范围是（ ） A ．(22，3)
B ．(3，10)
C ．(22，4)
D ．(－2，3)
8．某考察团对全国10大城市进行职工人均平均工资x 与居民人均消费y 进行统计调查, y 与x 具有相关关系,
回归方程562.166.0ˆ+=x y
(单位:千元),若某城市居民消费水平为7.675,估计该城市消费额占人均工资收入的百分比为（ ）
A. 66%
B. 72.3%
C. 67.3%
D. 83%
9.设随机变量X
～N （2，4），则D （2
1
X ）的值等于 ( )
A.1
B.2
C.
2
1 D.4 10
．二项式30
的展开式的常数项为第（ ）项 A ． 17 B 。

18 C 。

19 D 。

20 11.若集合P 具有以下性质： ① P P ∈∈1, 0；
② 若P y x ∈,，则P y x ∈-，且0≠x 时，
P x
∈1
. 则称集合P 是“Γ集”，则下列结论不正确的是(
)
A ．整数集Z 是“Γ集”
B ．有理数集Q 是 “Γ集”
C ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，则必有P xy ∈
D ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，且0≠x ，则必有
P x
y
∈ 12. 若函数()y f x =在实数集R 上的图象是连续不断的，且对任意实数x 存在常数t 使得()()f t x tf x +=恒成立，则称()y f x =是一个“关于t 函数”．现有下列“关于t 函数”的结论：①常数函数是“关于t 函数”；②“关于t 函数”至少有一个零点；③x
x f )2
1
()(=是一个“关于t 函数”．其中正确结论的个数是 ( ).
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0 二、填空题
13．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，则“2
ab c >”是“π
3
C <
”的 条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）．
14.已知圆的极坐标方程2cos ρθ=，直线的极坐标方程为cos 2sin 70ρθρθ-+=，则圆心到直线距离
为 ．
15.已知幂函数()y f x =的图象过点1
(3,)3
，则12
log (2)f 的值为 ．
16．如图，它满足①第n 行首尾两数均为n ，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行)2( n 第2个数是_________.
1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6
三、简单题： 17．（12分）某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为（490，495]，（495，500]，（500，505]，（505，510]，（510，515]）
（I ）若从这40件产品中任取两件，设X 为重量超过505克的产品数量，求随机变量X 的分布列；
（Ⅱ）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率．
18．（12分）设集合A ＝{x 2，2x －1，－4}，B ＝{x －5,1－x,9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B .
19．（12分）判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．
20.（12分）已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.
(1)求a ；
(2)证明：当k ＜1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．
21．（12分）已知函数f （x ）=x 2+a （x+lnx ），a ∈R ． （Ⅰ）若当a=﹣1时，求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若f （x ）＞（e+1）a ，求a 的取值范围．
22.（10分）在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（其中θ为参数），点M 是曲线C 1
上的动点，点P 在曲线C 2上，且满足=2．
（Ⅰ）求曲线C 2的普通方程；
（Ⅱ）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=，与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，
求|AB|．
答案：DDCDA DADAB AB
13. 充分非必要 14.
15. 1 16. 222+-n n
17． 解：（ I ）根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[（0.001+0.005）×5]×40=12．
由题意得随机变量X 的所有可能取值为 0，1， 2
=
，
，
．
∴随机变量X 的分布列为
（Ⅱ）由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3
设Y 为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则Y ～B （5，0.3）． 故所求概率为P （Y=2）=
．
18.由9∈A ，可得x 2＝9，或2x －1＝9，
解得x ＝±3，或x ＝5.
当x ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2,9}，B 中元素重复，故舍去；
当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8,4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－8，－7，－4,4,9}； 当x ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去． 综上所述，A ∪B ＝{－8，－7，－4,4,9}． 19．解法一 写出逆否命题进行判断．
原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. 判断如下：
∵x 2＋x －a ＝0无实根， ∴Δ＝1＋4a <0，∴a <－1
4
<0，
∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0”为真命题．
解法二 利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断． ∵a ≥0，∴4a ≥0，∴4a ＋1>0，
∴方程x 2
＋x －a ＝0的判别式Δ＝4a ＋1>0， ∴方程x 2＋x －a ＝0有实根．
故原命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”为真．
又因原命题与其逆否命题等价，
所以“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真． 20．(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .
由题设得－2
a ＝－2，所以a ＝1.
(2)由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2.
设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k ＞0.
当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k ＞0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1＜0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]上有唯一实根．
当x ＞0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x ＞h (x )．
h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g (x )＞h (x )≥h (2)＝0. 所以g (x )＝0在(0，＋∞)上没有实根．
综上，g (x )在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． 21． 解：（Ⅰ）由题意得x ∈（0，+∞）； 当a=﹣1时，f （x ）=x 2﹣x ﹣lnx ，
=
；
∴x ∈（0，1）时，f′（x ）＜0，x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0； ∴f （x ）的单调减区间是（0，1），单调增区间是[1，+∞）； （II ）①当a=0时，f （x ）=x 2＞0，显然符合题意； ②当a ＞0时，当时；
f （x ）＜1+a+alnx ，不符合题意；
③当a ＜0时，则
；
对于2x 2+ax+a=0，△=a 2﹣8a ＞0；
∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在x 0∈（0，+∞），使得；
即f′（x 0）=0；
∴0＜x ＜x 0时，f′（x ）＜0，x ＞x 0时，f′（x ）＞0； ∴f （x ）min =f （x 0）==
=；
∵
，∴x 0+2lnx 0﹣（e+2）＜0；
∴0＜x 0＜e ；
由得，；
设y=，y′=；
∴函数在（0，e）上单调递减；
∴；
综上所述，实数a的取值范围．
22．解：（Ⅰ）因为点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．
设P（x，y），M（x′，y′），则x=2x′，y=2y′，并且，
消去θ得，（x′﹣1）2+y′2=3，
所以曲线C2的普通方程为：（x﹣2）2+y2=12；
（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0，将θ=代入得ρ=2，∴A的极坐标为（2，），曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣8=0，将代入得ρ=4，所以B的极坐标为（4，），所以|AB|=4﹣2=2．。