三棱锥的表面积和体积计算公式

三棱锥的表面积和体积计算公式
一、三棱锥表面积计算公式。

1. 一般三棱锥。

- 三棱锥的表面积等于四个面的面积之和。

设三棱锥的底面为ABC，三条侧棱分别为PA、PB、PC。

- 如果底面ABC的三边分别为a、b、c，根据海伦公式，其面积S_
ABC=√(s(s - a)(s - b)(s - c))，其中s=(a + b+ c)/(2)。

- 对于侧面三角形，例如侧面PAB，若PA = m，PB=n，AB = a，根据余弦定理cos∠ APB=frac{m^2+n^2-a^2}{2mn}，则sin∠ APB=√(1 - cos^2)∠ APB，那么S_ PAB=(1)/(2)mnsin∠ APB。

同理可求出另外两个侧面的面积，三棱锥的表面积S = S_ ABC+S_ PAB+S_ PBC+S_ PAC。

2. 正三棱锥（特殊情况）
- 正三棱锥底面是正三角形，设底面边长为a，底面面积S_底=(√(3))/(4)a^2。

- 侧面是三个全等的等腰三角形，设侧棱长为l，侧面三角形的高h=√(l^2)-frac{a^{2}{12}}，则一个侧面的面积S_侧=(1)/(2)ah=(1)/(2)a√(l^2)-frac{a^{2}{12}}。

- 正三棱锥的表面积S = S_底+ 3S_侧=(√(3))/(4)a^2+(3)/(2)a√(l^2)-
frac{a^{2}{12}}。

二、三棱锥体积计算公式。

1. 三棱锥体积的通用公式（适用于任意三棱锥）
- 三棱锥的体积V=(1)/(3)Sh，其中S是三棱锥的底面积，h是三棱锥的高（顶点到底面的距离）。

2. 对于正三棱锥（特殊情况）
- 如果正三棱锥底面边长为a，高为h，底面面积S=(√(3))/(4)a^2，则体积V=(1)/(3)×(√(3))/(4)a^2h。